Le royaume du t de Student : les comparaisons à un degré de liberté - article ; n°3 ; vol.85, pg 395-406

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L'année psychologique - Année 1985 - Volume 85 - Numéro 3 - Pages 395-406
Summary : The kingdom of Student's t statistic : the comparisons with one degree of freedom.
The inferential analysis of comparisons of one degree of freedom may be done by the mean of Student's t methods. These methods are described here and their advantages pointed out. Contrary to Snedecor's F methods, the former lead to the computation of useful descriptive statistics. In other respects, from a pedagogical point of view, a presentation of this Student's t generalization to the comparisons of one degree of freedom, from the simple cases of comparisons between two means, may be an enlightening transition between elementary inferential methods and the analysis of variance.
Key words : analysis of variance, data analysis.
Résumé
L'analyse inférentielle des comparaisons à un degré de liberté peut être conduite à l'aide des méthodes du t de Student. Nous décrivons ici ces méthodes, en faisant apparaître leur intérêt. Contrairement aux méthodes du F de Snédécor, elles conduisent à calculer des statistiques descriptives utiles. Par ailleurs, du point de vue pédagogique, une présentation de cette généralisation du t de Student aux comparaisons à un degré de liberté, à partir des cas simples de comparaisons entre deux moyennes, peut être un intermédiaire éclairant entre les méthodes infèrentielles élémentaires et l'analyse de la variance.
Mots clés : analyse de la variance, analyse des données.
12 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : mardi 1 janvier 1985
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Jean - Michel Hoc
Le royaume du t de Student : les comparaisons à un degré de
liberté
In: L'année psychologique. 1985 vol. 85, n°3. pp. 395-406.
Abstract
Summary : The kingdom of Student's t statistic : the comparisons with one degree of freedom.
The inferential analysis of comparisons of one degree of freedom may be done by the mean of Student's t methods. These
methods are described here and their advantages pointed out. Contrary to Snedecor's F methods, the former lead to the
computation of useful descriptive statistics. In other respects, from a pedagogical point of view, a presentation of this Student's t
generalization to the comparisons of one degree of freedom, from the simple cases of comparisons between two means, may be
an enlightening transition between elementary inferential methods and the analysis of variance.
Key words : analysis of variance, data analysis.
Résumé
L'analyse inférentielle des comparaisons à un degré de liberté peut être conduite à l'aide des méthodes du t de Student. Nous
décrivons ici ces méthodes, en faisant apparaître leur intérêt. Contrairement aux méthodes du F de Snédécor, elles conduisent à
calculer des statistiques descriptives utiles. Par ailleurs, du point de vue pédagogique, une présentation de cette généralisation
du t de Student aux comparaisons à un degré de liberté, à partir des cas simples de comparaisons entre deux moyennes, peut
être un intermédiaire éclairant entre les méthodes infèrentielles élémentaires et l'analyse de la variance.
Mots clés : analyse de la variance, analyse des données.
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Hoc Jean - Michel. Le royaume du t de Student : les comparaisons à un degré de liberté. In: L'année psychologique. 1985 vol.
85, n°3. pp. 395-406.
doi : 10.3406/psy.1985.29098
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1985_num_85_3_29098L'Année Psychologique, 1985, «5, 395-406
Ecole Pratique des Hautes Etudes
Laboratoire de Psychologie du Travail
Equipe de recherche associée au CNRS1
LE ROYAUME DU t DE STUDENT :
LES COMPARAISONS
A UN DEGRÉ DE LIBERTÉ
par Jean-Michel Hoc
SUMMARY : The kingdom of Student's t statistic : the comparisons
with one degree of freedom.
The inferential analysis of comparisons of one degree of freedom
may be done by the mean of Student's t methods. These methods are descri
bed here and their advantages pointed out. Contrary to Snedecor's F methods,
the former lead to the computation of useful descriptive statistics. In other
respects, from a pedagogical point of view, a presentation of this Student's t
generalization to the comparisons of one degree of freedom, from the simple
cases of comparisons between two means, may be an enlightening transition
between elementary inferential methods and the analysis of variance.
Key words : analysis of variance, data analysis.
INTRODUCTION
Pour procéder à des inferences statistiques sur des compar
aisons entre moyennes, on a coutume de restreindre l'utilisation
des méthodes dites du t de Student au cas élémentaire de compar
aisons entre deux moyennes : soit entre groupes appareillés,
soit entre groupes indépendants.
En dehors de ces deux cas, on s'oriente généralement vers les
méthodes dites du F de Snédécor, c'est-à-dire vers l'analyse de la
variance. Or, on sait que, dans le cas de comparaisons à un degré
1. 41, rue Gay-Lussac, 75005 Paris. 396 Jean-Michel Hoc
de liberté, dont les comparaisons entre deux moyennes ne sont
que des cas particuliers, les méthodes du t de Student sont équi
valentes à celles du F de Snédécor.
Dans ce texte, nous décrirons les procédures à mettre en
œuvre, pour une telle application généralisée des méthodes
du t de Student, qui conduit à calculer des statistiques inte
rmédiaires plus intéressantes à examiner que celles qu'on obtient
en calculant un F de Snédécor.
Il faut remarquer, en effet, que la somme des carrés et le
carré moyen, nécessaires pour obtenir le F, ont rarement le
statut de statistiques descriptives. Ainsi, ces statistiques n'appa
raissent le plus souvent que comme des intermédiaires de calcul
pour l'obtention du test de signification. Le risque est alors
grand de voir dénaturée la démarche de l'analyse des données,
en n'inscrivant pas la méthode d'analyse inférentielle dans le
prolongement de l'analyse descriptive. Ceci conduit quelquefois
l'analyste à se limiter à une interprétation du test de signif
ication, en lui donnant éventuellement un statut qu'il n'a pas :
celui d'un indicateur descriptif de l'importance de l'effet étudié,
par le biais du seuil de signification observé.
La définition des méthodes d'inférences fiduciaires, intro
duites par Lépine et Rouanet (1975) et dont la généralisation
au titre de méthodes fiducio-bayésiennes a été récemment publiée
par Lecoutre (1984), avait, parmi ses objectifs, celui de « redres
ser » ce type d'incohérence dans l'utilisation des tests de signi
fication. C'est à la poursuite de ce même objectif que nous vou
drions contribuer, non pas en introduisant de nouvelles méthodes
inférentielles, mais en rappelant l'existence de méthodes un peu
délaissées, qui présentent une meilleure compatibilité avec
l'objectif visé, que les méthodes classiquement mises en œuvre.
Dans le cadre nécessairement limité de cet exposé, nous ne
rappellerons pas les principes de l'analyse des comparaisons
(Rouanet et Lépine, 1977), ni ceux de l'inférence fiduciaire, sur
lesquels nous nous appuierons. Une présentation introductive,
mais suffisante pour notre propos, peut être trouvée dans
Hoc (1983 a).
Nous nous placerons dans le cadre d'un protocole numérique
dont le plan est du type S<G> * T, pour le traitement duquel
le programme var3 a été conçu, dans la perspective du test F
(Lépine, Rouanet et Lebeaux, 1976).
Dans ce cadre, nous décrirons les méthodes du t Student Le t de Student 397
applicables pour traiter des comparaisons à un degré de liberté
suivantes :
— sur G (éventuellement conditionnées à une partie T' de T),
notées V ou V/T' ;
— sur T à une partie G' de G),
notées W ou W/G' ;
— et sur G * T, en nous limitant cependant aux comparaisons
d'interaction partielle (à un degré de liberté) entre G et T.
Nous verrons que ces trois types de problèmes pourront être
posés plus simplement, dans le cadre d'un protocole dérivé de
type S<G), sous la forme d'une inference :
— soit sur un effet associé à une comparaison à un degré de
liberté sur G, par l'application d'un contraste aux moyennes
des « groupes » de G ;
— soit sur une moyenne générale, obtenue à partir des
des « groupes » par l'application d'une famille de coefficients,
qualifiée d' anti-contraste (Rouanet et Lépine, 1976).
Ainsi, on sera amené à utiliser, dans tous les cas, une procé
dure plus générale : l'inférence sur une combinaison linéaire de
moyennes de groupes indépendants.
Avant de présenter cette procédure, puis son application à la
résolution de ces problèmes, nous introduirons un exemple
fictif de protocole, qui nous servira à illustrer notre propos.
I. — Exemple illustratif
Nous prendrons l'exemple d'un protocole numérique dont le
plan est S<G4> * T4.
Nous pourrons supposer que le facteur G et le facteur T sont,
chacun, formés d'un croisement de deux facteurs élémentaires
à deux modalités :
G4 = A2 * B2 et T4 = G2 * D2.
Pour satisfaire la généralité de l'exposé, nous avons choisi
un emboîtement déséquilibré de S dans G. Par ailleurs, l'exemple
étant fictif, les observations du protocole ont été tirées au hasard
(tableau I). t de Student 399 Le
II. — Procédure de base et applications
II.l. de base :
inference sur une combinaison linéaire
entre moyennes de groupes indépendants
Dans le cadre d'un plan de type S<G>, on désire faire une
inference sur un paramètre X, obtenu par l'application d'une
famille de coefficients [hg)geG aux moyennes parentes de groupes
indépendants :
Les conditions de validité de la méthode que nous allons
indiquer sont les mêmes que celles des tests F, associés à une
comparaison sur G : indépendance selon les « sujets », homogén
éité des variances parentes des groupes, normalité des distr
ibutions parentes des groupes si les effectifs sont faibles.
On trouvera dans Hoc (1983 a, p. 185-187) une présentation
de ces conditions de validité pour l'un des deux tests possibles2 :
le test F2.
Nous rappellerons ici les conditions de validité de l'autre
(le test Fx), en référence à celles du premier.
En effet, lorsque certains coefficients hg sont nuls, seul un
sous-ensemble strict G* $ G des groupes est impliqué. Alors,
on a le choix entre deux modèles :
— un modèle général, dont les conditions de validité portent
sur l'ensemble G des groupes (correspondant à celles du
test F2) ;
— et un modèle local, en restreignant les conditions de validité
du général au sous-ensemble G*, composés des seuls
groupes impliqués.
La distribution fiduciaire du paramètre a les caractéristiques
suivantes :
— elle est centrée sur l = S h m (m étant la moyenne asso-
G
ciée au « groupe » g) ;
2. Pour les notations et les définitions de ces tests, voir Rouanet et
Lépine (1977). 400 Jean-Michel Hoc
— elle a pour indice d'échelle e — s /2 h^gjng (s étant l'écart
G' = G pour le type corrigé intra-groupe défini plus bas,
modèle général, G pour le modèle local et ng l'effectif associé
au « groupe » g) ;
— elle a la forme d'un / de Student dont le nombre de degrés
de liberté (dl) est donné par le dénominateur de s2, dans la
formule qui va suivre.
Selon le modèle choisi, on calculera s2, la variance corrigée
intra-groupe correspondante (moyenne, pondérée par les degrés
de liberté, des variances corrigées des groupes pris en consi
dération)
G' Sn 0 — G'I i
avec (s£)ffGG : variances corrigées des groupes considérés.
Si l'on souhaite procéder à un test d'hypothèse nulle, la
valeur de la statistique de test sera obtenue par la formule
t = l\e. Si l'on s'intéresse à une autre hypothèse, on retranchera
de / la valeur hypothétique, dans cette formule. La statistique
de test est évidemment distribuée comme un t de Student, avec
le même nombre de degrés de liberté que la distribution fiduciaire.
II. 2. Application de la procédure de base
à V inference sur un effet associé à une comparaison
à un degré de liberté
entre moyennes de groupes indépendants
Dans le cas d'une comparaison entre deux moyennes, cette
procédure est très familière. Nous présenterons ici sa générali
sation à plus de deux moyennes (déjà développée dans Faverge,
1950), comme un cas particulier de la procédure de base que
nous venons de décrire.
On s'intéresse à un effet associé à une comparaison à un degré
de liberté sur G. Pour évaluer cet effet, on choisira un contraste
approprié sur G, noté :
cg = VffGG Le t de Student 401
Pour construire ce contraste, on peut se référer à Hoc
(1983 a), où deux critères sont pris en considération, que nous
rappellerons brièvement :
— Le premier critère (pertinent lorsque l'emboîtement S<G>
est déséquilibré) concerne la nature de la comparaison étudiée.
Elle peut être équipondérée [eq] ou pondérée par les effec
tifs [pe] {op. cit., p. 113-119).
— Le second critère est lié à l'indicateur d'effet que l'on
souhaite prendre, parmi des indicateurs proportionnels (op. cit.,
p. 92).
Ainsi, dans notre exemple et en ne considérant que le proto
cole S<G4> * tl, on peut définir les deux comparaisons entre
parties suivantes :
gl, g2 g3 [eq] gl, g2 g3 [pe]
c' = (1, — 4/7, — 3/7,0) c = (1, — 1/2, — 1/2,0)
Pour calculer la valeur d de l'effet, on appliquera le contraste
choisi aux moyennes des groupes (mg)gEQ :
d = 0,17 d' = 0,10
Pour le calcul de la variance corrigée intra-groupe, le carac
tère pondéré ou équipondéré de la comparaison n'a pas d'im
portance, mais le modèle que l'on choisit en a :
Modèle général Modèle local
s2 7,1667 8,6667
dl 10 7
On remarquera que, dans les deux cas, l'effet est négligeable
en regard de l'écart type corrigé intra-groupe (respectivement 2,7
et 2,9).
On est alors en mesure de calculer e, l'indice d'échelle de la
distribution fiduciaire, et /, la valeur de la statistique de test
d'hypothèse nulle. Cette fois, il faut conjointement tenir compte
du type de comparaison et du type de modèle :
Modèle général Modèle local
eq e = 1,85 t = 0,09 e = 2,04 t = 0,08
pe e = / = 0,05 e = 2,03 t = 0,05 402 Jean-Michel Hoc
1 1. 3. Application de la procédure de base
à I 'inference sur la moyenne générale
de groupes indépendants
Cette fois, ce n'est plus un contraste que l'on va appliquer
aux moyennes des groupes, mais un anti-contraste : (/?<,)„ eG8.
Deux cas vont alors se présenter :
— la moyenne générale est obtenue par équipondération des
moyennes des « groupes » considérés : tous les coefficients pg
seront alors égaux à 1/|G'| ;
— elle est pondérée par les effectifs des groupes considérés :
le coefficient pg sera alors obtenu par la formule :
II restera en outre le choix entre le modèle général et le
modèle local.
Pour le même sous-protocole pris comme exemple et en
adoptant le modèle général pour l'inférence sur la moyenne des
groupes g\ à #3, on obtient :
Moyennage [eq] Moyennage [pe]
m 4,56 4,60
e 0,8544 0,8466
dl 10 10
t 5,33 5,43
Ici, ces moyennes générales paraissent importantes en regard
de l'écart type de référence (2.7).
III. — Comparaisons a un degré de liberté
DANS UN PLAN DU TYPE S<G> * T
III. 1. sur G : V/T {et V).
Le protocole pertinent à considérer est le protocole dérivé
par moyennage sur T' qui associe à chaque « sujet » la moyenne
des observations recueillies sous modalité de T'). Le
3. Rappelons brièvement ici qu'un anti-contraste est une mesure dont
la densité est constante par rapport à la mesure fondamentale. Dans le cas
du moyennage équipondéré, la mesure fondamentale attribue à chaque
« groupe » la pondération 1. Quand le moyennage est pondéré par les effectifs,
la mesure fondamentale est évidemment la mesure-effectif. Le t de Student 403
plan de ce protocole peut alors être noté S<G>/T' et, de façon
simplifiée : S<G>.
Dans notre exemple, en prenant l'ensemble du protocole de
base, nous avons indiqué que le facteur G4 pouvait être vu
comme le croisement de deux facteurs à deux modalités :
A2 * B2.
Nous illustrerons la procédure de ce paragraphe par l'analyse
de la comparaison A/cl [eq]. Le moyennage porte donc sur les
modalités il et f2 du facteur T (cf. tableau I). Le protocole
dérivé par moyennage en question est présenté dans le tableau IL
Tableau IL — Protocole dérivé par moyennage S<G)>/fl t2
al a.2
51 62 61 62
(03) (0l) (?2) (04)
si 2,5 si 2,5 s8 6,0 sll 1,0
s2 5,5 s5 5,5 s9 2,5 sl2 5,5
s3 4,5 s6 3,0 slO 6,0 sl3 6,0
sl4 «7 8,5 5,0
On s'intéresse alors à une comparaison entre moyennes de
groupes indépendants.
Pour cet exemple, on prendra le contraste suivant :
cG = (l/2, 1/2,-1/2,-1/2).
On obtiendra alors :
d = — 0,08 s2 = 5,1208 dl = 10
e = 1,22 t = — 0,07 (test d'hypothèse nulle).
III. 2. Comparaisons sur T : W/G' (et W)
L'effet qu'on analyse est défini par un contraste cT sur le
facteur T. Il convient alors de construire le protocole dérivé par
ce contraste (en associant à chaque « sujet » son effet individuel,
calculé en appliquant le contraste aux observations de ce « sujet »).
Le plan du protocole obtenu est encore du type S<G>.
On obtient alors G groupes indépendants d'effets individuels.
Mais, cette fois, on ne s'intéresse pas à une comparaison entre
groupes, mais on analyse la moyenne générale d'un sous-

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