Notion de quotité chez des enfants de 3 à 8 ans - article ; n°1 ; vol.87, pg 29-43

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L'année psychologique - Année 1987 - Volume 87 - Numéro 1 - Pages 29-43
Summary : Evolution of childreh's behavior in numerical identity tasks.
The role of the number of objects, of their position in space and of the type of action effectuated were studied in two experiments.
Forty six and one hundred and ten children (from age 3 to 8) were examined in different situations of numerical conservation.
The results show that the number of objects and their spatial disposition become less and less important between ages 3 to 7. A passage can be seen between the possibility to establish the numerical identity of two different objects through comparison and that of maintaining the numerical equivalence of two collections. The gradual increase of the number of successes testifies to a gradual transition between two levels of invariants. This transition also seems to be influenced by the nature of the task. The children maintain their judgement of numerical equality more easily when they place pearls in each glasss simultaneously than when they have to put the same number of pearls as the experimenter.
Key words : invariant, numerical conservation, ontogenesis.
Résumé
Nous avons étudié l'acquisition de la notion de quotité en soumettant des enfants, entre 3 et 8 ans à différentes situations d'égalisation numérique (variations du nombre d'objets, de leur disposition, de leurs propriétés, de consigne). Les résultats montrent une hiérarchie génétique de trois procédures : 1) l'enfant pose toutes les perles dont il dispose ; 2) il procède par correspondance terme à terme ; 3) puis par comptage.
L'effet des variations de situations se manifeste durant une période limitée. Il témoigne d'une évolution progressive de la procédure de correspondance terme à terme (augmentation de la solidité et de la permanence du lien de correspondance entre les objets de deux collections).
Mots clés : invariant, conservation numérique, ontogenèse.
15 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.
Publié le : jeudi 1 janvier 1987
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A. Desprels-Fraysse
Notion de quotité chez des enfants de 3 à 8 ans
In: L'année psychologique. 1987 vol. 87, n°1. pp. 29-43.
Abstract
Summary : Evolution of childreh's behavior in numerical identity tasks.
The role of the number of objects, of their position in space and of the type of action effectuated were studied in two experiments.
Forty six and one hundred and ten children (from age 3 to 8) were examined in different situations of numerical conservation.
The results show that the number of objects and their spatial disposition become less and less important between ages 3 to 7. A
passage can be seen between the possibility to establish the numerical identity of two different objects through comparison and
that of maintaining the numerical equivalence of two collections. The gradual increase of the number of successes testifies to a
gradual transition between two levels of invariants. This transition also seems to be influenced by the nature of the task. The
children maintain their judgement of numerical equality more easily when they place pearls in each glasss simultaneously than
when they have to put the same number of pearls as the experimenter.
Key words : invariant, numerical conservation, ontogenesis.
Résumé
Nous avons étudié l'acquisition de la notion de quotité en soumettant des enfants, entre 3 et 8 ans à différentes situations
d'égalisation numérique (variations du nombre d'objets, de leur disposition, de leurs propriétés, de consigne). Les résultats
montrent une hiérarchie génétique de trois procédures : 1) l'enfant pose toutes les perles dont il dispose ; 2) il procède par
correspondance terme à terme ; 3) puis par comptage.
L'effet des variations de situations se manifeste durant une période limitée. Il témoigne d'une évolution progressive de la
procédure de correspondance terme à terme (augmentation de la solidité et de la permanence du lien de correspondance entre
les objets de deux collections).
Mots clés : invariant, conservation numérique, ontogenèse.
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Desprels-Fraysse A. Notion de quotité chez des enfants de 3 à 8 ans. In: L'année psychologique. 1987 vol. 87, n°1. pp. 29-43.
doi : 10.3406/psy.1987.29182
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/psy_0003-5033_1987_num_87_1_29182L'Année Psychologique, 1987, 87, 29-43
CREPCO
Unilé associée CNRS 182
Université de Provence1
NOTION DE QUOTITÉ
CHEZ DES ENFANTS
DE 3 A 8 ANS
par Annie Desprels-Fraysse
SUMMARY : Evolution of children's behavior in numerical identity tasks.
The role of the number of objects, of their position in space and of the
type of action effectuated were studied in two experiments.
Forty six and one hundred and ten children (from age 3 to 8) were
examined in different situations of numerical conservation.
The results show that the number of objects and their spatial disposition
become less and less important between ages 3 to 7. A passage can be seen
between the possibility to establish the numerical identity of two different
objects through comparison and that of maintaining the numerical equi
valence of two collections. The gradual increase of the number of successes
testifies to a gradual transition between two levels of invariants. This transi
tion also seems to be influenced by the nature of the task. The children
maintain their judgement of numerical equality more easily when they place
pearls in each glasss simultaneously than when they have to put the same
number of pearls as the experimenter.
Key words : invariant, numerical conservation, ontogenesis.
INTRODUCTION
La notion de quotité consiste à reconnaître l'existence d'un
invariant numérique entre deux collections d'objets différents
qui ont même cardinal (Greco et Morf, 1962 ; Vergnaud, 1983).
Dans la théorie piagétienne (Piaget et Szeminska, 1941 ; Piaget,
1. 29, avenue Robert-Schuman, 13621, Aix-en-Provence. A. Desprels-Fraysse 30
Grize, Szeminska et Ving-Bang, 1968 ; Piaget, 1975), cette forme
d'équivalence constitue une étape qui suit celle où le jugement
d'égalité est fondé sur « des relations globales d'espace occupé ou
de dimensions perçues » (Piaget et Szeminska, 1941, p. 113).
Elle précède la notion de conservation dans laquelle le jugement
d'équivalence est maintenu par-delà des transformations d'objets
ou de collections.
Les travaux portant sur la genèse du nombre ne se comptent
plus. Pourtant le débat persiste. La théorie piagétienne est soit
remise en question (Brainerd, 1978), soit considérée comme trop
générale. Elle ne permet pas d'intégrer avec suffisamment de
cohésion les nombreux résultats qui mettent en évidence le
rôle de certains facteurs situationnels dans les jugements d'éga
lisation et de conservation précoces ; influence du nombre
d'objets, de leur disposition spatiale, des formes de questionne
ment, de l'apprentissage, de l'investissement affectif sur les
objets utilisés (Brainerd, 1977 ; German et Gallistel, 1978 ;
Strauss et Curtis, 1981 ; Guneo, 1982 ; Siegel et Hodkin, 1982 ;
Miller et Gelman, 1983 ; Russac, 1983). et Hodkin pensent
que les « tâches traditionnelles piagétiennes posent de nombreux
problèmes méthodologiques : elles confondent de nombreuses
variables, en particulier les facteurs sociaux, le langage, l'atten
tion, la mémoire, les habiletés perceptives » (p. 58, notre tra
duction). L'accent mis sur des aspects particuliers conduit à
considérer que « les cognitives humaines se déve
loppent graduellement et non dans des étapes logiques qual
itativement différentes » (id., p. 78). Ainsi elles montrent que des
enfants de 6-7 ans peuvent résoudre une tâche de conservation
non verbale, alors qu'ils échouent à une tâche verbale. Les
enfants sont exercés à presser un bouton quand deux quantités
inégales apparaissent et un autre les
sont égales. Quand cette discrimination est acquise, on leur
demande de répondre quand l'une des deux quantités jugées
égales est versée dans un vase différent. Les enfants répondent
significativement plus souvent correctement dans cette tâche
que dans la tâche verbale traditionnelle (id., p. 61). La conclusion
fournie par les auteurs d'une insuffisance verbale n'est pas
pleinement satisfaisante. Par-delà le langage présent ou absent,
la tâche non verbale est précédée d'un apprentissage de réponses
dichotomisables, est-ce vraiment le langage qui est en cause ?
on comprend mal pourquoi la tâche est facilitée et d'autre part de quotité chez V enfant 31 Notion
on ne connaît pas la période durant laquelle se manifeste l'effet
facilitateur obtenu.
Lorsqu'une perspective génétique est présente, elle est part
ielle. Ainsi Gelman et Gallistel (1978) pensent que vers deux ans,
les collections de un à deux éléments peuvent être reconnues
perceptivement (Russac, 1983, et d'autres auteurs parlent de
numerosity de subitizing), mais que des estimations du nombre,
en particulier le comptage, doivent être utilisées pour quantifier
des collections numériquement plus grandes. La caractérisation
de différentes procédures est effectivement très importante mais
il me semble que ces procédures doivent être référées à un système
plus général qui permette d'en dégager la signification, car même
le comptage peut recouvrir des formes bien différentes : simple
utilisation de la comptine des nombres (Meljac, 1979 ; Bessot
et Comiti, 1982), notion imprécise de quantité, enumeration
d'une propriété d'identification de l'objet pris dans son unité
(Fisher, 1981 ; Mosimann, Bovay, Dallenbach et Droz, 1982).
L'hypothèse piagétienne de l'utilisation d'invariants concept
uels permet de dégager la signification des procédures. C'est
la méthode que nous tenterons d'utiliser pour articuler l'analyse
fine des procédures utilisées et des performances obtenues dans
un système qui précise les invariants généraux disponibles chez
l'enfant de trois à huit ans (Wallon, 1945 ; Piaget et al., 1968,
Piaget, 1975 ; Orsini-Bouichou, 1982 ; Noelting, 1982). Vers
2-3 ans, l'enfant dispose de la possibilité de reconnaître des pro
priétés lorsque deux objets sont mis en correspondance. Vers
5-6 ans, il dispose de propriétés abstraites. Vers 7 ans, il coor
donne des propriétés (deux transformations inverses laissent un
ensemble invariant). Nous avions observé un changement très
progressif suivi d'un saut qualitatif dans la mise en place de
ces invariants au moyen d'apprentissages (Desprels-Fraysse et
Fraysse, 1977). Ces observations nous permettent de faire
l'hypothèse qu'en présentant des variations progressives de
situations, nous devrions observer une réussite progressive qui
marquerait la période de passage entre deux invariants généraux.
Ils sont spécifiés dans le domaine numérique, l'un est la reconnais
sance que deux objets même très différents forment chacun une
unité, l'autre est la notion de quotité. Nous avons choisi des
siutations d'égalisation numérique, car l'enfant est conduit à
effectuer lui-même les correspondances entre objets. Ces mises
en correspondance devraient être facilitées par la proximité A. Desprels-Fraysse 32
spatiale et une disposition ordonnée des objets. Elles devraient
se maintenir sur un nombre d'objets de plus en plus important
en fonction d'une maîtrise progressive dans l'établissement de
ces relations.
EXPÉRIENCE I
Nous cherchons à tester la diminution de l'influence de
variations du nombre d'objets et de leur disposition spatiale
chez des enfants de 3 à 8 ans. La caractérisation précise de la
période durant laquelle ces influences se manifestent devrait
nous éclairer sur la durée de passage qui aboutit à la notion
de quotité.
MÉTHODE
Situations. — L6 : L'expérimentateur puise dans une boîte de 30 petits
jetons (diamètre 0,5 cm) et en aligne 6 (avec un intervalle d'environ 1 cm
entre chaque jeton) sur une feuille, devant l'enfant et lui demande :
« Pose la même quantité, le même nombre de jetons que moi, ici (geste
en dessous de la ligne formée par les petits jetons), prends-les dans cette
boîte (30 jetons de 1 cm de diamètre) ».
L12 : L'expérimentateur aligne 12 gros jetons et demande à l'enfant
l'égalisation numérique avec des petits jetons.
E3 : disperse 3 gros jetons sur une feuille de papier
placée devant lui et demande à l'enfant de mettre le même nombre de
jetons sur une autre feuille placée devant lui (léger éloignement du modèle
et dispersion des jetons).
E6 : Id., à E3, mais l'expérimentateur disperse 6 petits jetons.
E12 : Id., à E3, 12 gros
E24 : Id., à E3, mais disperse 24 gros jetons.
Procédure. — Les enfants sont pris individuellement dans une salle
tranquille de l'école, l'enfant est assis à droite de l'expérimentateur.
L'ordre de présentation des situations est le suivant : E12, L6, E24,
L12, E3, E6. Nous avons mêlé les niveaux de difficultés postulés des
situations de manière à n'avoir ni d'effet d'apprentissage ni d'échecs
répétés chez certains enfants.
Les actions de l'enfant sont notées. La situation est réussie si l'enfant
pose le même nombre de jetons que l'expérimentateur.
Population. — Cent dix sujets ont été examinés : 25 ont entre 3 et
4 ans (âge moyen : 3;5), 25 ont entre. 4 et 5 ans (âge moyen : 4; 5). ; 25 ont Notion de quotité chez V enfant 33
entre 5 et 6 ans (âge moyen : 5;5) ; 25 ont entre 6 et 7 ans (âge moyen :
6;5) ; 10 ont entre 7 et 8 ans (âge moyen : 7;5).
Le nombre de garçons et de filles est à peu près le même à chaque
niveau d'âge.
HYPOTHÈSE
Lorsque l'enfant utilise une procédure de correspondance
terme à terme pour égaliser le nombre de jetons (vers 4-6 ans ?),
nous devrions observer moins de réussites lorsque le nombre
d'objets augmente (comparaison entre L6 et L12- E3, E6, E12,
E24) et lorsque les jetons sont dispersés sur une feuille devant
l'expérimentateur entre L6 et E6 - L12 et E12).
RÉSULTATS
La figure 1 montre le pourcentage de réponses justes à chaque
situation et à chaque niveau d'âge. Dès 3-4 ans, des réponses
♦ E 3
0 L6
B E 6
a L 12
A E 12
A E 24
age
Fig. 1. — Influence de la position spatiale
et. du nombre d'objets sur la fréquence des réussites
Influence of the position in space and of the, number uf object*
on the frequence of successes
8V. A A. Desprels-Fraysse 34
justes sont possibles à E3, L6, E6, L12. A partir de 6-7 ans, les
enfants réussissent massivement sauf E24. Les enfants de 7-8 ans
réussissent tout. La période durant laquelle se manifeste l'i
nfluence du nombre et de l'emplacement spatial des jetons est
bien délimitée mais elle s'étend sur une période plus longue
que prévu.
Le relevé de la suite des actions de l'enfant montre l'util
isation de trois procédures. La première (a) a été repérée seul
ement chez les plus jeunes enfants qui échouent partout (8 sujets
dans le tableau 1), ils posent, l'un après l'autre, tous les 30 jetons
de la boîte dans laquelle ils puisent. Seule la suite des gestes de
l'expérimentateur est imitée soit dans un alignement, soit dans
un ordre dispersé. La deuxième (b) est la procédure de corres
Tableau I. — Types de procédures utilisées par des enfants
d'âges différents dans les situations d'égalisation numérique :
a : pose de tous les jetons disponibles ;
b : correspondance terme à terme;
c : comptage.
Children's procedures at different ages in situations of
numerical identity :
a : the child puts all the tokens ;
b : term to term correspondence ;
c : counting.
procédures
âge des a b bouc bete c
sujets
17 3;5
13 9 3 4;5 r
10 /2 ~^4> 1 Ö 5;5
/
6;5
/ /
7;5 VloJ /
échec total t réussite réussite totale
saufE24 Notion de quotité chez l'enfant 35
pondance terme à terme. L'enfant prend les jetons l'un après
l'autre et les place juste en dessous des jetons de la ligne du
dessus (L6 et L12), ou à la même place que sur la feuille de
l'expérimentateur (E3, E6, El 2, E24). Enfin la troisième pro
cédure est le comptage (c). L'enfant, à partir de 6 ans, compte
les objets posés par l'expérimentateur et les pose soit l'un après
l'autre en comptant à haute voix, soit en prenant le même
nombre de jetons dans sa main et en les posant ensuite sans
tenir compte très précisément de l'emplacement spatial. La pro-
SITUATIONS
SUJETS
E3 L6 E6 L12 E12
31
- + 15
+ * 3
- + 5
- il
ô
+ - + 1 +
- 1
7
+ 9
- 1
- Ô
100 *
- ô ans ne figurent pas ici les 10 sujets de 7
Fig. 2. — Echelle hiérarchique de l'ordre de difficulté des items
Hierarchical scale of the order of difficulty of the items A. Desprels-Fraysse 36
cédure de comptage est la seule utilisée par les enfants de 7-8 ans,
elle leur permet alors une réussite totale. La procédure de corre
spondance terme à terme est dominante chez les plus jeunes
enfants. Elle se maintient avec le comptage avant d'être rem
placée par lui. Les deux procédures pourraient permettre la
réussite toutefois les résultats de la figure 1 montrent qu'elles ne
permettent pas une réussite totale dès leur apparition. Ce résultat
est confirmé par l'analyse hiérarchique de la ßgure 2. Le coeffi
cient de reproductibilité de Gutman est de 0,95 (seuil 0,90).
Le coefficient de scalabilité de Jackson qui n'est pas affecté par
le niveau de difficulté des items est de 0,83, le seuil de 0,70
étant considéré comme acceptable, nous pouvons considérer que
nous avons une bonne échelle hiérarchique.
DISCUSSION
L'hypothèse d'un effet temporellement limité dans l'onto
genèse des variations du nombre et de la position spatiale des
objets est vérifiée. Cependant il convient de nuancer l'inte
rprétation que nous avions donnée. En effet, chacune des deux
procédures, correspondance terme à terme et comptage, peut
conduire à des erreurs. Le comptage, utilisé dès 6-7 ans (fin
de maternelle et cours préparatoire) devient très vite une pro
cédure pleinement efficace puisqu'il n'y a plus aucune erreur
dans le groupe d'enfants de 7-8 ans. Les erreurs observées pro
viennent soit du non-comptage ou du double comptage de cer
tains jetons (particulièrement dans les situations E), soit d'une
connaissance imparfaite de la « comptine des nombres » (Bessot
et Comiti, 1982). Un nom de nombre est bien attribué à chaque
jeton compté mais le même nom peut être donné à deux ou
plusieurs objets différents ou des oublis de noms de nombre se
produisent (ex. : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 5, 6...). La procédure de corre
spondance terme à terme ne conduit chez aucun sujet à une
réussite totale. L'enfant semble avoir des difficultés à maintenir
dans le temps et l'espace les liens successifs entre chacun des
jetons posés par l'expérimentateur et chacun de ceux qu'il pose
(les deux termes du « couple », Wallon, 1945). Le doigt pointé
sur les jetons peut constituer un point de repère efficace pour les
enfants qui l'ont spontanément utilisé. Notion de quotité chez l'enfant 37
EXPÉRIENCE II
Dans l'expérience précédente, nous avions constaté que le
doigt pointé sur les jetons renforçait l'efficacité de la procédure
de mise en correspondance terme à terme. Nous pensons donc
qu'en mettant l'accent sur chacun des deux termes du couple,
l'égalisation numérique serait facilitée. Nous avons adapté
l'épreuve de conservation des quantités discontinues (Piaget
et Szeminska, 1941, édition 1967, p. 43) : l'enfant place lui-même
une perle, simultanément dans chacun des deux récipients.
Par ailleurs, les jetons proposés dans la première expérience
variaient seulement selon la taille, nous proposons des perles
qui varient à la fois la taille et la couleur. Greco et Morf
(1962), Vergnaud (1983) signalent que la difficulté de la notion
de quotité résulte bien du fait que deux objets, même très diffé
rents, ont une propriété commune : être chacun une unité.
MÉTHODE
Situation 1. — L'expérimentateur pose trois petites perles jaunes
(0,4 cm de diamètre) sur une ligne et demande à l'enfant de placer le
même nombre de grosses perles brunes (0,8 cm de diamètre) sous la ran
gée de petites perles. La même situation est proposée avec 6 puis 12 petites
perles. Ensuite l'expérimentateur demande : « Et si je posais une très
grande quantité de perles, pourrais-tu poser le même nombre de perles
que moi ? »
Situation 2. — L'enfant est invité à poser une petite perle jaune et
une grosse perle brune (une dans chaque main) simultanément dans deux
verres égaux. L'expérimentateur interrompt les actions après 3, 6,
12 perles posées dans chacun des deux verres et demande : « Y-a-t-il le
même nombre de perles dans chacun des deux verres ? » La question de
généralisation est posée ensuite : « Et si tu continues comme ça longtemps
y aura-t-il le même nombre de perles dans chacun des deux verres ? »
Procédure. — Les enfants sont testés individuellement dans une salle
tranquille de l'école. L'enfant est assis à droite de l'expérimentateur. Sur
la table sont placées une boîte de 30 petites perles jaunes et une boîte de
30 grosses perles brunes (situation 1), deux verres identiques sont ajoutés
pour la situation 2.
L'effet éventuel de l'ordre de passation des situations est neutralisé.
L'enfant réussit les items de la situation 1 s'il pose le même nombre
de perles, les items de la situation 2 s'il juge qu'il y a bien le
de perles dans chacun des deux verres.
Sujets. — Nous avons examiné 46 enfants (23 garçons et 23 filles) à
l'école maternelle. Leur âge moyen est de cinq ans (de 4 à 6 ans).

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