Aspects of confinement in lattice gauge field theory [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jochen Gattnar

Aspects of Conflnementin Lattice Gauge Field TheoryDissertationzur Erlangung des Grades einesDoktors der Naturwissenschaftender Fakult˜ at fur˜ Mathematik und Physikder Eberhard-Karls-Universit˜ at zu Tubingen˜vorgelegt vonJochen Gattnaraus Ruit auf den Fildern2005Tag der mundlic˜ hen Prufung:˜ 10. Februar 2005Dekan: Prof. Dr. P. Schmid1. Berichterstatter: PD Dr. K. Langfeld2. Berich Prof. Dr. H. ReinhardtMeinen Eltern und meiner Schwesterin Dankbarkeit gewidmetiZusammenfassungBis zum heutigen Tag stellt das Ph˜ anomen des Farbeinschlusses (color conflne-ment) in der Quantenchromodynamik (QCD) ein faszinierendes Problem dar.Der Zentrumsvortexmechanismus beschreibt eine m˜ ogliche Erkl˜ arung des Farb-einschlusses im rein gluonischen Anteil der QCD. In der vorliegenden Dissertationkonzentrieren wir unsere Untersuchungen auf die Bedeutung der Zentrumsvortizesfur˜ die Physik im infraroten Bereich derSU(2) Yang-Mills-Theorie mit Hilfe vonMonte-Carlo-Simulationen der SU(2) Gittereichtheorie.˜Am Anfang geben wir einen kurzen Uberblick ub˜ er die Gittereichtheorie unddie verwendeten numerischen Algorithmen, die fur˜ die Monte-Carlo-Simulationennotwendig sind. Anschlie…end fuhren˜ wir das Bild der Zentrumsvortizes fur˜ denFarbeinschlu… ein und erkl˜ aren den Phasenub˜ ergang von der Conflnementphase indie Deconflnementphase mittels des Perkolation-Deperkolation-Phasenub˜ ergangsder Zentrumsvortizes.
Publié le : samedi 1 janvier 2005
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Aspects of Conflnement
in Lattice Gauge Field Theory
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
der Fakult˜ at fur˜ Mathematik und Physik
der Eberhard-Karls-Universit˜ at zu Tubingen˜
vorgelegt von
Jochen Gattnar
aus Ruit auf den Fildern
2005Tag der mundlic˜ hen Prufung:˜ 10. Februar 2005
Dekan: Prof. Dr. P. Schmid
1. Berichterstatter: PD Dr. K. Langfeld
2. Berich Prof. Dr. H. ReinhardtMeinen Eltern und meiner Schwester
in Dankbarkeit gewidmeti
Zusammenfassung
Bis zum heutigen Tag stellt das Ph˜ anomen des Farbeinschlusses (color conflne-
ment) in der Quantenchromodynamik (QCD) ein faszinierendes Problem dar.
Der Zentrumsvortexmechanismus beschreibt eine m˜ ogliche Erkl˜ arung des Farb-
einschlusses im rein gluonischen Anteil der QCD. In der vorliegenden Dissertation
konzentrieren wir unsere Untersuchungen auf die Bedeutung der Zentrumsvortizes
fur˜ die Physik im infraroten Bereich derSU(2) Yang-Mills-Theorie mit Hilfe von
Monte-Carlo-Simulationen der SU(2) Gittereichtheorie.
˜Am Anfang geben wir einen kurzen Uberblick ub˜ er die Gittereichtheorie und
die verwendeten numerischen Algorithmen, die fur˜ die Monte-Carlo-Simulationen
notwendig sind. Anschlie…end fuhren˜ wir das Bild der Zentrumsvortizes fur˜ den
Farbeinschlu… ein und erkl˜ aren den Phasenub˜ ergang von der Conflnementphase in
die Deconflnementphase mittels des Perkolation-Deperkolation-Phasenub˜ ergangs
der Zentrumsvortizes.
Durch einen Vergleich der r˜aumlichen Stringtension sowohl der dreidimen-
sionalen reinen Yang-Mills-Theorie als auch der dreidimensionalen Yang-Mills-
Theorie gekoppelt an adjungierte Higgsfelder mit der Stringtension berechnet mit
zentrumsprojizierten Linkvariablen, weisen wir nach, da… die r˜aumliche Stringten-
sion zentrumsdominant ist. Desweiteren flnden wir eine Vortex ˜achendichte, die
ub˜ ereinstimmt mit den Ergebnissen aus der vierdimensionalen reinen Yang-Mills-
Theorie. Beide Ergebnisse stutzen˜ das Zentrumsvortexbild der Hochtemperatur-
phase der vierdimensionalen Yang-Mills-Theorie.
Darauf folgend untersuchen wir die Bedeutung der Zentrumsvortizes fur˜ das
Verhalten der Greenschen Funktionen, d.h. der Gluon- und Geistformfaktoren,
im Infrarotbereich und ihren Ein u… auf den Farbeinschlu…. Mit Hilfe von neuen
numerischen Algorithmen berechnen wir direkt die Formfaktoren, die die Ab-
weichung eines Propagators von einem freien Propagator angeben. Die Berech-
nungen der Formfaktoren werden in der Landaueichung vollzogen. Die in den
Formfaktoren enthaltene Information ub˜ er den Farbeinschlu… wird extrahiert, in-
dem die Zentrumsvortizes aus den Konflgurationen der Linkvariablen eliminiert
werden. Dies fuhrt˜ auf ein Modell, das keinen Farbeinschlu… besitzt.
In der vollst˜ andigen, farbeinschlie…enden Theorie besitzt der Gluonformfaktor
ein ausgepr˜ agtes Maximum im mittleren Impulsbereich, w˜ ahrend das bekannte
Ergebnis aus der St˜ orungsrechnung bei hohen Impulsen reproduziert wird. Nahe
den verschwindenden Impulstransfers zeigt der Gluonformfaktor ein von einer
Masse dominiertes Verhalten. Betrachtet man das nicht-farbeinschlie…ende Mod-
ell, so verliert der Gluonformfaktor im mittleren Impulsbereich an Wert und zeigt
eine klare Abweichung von dem Verhalten des Gluonformfaktors der vollst˜ andigen
Theorie. Desweiteren flnden wir einen divergenten Geistformfaktor im Infrarot-
bereich. Unser Ergebnis stimmt mit der Gribov-Zwanziger-Bedingung fur˜ den
Farbeinschlu… ub˜ erein. Diese Bedingung setzt die Divergenz des Geistformfak-
tors am Gribovhorizont in direkten Bezug zu dem Farbeinschlu…. Betrachtenii
wir das nicht-farbeinschlie…ende Modell, so divergiert der Geistformfaktor im
Infrarotbereich nicht mehr. Die im Geistformfaktor beinhalteten Signale des Far-
beinschlusses gehen verloren, wenn der Beitrag der Zentrumsvortizes eliminiert
wird.
Da die laufende Kopplung direkt aus den Gluon- und Geistformfaktoren berech-
net werden kann, zeigen wir ihre Abh˜ angigkeit von den Zentrumsvortizes im
Infrarotlimes. Die laufende Kopplung der vollst˜ andigen Theorie und des nicht-
farbeinschlie…enden Modells reproduzieren das perturbative Verhalten in dem
Bereich, in dem die St˜ orungsrechung gultig˜ ist. Im Bereich der mittleren Im-
pulse ist die laufende Kopplung des Modells stark unterdruc˜ kt und scheint im In-
frarotlimes zu verschwinden, wohingegen die laufende Kopplung der vollst˜ andigen
Theorie stark ansteigt und sich im Infrarotlimes einer nicht-verschwindenden
Konstante anzun˜ ahern scheint.
Anschlie…end vergleichen wir unsere Me…daten mit den Ergebnissen, die man
aus dem Dyson-Schwinger-Zugang erhalten hat. Beide Resultate stimmen quali-
tativ gut ub˜ erein. Auch werden die Formfaktoren bei endlichen Temperaturen
berechnet. Unsere Resultate bei hohen Temperaturen stimmen ebenfalls mit
einer nicht verschwindenden Stringtension ub˜ erein. Abschlie…end betrachten wir
den Ein u… der Gribovkopien auf die Formfaktoren in der Landaueichung. Die
Formfaktoren sind qualitativ stabil gegenub˜ er dem Gribovrauschen.
Schlu…endlich konnten wir die Bedeutung der Zentrumsvortizes fur˜ das In-
frarotverhalten der Greenschen Funktionen der reinen Yang-Mills-Theorie und fur˜
den Farbeinschlu… aufzeigen. Unsere Resultate stellen eine Beziehung zwischen
dem Conflnementmechanisum der Zentrumsvortizes und dem Gribov-Zwanziger-tkriterium her.iii
Abstract
Down to the present day, the phenomenon of color conflnement represents still a
challenging problem of quantum chromodynamics. In the pure gluonic sector of
QCD, the center vortex conflnement mechanism describes a possible explanation
of color conflnement. In the present thesis, we concentrate our investigations on
the relevance of center vortices for the infra-red physics of pureSU(2) Yang-Mills
theory by means of Monte-Carlo simulations of SU(2) lattice gauge fleld theory.
At the beginning, we give a short review of lattice gauge fleld theory and of
the numerical algorithms needed for our Monte-Carlo simulations. Subsequently,
we introduce the center vortex mechanism of color conflnement and we explain
the conflnement-deconflnement phase transition of pure Yang-Mills theory by the
percolation-depercolation phase transition of center vortices.
By a comparison of the spatial string tension of the three-dimensional pure
Yang-Mills theory as well as three-dimensional pure Yang-Mills theory coupled
to adjoint Higgs flelds with the value of the string tension obtained from the
pure center vortex content, we show that the spatial string tension is center
dominated. Furthermore, we flnd a vortex area density being in accordance with
the vortex area density of the four-dimensional theory. Both flndings support the
center vortex picture of the high temperature phase of four-dimensional Yang
Mills theory.
Afterwards, we investigate the relevance of center vortices for the behavior of
Green’s functions, i.e. the gluon and ghost form factors, in the infra-red region
and their importance for color conflnement. By using novel numerical algorithms,
we measure directly the form factors giving the deviation of the propagators from
the free ones. The calculations of the form factors were performed in Landau
gauge. The information of color conflnement encoded in the form factors is
extracted by removing the center vortices from the ensemble of link variables by
hand. This results in a non-conflning model.
In the full, conflning theory the gluon form factor has a rather pronounced
peak in the medium momentum range, while at high momenta the result ob-
tained by perturbative Yang-Mills theory is reproduced. Close to zero momentum
transfer, the gluon form factor is mass dominated. Considering the non-conflning
model, the gluon form factor looses a good part of strength in the medium momen-
tum range showing a clear deviation form the gluon form factor of the conflning
theory. Furthermore, we flnd a divergent ghost form factor in the infra-red re-
gion. Our result is in accordance with the Gribov-Zwanziger criterion for color
conflnement which directly relates the divergence of the ghost form factor at the
Gribov horizon to color conflnement. If we consider the non-conflning model,
the ghost form factor ceases to diverge in the infra-red limit. Hence, the signals
of conflnement encoded in the ghost form factor are lost when the center vortex
content of the theory is eliminated.iv
Using the fact that the running coupling constant can be obtained directly
from the gluon and ghost form factors, we show its dependence on the center
vortex content in the infra-red limit. The running coupling constants of the full
theory and of the non-conflning model reproduce nicely the perturbative running
coupling constant in the region where perturbation theory holds. In the region
of medium momenta, the strength of the running coupling of the non-conflning
model is strongly suppressed and seems to vanish in the infra-red limit, whereas
the running coupling of the full theory increases and seems to reach a non-zero
constant in the infra-red limit.
Subsequently, we compare our measured data with the results obtained by the
Dyson-Schwinger approach. Both flndings are in good agreement on a qualitative
level. The form factors are also computed at flnite temperatures. Our results at
high temperatures agree with a non-vanishing spatial string tension. Finally, we
consider the in uence of Gribov copies on the form factors in Landau gauge. On
a qualitative level, the form factors are stable against Gribov noise.
In conclusion, we have shown the relevance of center vortices for the infra-red
behavior of Green’s functions of pure Yang-Mills theory and for color conflne-
ment. Our results establish a connection between the center vortex mechanism
of conflnement and the Gribov-Zwanziger conflnement criterion.Contents
1 Introduction 1
2 GFT on the Lattice 7
2.1 Partition Function and Euclidean Path Integral . . . . . . . . . . 7
2.2 Pure Yang-Mills Theory on the Lattice . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 The Gauge Model of Wegner . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 The Generalization to SU(2) Yang-Mills Theory . . . . . . 14
2.3 The Continuum Limit and Renormalization . . . . . . . . . . . . 20
2.4 The Monte Carlo Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 The Metropolis Monte Carlo Algorithm . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 The Heat-bath Algorithm for SU(2) Yang-Mills
Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Conflnement of Quarks on the Lattice 33
3.1 The Wilson Loop and the qq„-Potential . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 The Phase Structure of SU(2) Yang-Mills Theory . . . . . . . . . 37
3.3 The Center Vortex Picture of Conflnement . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Center Vortices and Their Properties . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 The Center Vortex Percolation Transition . . . . . . . . . 42
3.3.3 Comments on Center Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Vortices at High Temperatures 47
4.1 Dimensionally Reduced YM-Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Center Projection in the High Temperature Limit . . . . . . . . . 50
4.3 Three-dimensional Pure SU(2) Gauge Theory . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 The Center Dominance of the Static qq„-Potential . . . . . 52
4.3.2 The Vortex Area Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Three-dimensional SU(2) Adjoint Higgs theory . . . . . . . . . . 55
4.4.1 The Static qq„-Potential of the Adjoint Higgs Model . . . . 56
4.4.2 The Vortex Area Density in the Adjoint Higgs Model . . . 57
vvi CONTENTS
5 Propagators in SU(2) Yang-Mills LGT 59
5.1 The Gluon Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Gluon Fields From Lattice Link Variables . . . . . . . . . 62
5.1.3 The Lattice Approach to the Gluon Propagator . . . . . . 64
5.2 The Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Numerical Results: Gluon Form Factor . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 Comparison with Dyson-Schwinger Equations solutions . . 69
5.3.2 Signatures of Conflnement in the Gluon Propagator . . . . 71
5.3.3 The Gluon Form Factor in MCG-Gauge . . . . . . . . . . 71
5.4 The Ghost Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4.1 The Ghost Form Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Numerical Results: Ghost Form Factor . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5.1 Comparison with the Dyson-Schwinger Equation Solution . 78
5.5.2 Signature of Conflnement in the Ghost Form Factor . . . . 78
25.6 The Running Coupling fi (p ) of the Strong Interaction . . . . . . 79s
5.7 The Green’s Functions at Finite Temperature . . . . . . . . . . . 83
6 Gauge Fixing and Gribov Noise 87
6.1 Gauge Fixing and Gribov Copies in the Continuum . . . . . . . . 88
6.2 LGT: Gauge Fixing and Gribov Copies . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.1 The Gribov Noise of the Form Factors in Landau Gauge . 91
7 Conclusions 95
A Notation 99
A.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.1.1 Minkowski Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.1.2 Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.1.3 Lattice Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.1.4 The Spin Pauli Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.1.5 The Generators of the SU(2) Gauge Group . . . . . . . . . 101
A.2 The Haar Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B Lattice Gauge Fixing 103
B.1 The Maximal Center Gauge (MCG) . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.1.1 The Numerical Implementation of MCG . . . . . . . . . . 104
B.1.2 MCG: Auxiliary Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.2 The Minimal Landau Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.2.1 The Iterated Overrelaxated Algorithm . . . . . . . . . . . 106
B.2.2 The Simulated Annealing . . . . . . . . . . . . 107

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