Théories de jauge en géométrie non commutative et ...

Emmanuel Sérié

Sujets

• Algèbre linéaire
• Champs-sur-Yonne
• Théories d'une vitesse de lumière variable
• Mo'vez Lang
• Modelé (géologie)
• Herpèsvirus humain type 8

Informations

• Publié par: Machung
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• Langue: Français
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Extrait

Thèse de doctorat de l’Université Paris 6 (spécialité physique théorique) présentée par Emmanuel Sérié Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université Paris 6 Sujet de thèse: Théories de jauge en géométrie non commutative et généralisation du modèle de Born-Infeld soutenue le 20 septembre 2005 devant le jury composé de: Jean Iliopoulos président Richard Kerner directeur Thierry Masson co-directeur Robert Coquereaux rapporteur Michel Rausch de Traubenberg rapporteur Alain Comtet examinateur Michel Dubois-Violette examinateur invité3 Remerciements Ma thèse s’est déroulée au Laboratoire de Physique Théorique des Liquides de l’Uni- versitéParisVIetauLaboratoiredePhysiqueThéoriquedel’UniversitéParisXIàOrsay. Je remercie donc Bertrand Guillot, Dominique Schiff et Henk Hilhorst de m’avoir accueilli dans leur laboratoire qu’ils dirigent ou ont dirigé afin que je puisse y effectuer mon travail de thèse. Mon séjour y a été des plus agréables et j’ai pu y bénéficier d’une ambiance stimulante. Ce double statut est la résultante du fait que Richard Kerner et Thierry Masson ont tous deux accepté de diriger mes travaux de recherche durant ces trois années. Je dois dire quecettesituationtoutàfaitexceptionnellem’apermisdebénéficierd’unencadrementde très grande qualité et je tiens à leur exprimer ma plus sincère reconnaissance et toute ma sympathie. J’ai beaucoup apprécié Richard pour son enthousiasme scientifique et Thierry pour son attention et son souci de rigueur permanent. Je les remercie pour l’expérience et les savoirs qu’ils ont su partager avec moi et pour m’avoir initié au vaste domaine qu’est la physique mathématique. Je tiens à remercier Robert Coquereaux et Michel Rausch de Traubenberg pour avoir accepté de juger cette thèse, pour m’avoir accordé leur temps et leur attention, ainsi que pour les remarques qu’ils ont pu me faire et qui m’ont permis de clarifier certains points de ce manuscrit. Je tiens également à remercier Alain Comtet, Michel Dubois-Violette et Jean Iliopoulos pour avoir accepté d’être membres du jury et d’avoir porté une attention particulière à mon travail. Je tiens à remercier toutes les personnes que j’ai rencontrées et qui m’ont permis durantmonparcoursd’avancerdansmaperceptiondecertainsproblèmes:MichelDubois- Violette, Yvon Georgelin, John Madore, Vincent Rivasseau, Jean-Christophe Wallet et bien d’autres encore, enseignants et chercheurs, dont la liste serait trop longue à énumérer ici. Je remercie également Marco Maceda, Todor Popov et Fabien Vignes-Tourneret qui ont accompagné mon destin de thésard et avec qui des échanges fructueux ont eu lieu. Merci également à tous les thésards et postdocs que j’ai rencontrés au LPT et au LPTL au cours de ces trois années, qui participent grandement aux souvenirs que je conserve de cette période. Je remercie Philippe Boucaud, Olivier Brand-Foissac, Michel Quaggeto et Jean-Pierre Leroy pour leur dévouement et gentillesse face aux problèmes informatiques que j’ai pu rencontrer. Je remercie également Patricia Flad pour son aide dans mes recherches biblio- graphiques ainsi que les secrétaires de ces laboratoires pour leur gentillesse. Je tiens aussi à remercier Gérard Hoffeurt pour son aide précieuse lors de l’impression de ma thèse. Je remercie ma compagne, Aurélie, pour son soutien affectif et moral et pour avoir relu sans relâche les prototypes successifs de mon manuscrit. Je remercie également ma mère, Dominique, d’avoir fait une dernière relecture attentive. Si il y a moins de vingtfautes par page, c’est grâce à elles! Enfin, merci à ma mère et mon père, Philippe, pour m’avoir toujours soutenu dans ce que j’entreprenais, mes soeurs, Jeanne et Léa, mon frère Julien pour avoir rythmé ces années,mesgrands-parentsYvonne,JacquelineetJean,toutemafamilleetcelled’Aurélie. Biensûrjen’oubliepasmesamisquim’ontencouragéetsupporté,enparticulierBertrand, Christophe, Faustine, Géraldine, Mathieu, Sébastien et Stéphane. J’adresse un grand merci à tout le monde et à toutes les personnes que j’aurais pu oublier.5 Table des matières Remerciements 3 Introduction 7 1 Géométrie non commutative 17 1.1 Algèbres d’opérateurs...................................................... 17 C -Algèbres – Algèbres topologiques localement convexes 1.2 Calculs différentiels........................................................ 19 Calcul différentiel universel – Calcul différentiel universel avec unité 1.3 Homologies et cohomologies ............................................... 23 Homologie de Hochschild – Cohomologie de Hochschild – Homologie cyclique – Cohomologie cyclique 1.4 Calcul différentiel basé sur les dérivations ................................... 34 Dérivations – Calcul différentiel basé sur les dérivations – Opérations de Cartan 1.5 Conclusion................................................................ 42 2 Théories de jauge et géométrie non commutative 43 2.1 Connexions................................................................ 44 Connexions sur un bimodule – Connexions basées sur les dérivations 2.2 L’algèbre des endomorphismes.............................................. 48 Motivations – L’algèbre des endomorphismes d’un fibré vectoriel – Relations entre (A) et les formes sur un fibré principal – Point de vue local – Morphisme deDer Chern-Weil 2.3 Conclusion................................................................ 62 3 Symétries 65 3.1 Connexions invariantes sur un fibré principal................................. 66 Réduction de fibrés principaux – Connexions invariantes – Relation avec l’approche de Wang 3.2 Connexions non commutatives invariantes................................... 72 Approche globale – Approche locale 3.3 Exemples.................................................................. 78 Symétrie sphérique – Un exemple purement non commutatif6 Table des matières 4 Modèles physiques 85 4.1 Modèles de Yang-Mills-Higgs et géométrie non commutative................. 85 4.2 Théories de jauge pour les algèbres d’endomorphismes....................... 90 Décomposition des degrés de liberté – Structure Riemannienne et opérateur de Hodge – Connexion linéaire sans torsion – Action de Yang-Mills-Higgs sur un fibré non trivial 5 Théorie de Born-Infeld et généralisations 107 5.1 Modèle de Born et Infeld................................................... 107 Propriétés de l’action de Born-Infeld – “Redécouvertes” de la théorie de Born-Infeld 5.2 Généralisation non abélienne du modèle de Born-Infeld....................... 113 Rappels sur les théories de jauge et notations – Motivations pour une théorie de Born-Infeld non abélienne – Généralisation la plus simple en dimension 4 – Critères de généralisation – Prescription de la trace symétrisée – Prescription de Park (cas euclidien) – Une version Minkowskienne – Comparaison avec la trace symétrisée – Calcul explicite pour G=SU(2) 5.3 Théorie de Born-Infeld non commutative.................................... 122 Rappels sur les champs de jauge en géométrie non commutative et notations – Action de Born-Infeld 5.4 Étude numérique de solutions .............................................. 124 Solutions statiques à symétrie sphérique – Solutions pour le secteur scalaire – Vers une application en cosmologie Conclusion et perspectives 139 A Quelques Lagrangiens pour champs scalaires 143 A.1 Notations................................................................. 143 A.2 Calcul du Lagrangien ...................................................... 143 B Algèbre Homologique 149 B.1 Modules .................................................................. 149 Bibliographie 1517 Introduction Je me suis intéressé dans cette thèse à la formulation des théories de jauge dans le cadre de la géométrie non commutative et à la généralisation du modèle de Born Infeld pour des champs de jauge non abéliens. Les théories de jauge constituent un langage mathématique dans lequel sont formulées les interactions fondamentales en physique. Je me propose de faire un rappel, dans cette introduction, sur la manière dont les théories de jauge ont été introduites en physique, ce qui mettra en évidence leurs prin- cipales caractéristiques. Cela permettra également au lecteur de cette thèse de mieux en comprendre les motivations. J’expliquerai ensuite en quoi la géométrie non commutative semble être un outil approprié pour formuler les théories de jauge et je ferai également un bref rappel historique sur son apparition en mathématiques et en physique. Enfin, j’expliquerai mon intérêt pour la théorie de Born-Infeld et ses généralisations et donnerai un plan détaillé de cette thèse. Pourquoi les théories de jauge? Le terme “jauge” fut introduit pour la première fois par Hermann Weyl en 1919 dans une tentative d’unifier l’électromagnétisme et la gravitation. Cette terminologie fut em- pruntée à celle des tablettes de jauge utilisées comme étalons de longueur dans les ateliers d’usinage. Ainsi, dans la théorie de Weyl, la jauge est une référence de mesure permettant d’étalonner l’échelle qui va servir à mesurer une quantité physique. Les quantités phy- siques, ou observables, sont supposées être invariantes sous des transformations locales d’échelle (ou de jauge). L’invariance de jauge, telle qu’elle fut introduite par Weyl, était 1directement inspirée de la théorie des connexions linéaires utilisée par Albert Einstein dans sa théorie de la relativité générale et avait donc, dès sa première formulation, un statut géométrique. Malheureusement, pour diverses raisons, cette tentative d’unification échoua. Mais par la suite, lors de l’apparition de la mécanique quantique ondulatoire développée par Schrödinger en 1926, Weyl, avec Vladimir Fock et Fritz London, travailla à l’élaboration d’un nouveau type de jauge en passant d’une jauge de type facteur d’échelle à une jauge complexe de type changement de phase. Rétrospectivement, on pourrait considérer que c’est en fait James Clerk Maxwell qui introduisit la première théorie de jauge en formulant les lois de l’électr