Le calcul des probabilités en psychologie - article ; n°1 ; vol.2, pg 466-500

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L'année psychologique - Année 1895 - Volume 2 - Numéro 1 - Pages 466-500
35 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mardi 1 janvier 1895
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Victor Henri
Le calcul des probabilités en psychologie
In: L'année psychologique. 1895 vol. 2. pp. 466-500.
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Henri Victor. Le calcul des probabilités en psychologie. In: L'année psychologique. 1895 vol. 2. pp. 466-500.
doi : 10.3406/psy.1895.1542
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1895_num_2_1_1542CALCUL DES PROBABILITÉS EN PSYCHOLOGIE LE
« Tous les événements, ceux mêmes qui par leur petitesse
semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont
une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans
l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de
l'univers, on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard
suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité, ou
sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été suc
cessivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et
disparaissent entièrement devant la saine philosophie qui ne
voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes
des véritables causes. >
Laplace.
On ne peut pas faire un pas dans la psychologie expériment
ale sans avoir recours aux principes du calcul des probabilités
et cependant il existe peu de psychologues qui aient porté leur
attention sur les hypothèses qu'on doit faire en appliquant tel
principe spécial ; on s'est le plus souvent contenté de mention
ner qu'on suppose la loi des erreurs de Gauss applicable aux
processus psychiques ; quant aux cas où on se servait d'autres
principes plus simples comme le théorème des probabilités
composées ou la recherche de la probabilité des causes, en
général on l'a fait sans prononcer un mot sur les conventions
qu'on doit admettre pour justifier l'emploi de ces principes.
Donnons quelques exemples.
On pose sur le bout de l'index des poids de grandeurs diff
érentes en commençant d'abord par des assez faibles pour
qu'ils ne soient pas perçus, et en les augmentant petit à petit
jusqu'à ce que l'on arrive à un poids qui provoque une sensa
tion à peine perceptible ; on marque ce poids limite et on V. HENRr. — PROBABILITÉS EN PSYCHOLOGIE 467
recommence l'expérience de la même manière ; le poids limite
dans ce deuxième essai ne sera pas tout à fait égal au premier ;
on répète vingt fois et on obtient vingt valeurs pour le poids
limite ; quelle est celLe qu'il faudra choisir pour représenter la
sensibilité à la pression du bout de l'index étudiée dans les
conditions précédentes? On prend, en général, la moyenne
arithmétique entre les vingt valeurs ; mais pourquoi ? On pourr
ait, ce semble, tout aussi bien prendre la moyenne géométrique
ou la racine carrée de la moyenne de la somme des carrés des
vingt valeurs ; y a-t-il quelque raison qui fait préférer l'une des
moyennes aux autres?
On veut étudier les associations médiates, c'est-à-dire celles
qui se produisent par l'intermédiaire d'un terme commun
inconscient ; on montre au sujet une série de cinq mots ayant
des signes géométriques au-dessus, puis cinq syllabes
les mêmes signes géométriques, mais dans un ordre différent;
ceci fait, on montre un mot sans signe et le sujet doit associer
à ce mot l'une des cinq syllabes de la deuxième série ; on
marque le nombre total d'expériences et le nombre de celles
où la syllabe associée avait au-dessus d'elle le même signe
géométrique que le mot montré; quel doit être au moins le
nombre de ces « coïncidences » pour qu'on puisse les attribuer
à l'existence d'associations médiates et non au simple hasard ?
Quelques auteurs ont calculé ce nombre, mais ils ont oublié de
signaler certaines hypothèses importantes qu'on doit faire en
appliquant le calcul des probabilités.
C'est une vérité vieille comme le monde que les observations
répétées valent plus qu'une observation unique, tout le monde
se sert de cette vérité et dans la vie journalière et dans les.
sciences, mais il y a là un point intéressant dont on s'est rare
ment occupé en psychologie, c'est de savoir s'il n'existe pas
pour le nombre des observations une limite à partir de laquelle
on ne pourra plus tirer profit de nouvelles observations. Je donne
un exemple : on veut étudier si les « points froids » de la peau,
touchés par une pointe en bois, donnent lieu à des sensations de
froid ; on choisit dix points froids sur la peau et on les touche
chacun vingt fois à différentes reprises avec la pointe en bois ;
si pour tous les deux cents contacts ainsi produits le sujet a eu
une sensation de froid, faudra-t-il se contenter de ces expé
riences ou bien y aura-t-il quelque profit à refaire les expériences
encore deux cents fois ? Sous une forme générale le problème
à envisager est le suivant : on veut étudier un certain processus REVUES GÉNÉRALES 468
psychique, on se dit d'avance qu'on sera satisfait par tel degré
d'approximation; pourra-t-on dire avant d'avoir fait des expé
riences le nombre minimum nécessaire pour arriver à une con
clusion satisfaisante ? La question a son importance pratique ;
souvent on voit des recherches expérimentales entreprises avec
un plan fixé d'avance dans lequel le nombre d'expériences à
faire est indiqué ; nous nous rappelons un Américain qui étu
diait la sensibilité à la douleur des différentes personnes ; il
avait voyagé dans toute l'Europe, s'arrêtant dans chaque ville
autant de jours qu'il lui fallait pour faire tant de milliers d'ex
périences sur les habitants; interrogé sur les résultats obtenus,
il répondit qu'il n'avait pas encore étudié les résultats, quoiqu'il
eût déjà rassemblé plus de trente mille expériences.
Un dernier exemple nous montrera encore mieux jusqu'à
quel point les différentes méthodes « psychophysiques » dépen
dent de l'application du calcul des probabilités :
On produit deux bruits À et B d'intensité un peu différente,
on veut étudier quelle doit être la différence minimum entre les
deux bruits pour qu'on perçoive encore cette différence. Le
sujet ayant entendu les deux bruits doit indiquer lequel des
deux lui paraît plus intense ou s'ils lui paraissent égaux; cette
indication donnée, on recommence l'expérience avec les mêmes
bruits, le sujet fait connaître de nouveau son observation et
ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait fait cent expériences ; il y
aura en définitive un certain nombre de cas où le sujet aura
perçu B comme plus intense que A, soit 65 ce nombre ; dans
d'autres cas il aura perçu B égal à A, soit 20 ce nombre, et enfin
dans 15 cas B lui aura semblé être plus faible que A; peut-on
déduire de ees chiffres l'intensité que doit avoir un bruit B' pour
que, comparé au bruit A dans les conditions précédentes, il
donne lieu à 50 réponses « plus fort » et 50 « plus faible »? La
différence A — B' mesurerait par définition le » seuil de diff
érence » ; il est certain que si l'on ne fait aucune hypothèse la
solution est impossible ; on admet que les variations dans les
réponses du sujet pendant une série d'expériences sont dues à
des causes accidentelles et que les erreurs qui en résultent sont
comparables à des erreurs d'observation et suivent par consé
quent la loi des erreurs de Gauss, c'est-à-dire qu'elles sont dis
tribuées d'une certaine manière bien déterminée autour de la
moyenne ; cette hypothèse faite, le problème devient dès lors
un simple exercice de calcul mathématique ; mais quelles sont
les conditions nécessaires et suffisantes pour que la loi de Gauss -t.«' -.-/'S 'fi t.
V. HENRI.. — PROBABILITÉS EN PSYCHOLOGIE 469
soit applyj^Table ? Ces conditions sont-elles remplies pour les
processus psychiques ?
— Nous sommes loin d'avoir épuisé tous les cas différents où
le calcul des probabilités trouve son application en psychologie,
nous donnerons plus loin d'autres exemples ; passons donc
après ces préliminaires au sujet même de cette étude ; nous
essaierons d'exposer les points les plus importants du calcul
des probabilités en nous arrêtant surtout sur les applications
à la psychologie expérimentale.
Il est bien difficile de donner une définition satisfaisante de
ce que l'on appelle « probabilité » ; la qu'on trouve
en général est très insuffisante, comme l'a encore montré der
nièrement M. Poincaré i. On dit ordinairement que la probabil
ité de l'arrivée d'un certain événement est égale, par définition,
au rapport du nombre de cas où cet événement peut se produire
au nombre total de cas différents, en supposant que tous
les cas sont également possibles. Ainsi, quelle est la pro
babilité de tirer d'un jeu de 32 cartes un roi ? Il y a 4 rois,
32 cas différents sont possibles, ils le sont également, on le
suppose, donc la probabilité demandée sera, par définition,
égale à ^ •
Au fond cette ne nous apprend rien de nouveau ;
si quelqu'un vous demande : Quelle est la probabilité d'amener
« un trois » en jetant un dé une fois ? que vous lui répondiez :
six cas différents sont également possibles, un seul parmi eux est
favorable, ou que vous lui disiez : Cette probabilité est égale à -j
votre réponse sera dans les deux cas la même ; mais on aura
bien raison de protester contre une réponse comme la première
en objectant qu'on le savait déjà d'avance et qu'on n'a par con
séquent rien appris de nouveau. En réalité, il faut bien se
garder de croire qu'en prononçant le mot « probabilité d'un
événement * on apprend quelque chose de nouveau ; « ainsi,
quelle est la probabilité pour que la quatrième décimale du loga
rithme d'un nombre entier soit 1 ? C'est j-0 , car il n'y a pas plus
de raison pour une décimale que pour une autre ; nous avouons
de cette manière notre ignorance complète... » (Poincaré). Mais
d'un autre côté on aurait bien tort de diminuer l'importance
du calcul des probabilités.
Nous avons fait dans la définition de la probabilité une res
triction : en supposant que tous les cas sont également possibles ;
(1) Poincaré. Calcul des probabilités, Paris, 1896. 470 REVUES GÉNÉRALES
cette restriction est nécessaire, sans elle les principes se trou
veraient en défaut ; supposons qu'un sac contienne cent boules
égales dont quatre-vingts blanches et vingt noires ; en tirant
la première boule qui tombe sous la main on doit s'attendre
davantage à voir sortir une boule blanche qu'une noire» la pro-
habilité de la sortie de la première étant -^ et celle de la
seconde -^- ; si donc on a un autre sac pareil au premier, qui
contient soixante boules blanches et quarante noires, on devra
s'attendre moins que dans le premier cas à voir sortir une boule
blanche ; mais si les boules blanches du premier sac, tout en
restant égales aux noires, sont deux fois plus lourdes que ces
dernières tous nos raisonnements tombent, les boules blanches
vont au fond du sac et les cas ne sont plus également possibles,
nous ne pouvons rien dire sur la probabilité dans cette expé
rience. La restriction de l'égalité des cas est donc importante ;
citons encore quelques exemples où on n'en a pas tenu compte :
on rencontre chez M. Bertrand la phrase suivante : « Tous les
soldats d'une nombreuse armée sont appelés tour à tour à dire
un nombre moindre que 7, le premier venu. Dans leurs réponses,
inscrites deux par deux, on rencontre deux 6 une fois sur 36. »
Si on faisait l'épreuve on peut être sûr qu'on n'obtiendrait pas
du tout ce résultat ; un prestidigitateur habile racontait un jour
au laboratoire de la Sorbonne que si on priait une personne de
penser à un chiffre quelconque au-dessous de 10, dans la major
ité des cas elle pensait au chiffre « sept », il l'avait remarqué
dans sa pratique et s'en servait pour quelques trucs; notre
maître, M. Binet, a fait une enquête sur ce point, d'où il s'est
dégagé qu'en réalité plus de la moitié des personnes interrogées
pensaient au chiffre « sept », les autres avaient choisi trois,
cinq et huit ; en somme on voit que les différents cas sont
loin d'être également possibles.
La Société Anglaise des Recherches psychiques a fait une large
enquête sur les hallucinations en portant une attention spéciale
sur des cas où la « vision » d'une personne coïncidait avec la
mort de cette même personne, l'halluciné ignorant à ce moment
le décès : du nombre total des cas d'hallucinations personnelles
et de celui des « death-coïncidences » les auteurs déduisent que
le rapport est égal à 1 sur 43 ; de plus la mortalité moyenne par
an étantde 19,15 sur 1000, « la probabilité qu'une personne
mourra tel jour est de 19,15 sur 1 000 X 365 ou 1 sur 19000 »,
par conséquent « entre la mort et l'apparition du mourant existe
une connexion qui n'est pas due au seul hasard ». Dans cet V. HENRI. — PROBABILITÉS EN PSYCHOLOGIE 471
exemple on a supposé que les différents cas étaient également
possibles, tandis qu'ils ne le sont pas en réalité. D'abord si
quelqu'un a une apparition de la mort d'une personne qu'il
connaît, il est bien probable qu'il l'aura plus facilement pour
une personne qu'il sait être bien malade que pour une personne
saine et bien portante ; tous les cas ne sont donc pas également
possibles; déplus, lorsqu'on voit en hallucination une personne,
si rien n'est lié à cette apparition on l'oubliera bien vite, surtout
si les hallucinations ne sont pas rares ; une apparition, au con
traire, qui coïncidera avec la maladie ou la mort de la personne
apparue restera plus fixement dans la mémoire ; le recensement
des observations réunies par la société anglaise a été fait par
questionnaires, et on ne répond, en général, à un questionnaire
que si l'on a quelque chose d'intéressant à signaler, comme par
exemple la coïncidence d'une apparition avec le décès ; toutes
ces raisons, et il y en a bien d'autres encore, montrent que le
calcul précédent est loin d'être exact, les différents cas ne sont
pas également possibles et de plus on ne connaît pas tousles cas.
La restriction que tous les cas doivent être considérés
comme également possibles peut donner lieu quelquefois à
des difficultés ; si en effet on analyse de plus près cette res
triction on remarque qu'elle conduit facilement à une pétition
de principe : on veut déterminer la probabilité d'un événement
et pour le faire on doit supposer quelque chose sur cette pro
babilité. Si donc on ne sait pas d'avance que tous les cas sont
également possibles aucun des principes du calcul des probab
ilités ne pourra être appliqué.
Jusqu'ici nous n'avons considéré que les circonstances où on
avait affaire à un nombre fini de cas ; comment se comporte
donc la probabilité lorsqu'on sera en face d'un nombre infini
de cas ? Nous ne croyons pas qu'en psychologie on ait l'occa
sion de l'appliquer, nous n'en parlerons que très brièvement
pour prévenir quelques difficultés qui peuvent se présenter et montrer combien il est délicat de donner une définition
du mot t probabilité ». Un exemple que nous empruntons
en partie à M. Bertrand suffira :
Soit un cercle, on trace une corde, quelle est la probabilité
pour que cette corde soit plus petite que le côté du triangle
equilateral inscrit ? On peut faire un grand nombre de raiso
nnements différents ; en voici quelques-uns :
1° Si on se donne une extrémité de la corde, on ne change
pas la probabilité cherchée, puisque la symétrie du cercle ne REVUES GENERALES 472
permet d'y attacher aucune influence favorable ou défavorable
à l'arrivée de l'événement demandé. Soit A un point de la circon
férence, traçons les deux cordes
N AB' égales aux côtés du AB,
triangle equilateral inscrit ; pour
que la corde tracée par A soit
moindre que ce côté, il faut et il
suffit que l'autre extrémité de la
corde soit en un point quelcon
que de l'arc BAB', qui est deux
fois plus large que l'arc BDB', il
semble donc que la probabilité
D cherchée 2° Le point est égale A à étant y choisi,
toutes les cordes passant par ce
point ont des longueurs comp
rises entre 0 et le diamètre 2r,
la longueur du côté du triangle
equilateral inscrit est égale à W3,
par conséquent l'événement d
emandé arrivera si la longueur de la corde est comprise entre 0
et rVZ, il semble donc que la probabilité demandée est égale
3° On sait que le côté du triangle equilateral coupe au milieu
le rayon perpendiculaire; on peut dire que choisir une corde
au hasard revient au même que de choisir au hasard son milieu;
si on trace un cercle concentrique au premier, mais de rayon
moitié, il faudra que le milieu de la corde soit entre les deux
cercles, la surface du cercle intérieur étant de quatre fois plus
petite que celle du cercle donné, la probabilité demandée sem
blera égale à -i--
4° Si on se donne le rayon du cercle sur lequel le milieu de la
corde se trouve on n'influencera pas la probabilité cherchée
par la même raison que dans le premier cas ; pour que l'évén
ement se produise, il suffit que le milieu de la corde se trouve
sur la moitié FK du rayon, donc la probabilité demandée sem
blera égale à —-•
5° Donnons-nous de nouveau une extrémité A de la corde et
traçons la perpendiculaire KGB' à la corde AB égale au côté du
triangle equilateral inscrit, prolongeons cette perpendiculaire
dans les deux sens ; pour que la corde passant par A soit infé- HENRI. — PROBABILITES EN PSYCUOLOGIE 473 V.
rieure au côté du triangle equilateral il faudra et il suffira
qu'elle (ou son prolongement) rencontre la perpendiculaire MN
en des points qui sont en dehors de la partie FB' de cette per
pendiculaire ; choisir au hasard une corde passant par A revient
donc à choisir au hasard son point d'intersection avec la per
pendiculaire MN ; pour tous les points de FB' l'événement ne se
produira pas, pour tous les points de la ligne indéfinie MN en
dehors de FB' l'événement se produira : la probabilité pour que
l'événement se produise est donc infiniment plus grande que la
probabilité pour qu'il ne se produise pas.
On voit combien ces différents cas varient ; à quoi tiennent
donc les contradictions précédentes ? C'est qu'on a mal posé les
problèmes, on n'a pas défini exactement ce qu'il fallait entendre
par probabilité lorsqu'on a affaire à un nombre infini de cas.
M. Poincaré a repris le problème sous sa forme générale et a
montré que le plus souvent on ne pouvait rien dire du tout sur
la probabilité d'un événement, lorsqu'il y avait un nombre
infini de cas, avant d'avoir choisi d'avance une certaine forme
absolument arbitraire servant à définir la probabilité ; ce qui
revient à dire que dans le problème précédent on devrait indi
quer d'avance le mode de raisonnement dont on doit se servir
et c'est seulement après avoir fait ce choix qu'on pourra indi
quer la probabilité demandée; il semble donc qu'ici comme aupa
ravant on est en face d'une pétition de principe difficile à éviter.
Revenons aux problèmes où le nombre de cas est fini. Deux
théorèmes d'une importance capitale doivent être signalés, nous
n'en donnerons pas de démonstration, elle est si simple que
chacun peut facilement la faire lui-même ; le premier est le
théorème des probabilités totales ; lorsqu'un événement peut se
produire de plusieurs manières différentes, mais que deux
d'entre elles ne peuvent arriver simultanément, la probabilité
pour que l'événement se produise est égale à la somme des
probabilités de l'arrivée de l'événement dans chacune des
"manières. Exemples : la probabilité d'amener avec deux dés
une somme supérieure à 9 est égale à la somme des probabilités
d'amener 10, 11 et 12; la de tirer « une figure »
d'un jeu de cartes est égale à la somme des probabilités de tirer
un roi, une dame ou un valet, chacune de ces dernières est
égale à — ' la probabilité cherchée sera donc :
"32" 4 + 3Ï 4 + "32" 4 = "32" 12 * 474 REVUES GÉNÉRALES
Le deuxième théorème est celui des probabilités composées :
la probabilité pour que plusieurs événements indépendants l'un
de l'autre se produisent simultanément est égale au produit
des probabilités de l'arrivée de chacun de ces événements sépa
rément. Exemples : on jette deux dés, quelle est la probabilité
que chacun amène 6 ? La probabilité que l'un amène 6 est —
la probabilité que l'autre amène 6 est -i- , donc la
î i î cherchée est — x -j- = -^~ •
Jusqu'ici le calcul des probabilités ne nous a encore rien
appris de nouveau, il fallait savoir d'avance que tous les cas
étaient également possibles, quels étaient les nombres
des cas possibles et des cas favorables à l'événement, et de ces
deux derniers nombres on déduisait la probabilité ; maintenant
nous arrivons à un théorème qui peut certainement être consi
déré comme la base du calcul des probabilités, c'est le théorème
de Jacques Bernoulli : lorsque laprobabilité d'un événement A
est p et que celle de V événement contraire B est q, si on fait
a fois V épreuve le nombre d'arrivées de A le plus probable est
p a et pour B il est q p.. Exemples: on jette un dé 1000 fois, quel
est le nombre d'arrivées d'un certain point, trois par exemple,
le plus probable ? Lorsqu'on jette un dé, six cas sont possibles,
un seul est favorable, donc l'arrivée de « trois » a pour probab
ilité — , l'arrivée d'un autre point quelconque autre que trois
est -| , donc on devra s'attendre davantage à voir sortir « trois »
-g— fois qu'à le voir sortir un autre nombre de fois. On jette
une pièce de monnaie 100 fois en l'air, la probabilité de voir
arriver « pile » 50 fois sera plus grande que la de
la voir arriver un autre nombre de fois. Un sac contient nombre
égal de boules blanches et noires, on puise du sac 100 boules
à la fois, les premières qui tombent sous la main, il y aura
plus de probabilité de voir sortir 50 boules blanches et 50 noires
que de voir sortir une autre combinaison quelconque. Telle
est la signification du théorème que nous allons démontrer
maintenant.
Cherchons la probabilité pour que sur \l épreuves l'évén
ement A se produise [/. — a fois. Si ces deux événements devaient
se produire dans un ordre indiqué d'avance, par exemple
AAABBABBA..., d'après le théorème des probabilités compos
ées, la probabilité cherchée serait pppqqpqqp.-., c'est-à-dire
p«. q^—a. (puisque A se trouve a fois et B \k — a fois) ; or l'ordre
est quelconque, il faut donc multiplier cette probabilité p% q\>--*-

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