La mesure des taux en démographie : taux par âge en années révolues et taux par âge atteint dans l'année. Présentation d'un cahier de l'INED - article ; n°1 ; vol.39, pg 107-146

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Population - Année 1984 - Volume 39 - Numéro 1 - Pages 107-146
Calot Gérard. — La mesure des taux en démographie : taux par âge en années révolues et taux par âge atteint dans l'année. Présentation d'un cahier de l'INED. Selon les pays et selon les époques, les taux démographiques par âge et année d'observation sont établis différemment. Les événements servant de numérateurs aux taux peuvent être classés d'après l'âge en années révolues au moment de l'événement, ou d'après Y âge atteint au cours de l'année d'observation. En outre, la mise à jour de la répartition par sexe et âge de la population permettant de déterminer les dénominateurs peut être réalisée chaque année au \ janvier, au Ier juillet, parfois à une autre date. On étudie la façon de passer d'une définition à l'autre, à des fins de comparaisons internationales ou chronologiques et la manière de corriger les distorsions affectant les taux qui répondent à chaque définition. Il ressort de l'étude que le classement des événements par âge atteint durant l'année d'observation, associé à la mise à jour de la pyramide des âges au 1 janvier, est préférable à tout autre lorsque le pays a enregistré des variations brusques de natalité, comme il s'en produit au début ou à la fin d'une guerre.
Calot Gérard. — The Measurement of Rates in Demography : Rates by Age in Completed Years versus Rates by Age reached during the Calendar Year. Presentation of the Issue n° 104 in the INED Series. According to countries and to periods, age-specific rates by year of observation are established differently. The numerators may be obtained by classifying the events observed by age at last birthday or by age reached during the calendar year. On the other hand, the age-sex distribution of the population that leads to the denominators of the rates may be updated every year on January 1st, on July 1st (Mid-year estimate) or on another date. The study provides the formulae to convert rates from one definition to the other, for the purpose of comparisons across countries or through time, and the way to correct the distorsions affecting the rates that correspond to each definition. It appears that the classification of events by age reached during the calendar year, associated with the updating of the age-sex pyramid on January 1st, is preferable to any other, when the country has registered sudden variations in births, such as those observed at the beginning or at the end of a war.
Calot Gérard. — La medida de las tasas en demografia : tasas рог edad en aňos cumplidos у tasas por edad alcanzada durante el ano de observación. Presentation de un cuaderno de HNED. Según los paises y las épocas, las tasas demográficas por edad y ano de observación sont establecidas diferentemente. Los acontecimientos que sirven de numerador en las tasas pueden su clasificados según la edad en aňos cumplidos en el momento de l'acontecimiento, ó según la edad alcanzada durante el ano de observación. A demás, la repartición por sexo y edad que permite determinar los denominadores puede su establecida cada ano el Г de enero, el 1° de julio, ó a veces otra fecha. Se estudia la forma de pasar de una a otra definición, con el fin de hacer comparaciones internacionales o cronológicas, asi como la forma de corregir las distorsiones que afectan las tasas que corresponden a cada definición. El estudio demuestra que la clasificación de los acontecimientos por edad alcanzada dusante el ano de observación, asociada a la pirámide de edades establecida el Г de enero, es preferible a cualquier otra cuando el pays ha sufrido variaciones bruscas de la natalidad, como se producen al comienzo o al final de una guerra.
40 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : dimanche 1 janvier 1984
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Gérard Calot
La mesure des taux en démographie : taux par âge en années
révolues et taux par âge atteint dans l'année. Présentation d'un
cahier de l'INED
In: Population, 39e année, n°1, 1984 pp. 107-146.
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Calot Gérard. La mesure des taux en démographie : taux par âge en années révolues et taux par âge atteint dans l'année.
Présentation d'un cahier de l'INED. In: Population, 39e année, n°1, 1984 pp. 107-146.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1984_num_39_1_17901Résumé
Calot Gérard. — La mesure des taux en démographie : taux par âge en années révolues et taux par
âge atteint dans l'année. Présentation d'un cahier de l'INED. Selon les pays et selon les époques, les
taux démographiques par âge et année d'observation sont établis différemment. Les événements
servant de numérateurs aux taux peuvent être classés d'après l'âge en années révolues au moment de
l'événement, ou d'après Y âge atteint au cours de l'année d'observation. En outre, la mise à jour de la
répartition par sexe et âge de la population permettant de déterminer les dénominateurs peut être
réalisée chaque année au \" janvier, au Ier juillet, parfois à une autre date. On étudie la façon de passer
d'une définition à l'autre, à des fins de comparaisons internationales ou chronologiques et la manière de
corriger les distorsions affectant les taux qui répondent à chaque définition. Il ressort de l'étude que le
classement des événements par âge atteint durant l'année d'observation, associé à la mise à jour de la
pyramide des âges au 1" janvier, est préférable à tout autre lorsque le pays a enregistré des variations
brusques de natalité, comme il s'en produit au début ou à la fin d'une guerre.
Abstract
Calot Gérard. — The Measurement of Rates in Demography : Rates by Age in Completed Years versus
Rates by Age reached during the Calendar Year. Presentation of the Issue n° 104 in the INED Series.
According to countries and to periods, age-specific rates by year of observation are established
differently. The numerators may be obtained by classifying the events observed by age at last birthday
or by age reached during the calendar year. On the other hand, the age-sex distribution of the
population that leads to the denominators of the rates may be updated every year on January 1st, on
July 1st (Mid-year estimate) or on another date. The study provides the formulae to convert rates from
one definition to the other, for the purpose of comparisons across countries or through time, and the
way to correct the distorsions affecting the rates that correspond to each definition. It appears that the
classification of events by age reached during the calendar year, associated with the updating of the
age-sex pyramid on January 1st, is preferable to any other, when the country has registered sudden
variations in births, such as those observed at the beginning or at the end of a war.
Resumen
Calot Gérard. — La medida de las tasas en demografia : tasas рог edad en aňos cumplidos у tasas por
edad alcanzada durante el ano de observación. Presentation de un cuaderno de HNED. Según los
paises y las épocas, las tasas demográficas por edad y ano de observación sont establecidas
diferentemente. Los acontecimientos que sirven de numerador en las tasas pueden su clasificados
según la edad en aňos cumplidos en el momento de l'acontecimiento, ó según la edad alcanzada
durante el ano de observación. A demás, la repartición por sexo y edad que permite determinar los
denominadores puede su establecida cada ano el Г de enero, el 1° de julio, ó a veces otra fecha. Se
estudia la forma de pasar de una a otra definición, con el fin de hacer comparaciones internacionales o
cronológicas, asi como la forma de corregir las distorsiones que afectan las tasas que corresponden a
cada definición. El estudio demuestra que la clasificación de los acontecimientos por edad alcanzada
dusante el ano de observación, asociada a la pirámide de edades establecida el Г de enero, es
preferible a cualquier otra cuando el pays ha sufrido variaciones bruscas de la natalidad, como se
producen al comienzo o al final de una guerra.LA MESURE DES TAUX
EN DÉMOGRAPHIE :
Taux par âge en années révolues
et taux par âge atteint dans l'année
Présentation d'un Cahier de l'INED*
statistiques Selon les conduisant pays et, pour à l'établissement un même pays, des selon taux les démographiques époques, les pratiques géné
raux par année d'âge et année d'observation ne sont pas identiques. Certes,
dans tous les cas, un taux est un rapport dont le numérateur est le nombre
ď événements subis par les personnes ayant un âge donné, et dont le
dénominateur est le nombre de personnes soumises au risque ayant ce
même âge.
Mais, d'une part, le classement des événements observés une année
donnée, selon l'âge des personnes qui les subissent, peut être effectué selon
deux définitions de l'âge : l'âge retenu pour définir le numérateur peut être
l'âge atteint au cours de l'année de calendrier considérée, c'est-à-dire la
différence entre le millésime de l'année d'observation et le millésime de
l'année de naissance; ce peut être au contraire l'âge en années révolues au
moment où survient l'événement, c'est-à-dire l'âge au dernier anniversaire.
D'autre part, l'effectif des personnes soumises au risque, qui
constitue le dénominateur des taux, se déduit de la mise à jour annuelle
de la répartition de la population résidente par sexe et âge en années
révolues (évaluation de la pyramide des âges). Mais cette mise à jour peut
être faite chaque année au 1er janvier ou au 1er juillet, voire à une autre date.
L'ensemble des pays(l) qui établissent des taux de fécondité par
année de calendrier et année d'âge de la mère (2) se répartit, pour ce qui
* Paris, INED/PUF, Travaux et Documents, n° 104, sous presse.
О Les pays énumérés ici sont ceux qui participent au Projet International d'Analyse
Conjoncturelle de la Fécondité, conduit par l'Institut National d'Etudes Démographiques. Cf.
F. Muňoz Perez, «L'évolution de la fécondité dans les pays industrialisés depuis 1971 »,
Population, 3, 1982, 483-512.
<2> La pratique est généralement la même pour la fécondité et pour la nuptialité. Mais
cette règle comporte des exceptions : ainsi la Hongrie classe les naissances par âge de la mère
atteint dans l'année civile mais les mariages par âge des nouveaux mariés en années révolues.
Population. I, 1984, 107-146. LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE 108
concerne la période actuelle, en quatre catégories :
— ceux qui retiennent Yâge atteint dans l'année civile et mettent à
jour les effectifs de la population résidente par sexe et âge au 1er janvier
de chaque année. Tel est le cas de la Belgique, de la France, de la Hongrie,
des Pays-Bas, de la République fédérale d'Allemagne et de la Suède;
— ceux qui retiennent Yâge en années révolues et mettent à jour leur
pyramide des âges au 1er janvier de l'année. Tel est le cas de l'Autriche,
du Danemark, de l'Espagne, de la Finlande, de l'Islande, d'Israël, de
l'Italie, de la Norvège, de la Pologne, du Portugal et de la Suisse;
— ceux qui retiennent Yâge en années révolues et mettent à jour leur
pyramide des âges au 1er juillet de l'année. Tel est le cas de
l'Angleterre-Galles, de l'Australie, de l'Ecosse, des Etats-Unis d'Amérique,
de la Grèce, de la République d'Irlande, de l'Irlande du Nord, de la
Nouvelle-Zélande, de la Roumanie, de la Tchécoslovaquie et de la
Yougoslavie ;
— ceux qui retiennent Yâge en années révolues et mettent à jour leur
pyramide des âges à une date autre que le 1er janvier ou le 1er juillet. Tel
est le cas du Canada (1er juin) et du Japon (1er octobre).
Nous nous intéresserons dans la suite aux trois premières catégories
et nous désignerons par a l'année d'observation et par :
— ALa le taux à l'âge í atteint au cours de la même année civile que
l'événement, taux obtenu en rapportant les événements observés dans le
parallélogramme du schéma de Lexis à la demi-somme des effectifs d'âge
/ — 1 révolu au 1er janvier et d'âge i révolu au 31 décembre de l'année a
(figure 1);
— Riale taux à l'âge i révolu au moment de l'événement, taux obtenu
en rapportant les événements observés dans le carré du schéma de Lexis
à la demi-somme des effectifs d'âge i révolu au 1er janvier et au
31 décembre de l'année a;
— RU le taux à l'âge / révolu au moment de l'événement, taux obtenu
en rapportant les événements observés dans le carré du schéma de Lexis
à l'effectif d'âge i révolu au 1er juillet de l'année a.
Nous omettrons l'indice a lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté sur
l'année d'observation.
Age
I
Figure 1. — Les trois grandes catégories de taux par âge. LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE 109
Cette diversité dans la mesure des taux appelle les deux types de
questions ci-après :
— de quelles distorsions est affectée chacune des mesures ? est-on
à même de les corriger ? quelle est la mesure la plus pertinente ?
— comment passer d'une série de taux à l'autre aux fins de
comparaisons internationales (ou chronologiques, si la pratique d'un même
pays a varié au cours du temps) ?
Une réponse intuitive à la seconde question résulte de la considé
ration suivante : le taux AiM se rapporte « en moyenne » à l'âge i tandis
que les taux Ria et /?,'„ se rapportent « en » à l'âge / + 1/2. En
conséquence, les taux R et R' doivent être sensiblement égaux et les taux
d'une famille sont sensiblement la demi-somme des taux encadrants de
l'autre :
' Ri= 1
2
Mais cette façon de raisonner suppose implicitement que les flux traver
sant les parallélogrammes et les carrés sont homogènes.
Or on sait que la natalité n'est pas dépourvue de fluctuations
saisonnières : maximum de naissances au printemps (3), minimum à la fin
de l'automne, avec des coefficients saisonniers mensuels (4) compris entre
0,95 et 1,05 dans les pays à profil saisonnier peu accentué, entre 0,85 et
1,15 dans ceux où le profil saisonnier est le plus contrasté. Le régime
saisonnier des naissances est-il susceptible d'affecter de distorsions appré
ciables les taux A, Л ou R"!
Par ailleurs, certaines générations se caractérisent par un profil
mensuel des naissances exceptionnel, en raison essentiellement des guer
res : quelle est l'incidence de ces perturbations sur les mesures des taux A,
R et R'1
Telles sont les questions auxquelles le présent article se propose
d'apporter une réponse. Nous nous référerons plus spécifiquement au cas
des taux de fécondité générale par âge, mais les résultats que nous
obtiendrons valent aussi bien pour la nuptialité ou la mortalité par âge;
plus généralement, ils s'appliquent à la mesure des taux par durée écoulée
depuis une date-origine (taux par durée de mariage, par la naissance de rang précédent,...).
Nous ne démontrerons pas les formules mathématiques présentées.
Le lecteur qui le souhaiterait pourra se reporter, pour les démonstrations
et pour des développements plus étendus, au cahier de Travaux et
Documents de l'INED, n° 104.
<4) <3> Après Du moins correction généralement de l'inégale en Europe. durée des mois. Ю LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE 1
1. Notations et hypothèses
Nous adopterons les notations suivantes :
/ est le temps (variable continue) et a l'année de calendrier (variable
discrète), le début de l'année a correspondant par convention à / = a ;
x est l'âge (variable continue) et i l'âge en années révolues
discrète);
h est la date de naissance (variable continue) et g l'année de naissance
(variable discrète), le début de l'année g correspondant à h = g;
P (x,t) àx est le nombre de personnes soumises au risque à la date
t dont l'âge est compris entre x et x + àx;
f(x,t) est le taux instantané d'occurrence de l'événement à la date
/ chez les personnes qui ont alors un âge compris entre x et x + dx: parmi
les P(x,t) dx exposées au risque entre /et / + di, on observe
la survenance de P(x,t) dx.f(x,t) dt événements.
Les couples de deux variables, entre parenthèses ou en indices,
séparées par une virgule, représentent respectivement un âge (continu ou
discret) et une date d'observation (continue ou discrète; dans ce dernier
cas, il s'agit d'une année d'observation). Les couples de deux variables
séparées par un point-virgule représentent un âge (continu
ou discret) et une date de naissance (continue ou discrète; dans ce dernier
cas, il s'agit d'une génération annuelle). On écrira indifféremment, sans
changer la lettre désignant la fonction :
P(x, t) ou P(x;t-x)
f{x,t) ou f(x;t-x)
/*.\tQ OU **-i;a — /•
— 1 et g sera désigné par Un couple de deux générations consécutives g
g— \/ g. Ainsi on écrira indifféremment :
OU а_,_1/д— ,.
En effet, si le taux Aua se rapporte à la génération née l'année g = a — i,
le taux Ri.a (ou /?,'„) est un attribut du couple de générations nées en a— /— 1
et a— i. Il porte sur la « moitié » des événements survenus dans ce couple
de générations au cours de l'année a. Une même génération g contribue
pour « moitié » à deux couples adjacents : g— \/g et g/g+ 1.
Les dénominateurs et numérateurs ont pour expression générale :
Dénominateur de AiM :
1
Dénominateur de Ria LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE \\
Dénominateur de /?',,„ :
ÍP |/+1-С, аЛ
Numérateur de A\,a :
i-Ç + X, a+X)f(i—Z, + X, a+X) dX
if
Numérateur •^ Г = 0 *Ч Г - О Pii+l-Ç de /?,,„ ou + de l, Г a+X) /?',,<, Г : fii+l-Ç+K P(/- а+Х)аХа£,
Les у7мл:, exprimés en nombre de personnes-années, qui traversent le
parallélogramme caractéristique de Ait a, ou le carré caractéristique de /?,,oou
R'a, s'obtiennent en remplaçant / par 1 dans l'expression des numérat
teurs eurs : /., r\
Ф" (i,a)= I P(i-
<pc(i,a)= Г Г P{i+
P
A. L'effectif Nous Durant envisagerons atteignant l'année P(x,t)=P(t-x), d'observation, les l'âge hypothèses /au cours il de simplificatrices n'y V l'année / a 6 ni [a, mortalité, a a+\[, est alors suivantes ni désigné V migration x. : par E : (i, a) :
Г'
=
De cette façon, la mortalité et la mobilité au sein de la génération
g = a — i n'est prise en compte que lorsqu'on change d'année d'obser
vation :
Ф E(i+ 1, a+ 1),
ce qui revient à dire que mortalité et mobilité n'exercent leur effet qu'à
la charnière de deux années civiles consécutives. 12 LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE 1
B. La fonction de taux instantané /est la même, à âge égal, sur une certaine
plage de dates de naissance, au cours d'une même année d'observa
tion :
f(x, t) = f(x), V / g ]a, a+\[, V (t-x) e [g,, g2].
En outre, la fonction f(x) est continue et derivable.
C. Nous dirons que l'hypothèse ď uniformité est satisfaite si, au cours de
l'année d'observation, sur une certaine plage de dates de naissance, la
fonction P est constante au cours de l'année d'observation a :
P(x,t)=P, V/e[a,a+l[, V (t-x) g [gu g2].
Nous admettrons que les hypothèses A et В sont toujours satisfaites.
En revanche, nous distinguerons le cas où l'hypothèse С est satisfaite et
celui où elle ne Test pas.
Sous les hypothèses A et B, les intégrales doubles définissant les
numérateurs de Ai,a ou de RiM se ramènent à des intégrales simples :
Numérateur de Aitu :
«4 4-0
Numérateur de RiJS) :
Г P(a-/-1+
+ Г P(a-i+Ç)[F(i+\-Ç)-F(i)]d!;.
•Ч-о
2. Expression simplifiée des taux A, R et R/
Sous les hypothèses A et B, on peut développer les quantités
F(i+ 1 — b) et F(i—%) qui interviennent dans le numérateur de Aii0 par la
formule de Taylor au voisinage de x = i. A l'ordre deux, en désignant par
f.f'ztf les valeurs de la fonction f(x) et de ses deux premières dérivées
en x = i, il vient en intégrant :
Ai,a=f-m(i,a)f+ [m2 (i,a) + a2 (i, a)+l/12] /"/2.
Dans cette expression, m(i,a) et a2 (i,a) désignent respectivement la date
moyenne d'anniversaire — comptée à partir du milieu de l'année — et la
<5> Ou de R',.a puisque le numérateur de /?!.„ est identique à celui de Ru LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE \ J3
variance des dates d'anniversaire, chez les E (i, a) personnes nées l'année
a— i et soumises au risque au cours de l'année a :
Г
J
2
s-0
Г P{a-i+Ç)Çdl
í. в)- Ji 5"° Г1L2±+m(/, a)\ 1 J
J s-0
entre pour que l'unicité Plus -j\ le début <j<J2 généralement, de de la : fonction l'année y 1 /s'applique ety2 a — i—j2 étant et deux la à toute fin entiers de cohorte l'année positifs, infinitésimale a si — on i+ji, suppose on née a
j,a)] f + [j-m(i+j,a)]2 + o2 (i+j, a) + l/\2] /72
De même, dans l'expression du numérateur de /?,, a, on peut dévelop
per les termes où intervient la fonction F par la formule de Taylor au
voisinage de x = i + 1/2. A l'ordre deux, et en notant f,f et /'les valeurs
de f(x) et de ses deux premières dérivées en x = i + 1/2 , il vient :
[£■(/ + l,fl)m(z + l,c) -E(i,a)m (i,a)~\
1 + 2 /
E(f+l,a) + E(i,a) J
i + l,a) I m(/+l,e)o2(/+l,e)+— — /п3(/Ч1,в) + —
f" 24 + •
E(i,à) I m(i,a) a2(i,a) + — /п3(/,а) + —n(i,a) I
Dans cette expression, ц. (i,a) est le moment d'ordre 3 des dates d'anni
versaires parmi les personnes nées l'année a — /et soumises au risque au
cours de l'année a.
Plus généralement, si on suppose que l'unicité de la fonction /
s'applique à toute cohorte infinitésimale née entre le début de l'année LA MESURE DES TAUX EN DÉMOGRAPHIE 114
a — i — j2 et la fin de l'année a — i + j\, on a pour — j\ < j < j2 :
+ + f [1 + Cl (/+-/' a)1 + JQ (/+->- a) + Q V+J' a) f"
Ya
Les termes G, Ci et Сз sont définis par le même type de relation :
Cn(i,a) =
avec respectivement :
Q\ (i,a) = 2 m(i, a)
Q2(i,a) = 4 \-m2(i,a)-a2(i,a)
£?з (i, a)=m (i, a) • a2 (i, a) + - [m3 (/, a) + \L (i, a)].
Le taux R'iM peut s'écrire :
n/ t\-i,a
expression où G satisfait au même type de relation que G, d et Q avec :
Qa(i,a) = p2 (i,a)-p] (i, a),
p\ (i, a) désignant la proportion, parmi les personnes nées l'année a — i et
soumises au risque au cours de l'année a, de celles dont l'anniversaire se
situe au 1er semestre, et рг (i, a) la proportion de celles dont
se situe au 2e semestre.
On observera que С (i, a) peut être appelée différence pondérée (6)
entre Q„ (i+ 1 , a) et Qn (i, a), les coefficients de pondération étant les
effectifs au risque E(i+ 1, a) et E (i, a).
Sous l'hypothèse d'uniformité (hypothèse С présentée plus haut), les
effectifs au risque sont égaux :
E(i+\,a) = E(i,a)
et les moments des dates d'anniversaire valent respectivement :
m (i, a ) = 0
a2 (/, a ) = 1/12 (variance de la distribution continue uniforme entre 0 et 1)
*6' II s'agit précisément de la moyenne pondérée de Q,,(i + 1, a) et de — Q,,(i,a), les
coefficients de pondération étant les effectifs au risque E(i+ 1, a) et E(i, a).

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