La valeur esthétique de la Section Dorée - article ; n°14 ; vol.4, pg 199-212

A. W.

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Revue néo-scolastique - Année 1897 - Volume 4 - Numéro 14 - Pages 199-212
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• Publié par: REVUE_NEO-SCOLASTIQUE
• Publié le: 01 janvier 1897
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

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A. W.
La valeur esthétique de la Section Dorée
In: Revue néo-scolastique. 4° année, N°14, 1897. pp. 199-212.
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W. A. La valeur esthétique de la Section Dorée. In: Revue néo-scolastique. 4° année, N°14, 1897. pp. 199-212.
doi : 10.3406/phlou.1897.1552
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/phlou_0776-5541_1897_num_4_14_1552et Documents. Mélanges
m.
La valeur esthétique de la Section Dorée.
La section dorée est une proportion dont la valeur esthétique est
incontestable. Dans ces derniers temps, plusieurs savants allemands,
parmi lesquels Adolphe Zeising et Pfeifer méritent une mention
spéciale, ont fait sur la section dorée des recherches remarquables.
Avant d'examiner les manifestations de cette proportion dans la
nature et dans l'art, il est nécessaire de rappeler quelques considé
rations mathématiques.
I.
CONSIDÉRATIONS MATHÉMATIQUES.
La section dorée n'est autre chose que la proportion résultant de
ce problème posé par Legendre (Éléments. Livre III. Probl. 16) :
" Diviser une ligne AB en moyenne et extrême raison, c'est-à-dire en
deux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle
entre la ligne entière et l'autre partie. „
Si donc on pose AB — a, et qu'on appelle x la plus grande partie,
la plus petite sera a — a;, ce qui donne la proportion :
(1) 4= "
x a — x
Ce problème se trouve déjà chez Euclide, sous une forme légère
ment différente (Éléments. Livre H).
On le voit, la proportion obtenue est telle que deux de ses termes
donnait toujours le troisième, soit par addition, soit par soustraction. .
MÉLANGES ET DOCUMENTS. 200
Ce lien entre les termes a fait donner à la proportion les noms les
plus divers. Kepler, s'appuyant toutefois sur des raisons purement
mathématiques, l'appelle proportio divina ou sectio proportionalis.
Proportio divina,... dit Petrus Ramus, " ut inde una trinitas et unitas
trina conciperetur „. De notre temps on l'appelle section d'or ou
section dorée (Goldene Schnitt).
Les produits des extrêmes et des moyens dans l'équation (1) donne :
(2) xl = a {a — x) ou x~ -\-ax — a: = 0
Si l'on résout cette équation, en mettant 1 pour la valeur de la
ligne entière ou de a, on a finalement :
—TV 5~i
Ce qui, après calculs, donne pour la valeur de x la fraction irra
tionnelle 0,618033.
La ligne divisée d'après la section dorée, dont a serait le plus
grand segment et x le plus petit, serait évidemment a -j- x, et l'on
devra avoir :
a -f- x o_
a x
D'autre part, si x était l'entier à diviser, a — x étant le plus grand
segment, le plus petit serait la différence des deux, ou x — (a — x)
— x — a -\- x— %x — a. D'où :
x a — x
a — x 2o? — a
Les deux proportions ainsi trouvées donnent lieu à la suite de
rapports égaux : ..J*d~* = ± = - x - = a^zJ>L , suite qui
a x a — x 2a? — a
peut se prolonger indéfiniment dans les deux sens.
En introduisant dans cette série la valeur trouvée plus haut pour x,
et en mettant simplement les termes non-identiques à la suite l'un de
l'autre, on a, à partir de l'unité (a) :
la série ascendante : 1,000...; 1,618... ; 2,618... ; 4,236... ; 6,864...
Et la série descendante : 1,000...; 0,618...; 0,382...; 0,236.:,; 0,146...;
0,090... ; 0,055... ; 0,034... ; 0,021... ; 0,013... ; 0,008... ; 0,005... ; 0,003...
C'est la série dorée (series aurea).
Il est facile de voir que, dans cette série, chaque terme plus grand
est la somme des deux termes immédiatement inférieurs. C'est en MÉLANGES ET DOCUMENTS. 201
appliquant ce mode de formation que nous allons voir apparaître une
autre série appelée par Zeising series aurescens.
Soient comme premiers termes a et 6, et d'après la manière donnée
formons la série :
a : 6 : a + 6 : a -f 26 : 2a 4- 36 : 3a -j- 56 : 5a \- 86....
Posons a = 6 = 1, et la série devient :
1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8 : 13 : 21 : 34 : 55 : 89 : 144....
Mettons ces termes sous forme de rapports, de façon que le
conséquent de chaque rapport qui précède devienne antécédent dans
le rapport qui suit :
1 2 3 5 8 13 21 34 55
Cette série (série de Lamé) est appelée aurescens, parce que, à
mesure qu'elle progresse, les rapports qui la constituent se rap
prochent de la section dorée. Pour réaliser celle-ci, les rapports de
rang impair sont tous trop grands, mais de moins en moins ; les
rapports de rang pair sont tous trop petits, mais leur défaut décroît
constamment. Ainsi, la série est pour ainsi dire ondoyante ; elle tend
constamment vers la section dorée, sans jamais l'atteindre exacte
ment, mais avec des excès et des défauts alternatifs qui deviennent
aussi petits que l'on veut, à mesure qu'on prend un terme plus
avancé.
Tout le monde connaît la construction géométrique du problème»
Sur une des extrémités A de la ligne, on élève une perpendiculaire
AD = I AB. Après avoir joint DB, on
prend sur cette hypothénuse une lon
gueur DE = AD. Du point B comme
centre, on décrit un arc de cercle de
rayon BE ; cet arc coupera la droite AB
en F, point qui détermine la division
demandée. (Voir la démonstration chez
Legendre, livre III. Probl. 16).
Voici, pour finir ces considérations mathématiques, les relations
entre la section dorée et la détermination des côtés des polygones
réguliers inscrits dans le cercle. Euclide a partiellement entrevu ces
relations, qui ont été mises en lumière par Zeising '). Ayant divisé
») Hzr goldene Schnitt, Halle 1884. 202 MÉLANGES ET DOCUMENTS.
le rayon AC d'une circonférence d'après la section dorée, on porte
d'abord sur le diamètre, dans le sens
opposé à partir du centre, une longueur
CD qui égale le plus grand segment de
la division; la ligne AD est alors une
nouvelle longueur divisée en moyenne et
extrême raison, dont AC est le plus grand,
CD le plus petit segment. Après cela, sur
une perpendiculaire indéfinie élevée en
A, on porte d'abord AE = DC et AF =
CA. Cela étant, voici les résultats de cette
construction :
La distance ED est le côté du triangle equilateral inscrit,
CF = côté du carré inscrit,
CE = côté du pentagone régulier inscrit,
CA = côté de l'hexagone
CH = côté du décagone régulier inscrit.
IL
LA SECTION DORÉE DANS LA NATURE.
Nous exposerons rapidement quelques exemples de la section
dorée dans la nature, en recourant aux mesures très minutieuses de
Zeising et Pfeifer, là où nous n'avons pu faire des expériences
personnelles.
A. Végétaux. — Dans les végétaux, la section dorée est la plus
manifeste. Il faut cependant observer :
1. Comme plusieurs causes altèrent constamment les dimensions
des plantes, il y a avantage à expérimenter sur des plantes jeunes,
celles d'un an par exemple.
2. Plus l'organisation des plantes est parfaite, plus le résultat est
satisfaisant.
3. Les manifestations les plus claires de la section dorée s'obser
vent dans les feuilles composées, entre les distances des folioles.
Un premier mode de manifestation de la section dorée dans les
plantes s'observe dans les rapports de longueur entre les divisions
verticales des tiges ou des rachis par des nœuds, feuilles, folioles, etc..
En voici quelques exemples :
Les quatre intervalles formés par les folioles d'une feuille impari- !
MÉLANGES ET DOCUMENTS. 203
pennée de rosier, nous ont donné, en millimètres, en partant de la
base, les mesures :
30 21 18 13
Le premier et le troisième intervalle, ainsi que le deuxième et le
quatrième réalisent les valeurs de la série de Lamé :
1? = -?- î? ~~
5 21 30
Le Mélilot officinal (Papillonacées) est constitué dans les divisions
de la tige principale, suivant les intervalles :
40 24 34 21
ce qui donne deux valeurs de la série :
24 / _3_\ 21
40 \ 5/ 34
Dans la Citronelle, on trouve pour les entre-nœuds la série :
16 10 6 = 8 5 3
Un grand nombre d'autres plantes ont donné de ces valeurs
approximatives. Ainsi, entre autres :
Rose de mai ... s Cornus sanguinea . »!
Solanum nigrum . . I Trifolium minus . . îï
Physalis Alkekengi . h Medicago . . . . H
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