Autour du problème des arcs de Nash pour les singularités isolées d'hypersurfaces, Around the Nash problem on arcs for the isolated singularities of hypersurfaces

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Sous la direction de Gerard Gonzalez-sprinberg
Thèse soutenue le 16 septembre 2011: Grenoble
Soient k un corps algébriquement clos et V une variété algébrique sur k. Dans le but d'étudier la géométrie du lieu singulier de V, John Nash a introduit l'espace d'arcs et les espaces de m-jets, m>0, dans une prépublication de 1968 qui a été publiée en 1995. Il a aussi défini une application, actuellement connue sous le nom d'application de Nash, qui associe à chaque famille d'arcs passant par le lieu singulier de V (composante de Nash) un diviseur essentiel sur V. Nash a démontré que cette application est injective. Le problème de Nash consiste à étudier la surjectivité de l'application de Nash. Dans plusieurs cas de variétés V, la bijectivité de cette application a été prouvée. Or, un exemple d'une singularité isolée d'hypersurface de l'espace affine de dimension 5 avec deux diviseurs essentiels et une composante de Nash a été donné dans un article de 2003. À l'heure actuelle, déterminer l'image de l'application de Nash reste un problème difficile, mêmes dans le cas de singularités bien connues. Dans cette thèse, on démontre la bijectivité de l'application de Nash pour certaines familles de singularités isolées d'hypersurfaces des espaces affines de dimension 3 et 4.
-Arcs
-Wedges
-Espace d'arcs
-Problème de Nash
-Singularités
-Eventail de Newton
Be it that K is a closed algebraic field and V an algebraic variety on K. In the goal of studying the geometry of a singular space on V, John Nash introduced the space of arcs and the spaces of m-jets, m>0, in a 1968 preprint, published in 1995. He also defined an application, currently known as Nash's application, which associates an essential divisor on V to each arc family passing by V's singular space. Nash proved that this application is injective. The Nash problem consists of studying the surjectivity of the Nash application. In several cases of V varieties the bijectivity of this application has been proven. However an example of an isolated hypersurface singularity of affine space of dimension 5 with two essential divisors and one Nash component has been given in a 2003 article. Currently determining the image of the Nash application remains a difficult problem, even in the case of well known singularities. This thesis proves the bijectivity of the Nash application for certain families of isolated hypersurface singularities of the affine spaces of dimension 3 and 4.
-Arcs
-Wedges
-Arc space
-Nash problem
-Singularities
-Newton fan
Source: http://www.theses.fr/2011GRENM035/document
Publié le : dimanche 6 novembre 2011
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THÈSE
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DOCTEURDEL’UNIVERSITÉDEGRENOBLE
Spécialité :Mathématiques
Arrêté ministériel : 7 août 2006
Présentée par
MaximilianoLEYTON-ALVAREZ
Thèse dirigée parGérardGONZALEZ-SPRINBERG
préparée au sein del’InstitutFourier,UMR5582CNRS-UJF,
et del’Ecoledoctorale,MSTII-UFRIMAG.
Autour du problème des arcs de
Nash pour les singularités isolées
d’hypersurfaces
Thèse soutenue publiquement le16septembre2011,
devant le jury composé de :
M,IvanPAN
Professeur, Universidad de la Republica,Uruguay, Rapporteur
M,MarkSPIVAKOVSKY
DR CNRS, Université de Toulouse, Rapporteur
M,MarcelMORALES
Professeur, Université de Lyon 1, Examinateur
Mme,CamillePLÉNAT
Maître de Conférences, Université de Provence, Examinatrice
M,MikhailZAIDENBERG
Professeur, Université de Grenoble 1, Examinateur
M,GérardGONZALEZ-SPRINBERG
Professeur, Université de Grenoble 1, Directeur de thèse
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011A mis padres
y mi gringuita amada
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011Remerciements
Ademas una cosa :
Yo no tengo ningun inconveniente
en meterme en camisa de once varas.
Extrait d’un poeme de Nicanor Parra.
Mes premiers remerciement vont a mon directeur de these, Gerard Gonzalez-Sprinberg.
Tout en m’accordant une grande liberte, il a su me guider et me conseiller dans mon travail. Je
lui suis tres reconnaissant pour tout le soutien scienti que et personnel dont il a toujours fait
preuve, m^eme pendant les dures epreuves qu’il a du a ronter ces dernieres annees. Je le re-
mercie aussi pour ses conseils de redaction sans lesquels cette these ne serait pas ce qu’elle est.
Je remercie vivement Ivan Pan et Mark Spivakovsky d’avoir accepte d’^etre rapporteurs
et membres du jury de ma these. Je les remercie beaucoup pour la grande attention qu’ils
ont porte a mon travail.
De m^eme, j’exprime ma gratitude aux autres membres de mon jury de these, Marcel
Morales, Camille Penat et Mikhail Zaidenberg.
Tous les membres de mon jury se sont montres toujours disponibles pour repondre a mes
questions ou relire mes travaux preliminaires. Honn^etement, je leurs en suis tres reconnaissant.
Un grand merci a tout le personnel de l’Institut Fourier pour sa disponibilite et amabilite
envers moi ; un remerciement particulier a Dominique Spehner, pour son amitie. Je ne peux
bien sur^ pas nommer tous mes collegues thesards de l’Institut Fourier, mais que tous trouvent
ici mes sinceres remerciements pour leur gentillesse.
Je tient egalement a temoigner ma gratitude envers mes anciens professeurs Ruben Hi-
dalgo et Victor Gonzalez qui m’ont fait aimer les mathematiques et m’ont transmis cette
passion si delicieusement contagieuse.
Merci a mes colocataires, Jean Quilbeuf et Thomas Richard, pour la patience qu’ils ont
eu envers moi pendant la n de la redaction de ma these. Je les remercie aussi pour leurs
conseils linguistiques.
J’aimerai faire un remerciement special a Alvaro Liendo ; m^eme si on est tres dierents,
je le considere comme un de mes plus grands amis. Il a su m’encourager dans une epoque ou
j’avais perdu con ance en moi m^eme. Son soutien a ete crucial pour moi avant et apres mon
arrive en France.
Je remercie Ximena Colipan pour son amitie vers moi et pour la patience qu’elle a avec
Alvaro. Vraiment, je leur souhaite tout le bonheur du monde avec la petite So a qui arrivera
bient^ot.
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011En n, cette these ne serait rien sans l’amour et le soutien indefectible de mes parents,
Maximiliano Leyton et Lirian Alvarez, et de ma sur Carolina Leyton.
Mes parents malgre leurs pauvres moyens, mais avec une grande sagesse, ont lutte, sans
vaciller, toute leur vie pour donner un avenir a leurs enfants. Quand je me sens abattu, je
pense a leur lutte constante et j’ai honte de me sentir abattu, donc je retrouve la force pour
continuer a me battre.
Carolina, je suis er d’avoir une sur comme toi et je te remercie pour tout le soutien
que tu m’as donne pendant toute ma vie.
Je te remercie, ma petite gringuita, pour l’amour dont tu m’entouras, pour tes encour-
agement permanents et ta con ance en moi. Depuis que je t’ai connu ma vie est vraiment
heureuse.
Pour nir mes remerciements d’une fa con moins sentimentale. Merci a tous mes copains
d’Eve, surtout a Damien Dupre et Thommy Coula (les caraques), pour m’avoir accueilli et
integre en France, m^eme si je ne savais pas parler francais.
De m^eme, je remercie tous les amis que j’ai connu en France, pour tous les barbecues
qu’on a fait et tous les litres de biere qu’on a bu ensemble ; je remercie Rodrigo Vargas, pour
son amitie et pour le soutien que il m’a donne.
Finalement, merci aux happy hours du Freres Berthom qui m’ont permis de decompresser
et de m’amuser pendant toutes ces annees a Grenoble.
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011Table des matieres
Introduction 1
Chapitre 1. Preliminaires 15
1.1. L’espace d’arcs et l’espace de m-jets 15
1.2. Le probleme des arcs de Nash 17
1.3. Le probleme de relevement des wedges 21
Chapitre 2. Rappels et notations 25
2.1. Varietes toriques 25
2.2. Eclatement et polyedre de Newton 28
2.3. Le systeme generateur minimal et les G-desingularisations 31
2.4. Constellations toriques de points inniment voisins 33
2.5. Resolution de singularites d’hypersurfaces 36
Chapitre 3. Les vecteurs principaux d’un wedge 41
3.1. Relevement des wedges et geometrie torique 41
3.2. Le v-ordre et la v-partie principale d’une serie formelle. 45
3.3. Les vecteurs principaux d’un (K,l)-wedge 49
Chapitre 4. Resolution du probleme des arcs de Nash pour une famille d’hypersurfaces
3quasi-rationnelles deA 55k
4.1. Preliminaires et rappels 55
4.2. Le probleme Nash pour les hypersurfaces quasi-rationelles S(p; h ) 56q
4.2.1. Resolution de la singularite 56
4.2.2. Preuve de la bijectivite de l’application de Nash 63
4.3. Preuve de la bijectivite de l’application de Nash pour les singularites de typeE6
etE 717
4.3.1. La singularite de typeE 716
4.3.2. La singularite de typeE 807
4.4. Une nouvelle preuve de la bijectivite de l’application de Nash pour les singularites
de typeD 83n
Chapitre 5. Resolution du probleme des arcs de Nash pour deux familles d’hypersurfaces
4deA 89k
5.1. Preliminaires et rappels 89
45.2. Notre premiere famille d’exemples d’hypersufaces de A avec l’application dek
Nash bijective 90
5.2.1. Resolution de la singularite 90
5.2.2. Preuve de la bijectivite de l’application de Nash 94
45.3. Notre deuxieme famille d’exemples d’hypersufaces deA avec l’application dek
Nash bijective 97
5.3.1. Resolution de la singularite 98
5.3.2. Preuve de la bijectivite de l’application de Nash 100
I
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011II TABLE DES MATIERES
Bibliographie 107
tel-00630100, version 1 - 7 Oct 2011Introduction
L’etude des singularites des varietes constitue un des problemes importants de la geometrie
algebrique. Soit V une variete algebrique sur un corps k algebriquement clos. Dans le but
d’obtenir des informations sur la geometrie du lieu singulier SingV deV , plusieurs mathemati-
ciens ont introduit dierents types d’objets (algebriques, topologiques, geometriques, etc...)
qui sont lies a SingV . Un de ces objets est l’espace d’arcsV qui donne des informations sur1
la geometrie locale du lieu singulier de V . Les espaces d’arcs ont ete a la base d’importantes
avancees en la geometrie algebrique. Par exemple, le developpement de la theorie d’integra-
tion motivique.
L’espace d’arcs V a ete introduit, dans le cadre algebrique et analytique complexe, par1
John Nash dans la prepublication \Arc structure of singularities" de 1968, qui n’a ete publie
qu’en 1995 (voir [Nas95]). Dans cet article Nash a pose une question qui, avec la denomina-
tion actuelle, est connue sous le nom du probleme de Nash.
Maintenant, on expose de fa con informelle le probleme de Nash. Dans la suite de cette
introduction, on donnera un resume plus detaille.
L’espace d’arcsV peut ^etre interprete comme l’ensemble de tous les arcs Spec k[[t]]!V1
surV , muni d’une structure \naturelle" de schema sur k. Une composante de NashC associee
a V est une famille d’arcs sur V passant par le lieu singulier de V . Un diviseur essentiel E
surV est grosso modo un diviseur exceptionnel dans une desingularisation de V qui appara^t
comme composante irreductible de la

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