Banach symmetric spaces [Elektronische Ressource] = (Banach-symmetrische Räume) / vorgelegt von Michael Klotz

Banach Symmetric Spaces(Banach-symmetrische Raume)Der Naturwissenschaftlichen Fakultatder Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg zurErlangung des Doktorgradesvorgelegt vonDipl.-Math. Michael Klotzaus Frankfurt am MainAls Dissertation genehmigt von der Naturwissen-schaftlichen Fakultat der Universitat Erlangen-Nurn bergTagdermundlic henPrufung: 07. Februar 2011Vorsitzender derPromotionskommision: Prof. Dr. Rainer FinkErstberichterstatter: Prof. Dr. Karl-Hermann NeebZweitberichterstatter: Prof. Dr. Ernst HeintzeDrittberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang BertramDanksagungAn dieser Stelle moc hte ich die Gelegenheit ergreifen, mich bei verschiedenen Personen zubedanken, die mich in unterschiedlicher Weise wahrend meiner Promotionszeit unterstutzt haben.Zu allererst bedanke ich mich ganz herzlich bei meinem Betreuer Prof. Dr. Karl-HermannNeeb, der auch das Thema der Dissertation angeregt hat. Er stand mir mit seiner au eror-dentlichen Fachkompetenz stets hilfreich zur Seite, trug zu einem guten Arbeitsklima bei undlie mir beim Forschen einen sehr gro en Freiraum.Ich danke den Mitgliedern des Fachbereichs Mathematik an der Technischen UniversitatDarmstadt, die zu einem angenehmen Miteinander am Arbeitsplatz beigetragen haben. Diefreundliche Atmosphare war fur mich nicht selbstverstandlic h.
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Banach Symmetric Spaces
(Banach-symmetrische Raume)
Der Naturwissenschaftlichen Fakultat
der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Dipl.-Math. Michael Klotz
aus Frankfurt am MainAls Dissertation genehmigt von der Naturwissen-
schaftlichen Fakultat der Universitat Erlangen-Nurn berg
Tagdermundlic henPrufung: 07. Februar 2011
Vorsitzender der
Promotionskommision: Prof. Dr. Rainer Fink
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Ernst Heintze
Drittberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang BertramDanksagung
An dieser Stelle moc hte ich die Gelegenheit ergreifen, mich bei verschiedenen Personen zu
bedanken, die mich in unterschiedlicher Weise wahrend meiner Promotionszeit unterstutzt
haben.
Zu allererst bedanke ich mich ganz herzlich bei meinem Betreuer Prof. Dr. Karl-Hermann
Neeb, der auch das Thema der Dissertation angeregt hat. Er stand mir mit seiner au eror-
dentlichen Fachkompetenz stets hilfreich zur Seite, trug zu einem guten Arbeitsklima bei und
lie mir beim Forschen einen sehr gro en Freiraum.
Ich danke den Mitgliedern des Fachbereichs Mathematik an der Technischen Universitat
Darmstadt, die zu einem angenehmen Miteinander am Arbeitsplatz beigetragen haben. Die
freundliche Atmosphare war fur mich nicht selbstverstandlic h. Insbesondere gilt mein Dank
der Arbeitsgruppe Algebra, Geometrie und Funktionalanalysis, in der ich au erdem einen
gegenseitigen anregenden Austausch ub er mathematische Themen erleben durfte.
Weiter mochte ich meiner Familie und meinen Freunden Dank aussprechen, die mich in
weniger ergiebigen Zeiten immer wieder ermutigt haben nach vorne zu schauen und wei-
terzumachen. Eine besondere Hilfe war auch das Promotionsstipendium der Studienstiftung
des deutschen Volkes, das mir wahrend meiner zweiten Arbeitsphase ein kontinuierlicheres
Arbeiten an der Dissertation ermoglicht hat.
Zuletzt mochte ich meinen tiefsten Dank an meinen Vater im Himmel zum Ausdruck brin-
gen, der mich mit mathematischen Gaben und Ausdauervermogen gesegnet hat, an seinen
Sohn Jesus Christus, der der Grund und der Fels meines Lebens ist, und an den Heiligen
Geist, meinen besten Ratgeber und Ermutiger, der mir immer wieder gute Ideen geschenkt
hat.
vAbstract
In dieser Doktorarbeit entwickeln wir die Grundlagen einer Lie-Theorie fur symmetrische
Raume, die auf Banachraumen modelliert sind. Ein symmetrischer Raum im Sinne von
O. Loos ist eine glatte Mannigfaltigkeit M, die so mit einer Multiplikationsabbildung
: MM ! M versehen ist, dass jede Linksmultiplikation := (x;) (mit x2 M)x
ein involutiver Automorphismus von (M;) mit isoliertem Fixpunkt x ist. Eine Betrachtung
der in nitesimalen Eigenschaften f uhrt zu dem Konzept der Lie-Tripelsysteme. Diese treten
in naturlicher Weise als (-1)-Eigenraume von symmetrischen Lie-Algebren auf. Es gibt einen
kovarianten Funktor Lts von der Kategorie der punktierten symmetrischen Raume in die
Kategorie der Lie-Tripelsysteme.
Wir zeigen, dass die Automorphismengruppe eines zusammenhangenden Banach-symmetri-
schen RaumesM eine aufM glatt wirkende Banach-Lie-Gruppe ist. Insbesondere sehen wir,
dass M ein Banach-homogener Raum ist. Er kann mit dem Quotienten seiner Automorphis-
mengruppe nach einer Stabilisatoruntergruppe identi ziert werden. Das erm oglicht es uns,
einige Aussagen dadurch zu gewinnen, dass wir sie aus analogen Aussagen ub er Lie-Gruppen
herleiten.
Folgende wesentliche Ergebnisse werden erzielt:
Integration von einem Morphismus Lts(M ;b )! Lts(M ;b ) von Lie-Tripelsystemen,1 1 2 2
wenn M 1-zusammenhangend (d. h. zusammenhangend und einfach zusammenhan- 1
gend) ist.
Integration von einem abgeschlossenen Tripeluntersystem n Lts(M;b).
Quotienten symmetrischer Raume.
Integrabilitatskriterium fur Lie-Tripelsysteme.
viiAbstract
In this thesis, we develop the basic Lie theory of symmetric spaces that are modelled on
Banach spaces. A symmetric space in the sense of O. Loos is a smooth manifold M endowed
with a multiplication map: MM!M such that each left multiplication map :=(x;)x
(with x 2 M) is an involutive automorphism of (M;) with the isolated xed point x.
Inspection of the in nitesimal properties leads to the concept of Lie triple systems. These
naturally arise as (-1)-eigenspaces of symmetric Lie algebras. There is a covariant functor
Lts from the category of pointed symmetric spaces to the category of Lie triple systems.
We show that the automorphism group of a connected Banach symmetric space M is a
Banach{Lie group that acts smoothly on M. In particular, we see that M is a Banach
homogeneous space. It can be identi ed with the quotient of its automorphism group by
a stabilizer subgroup. This enables us to gain several statements by deducing them from
analogous ones concerning Lie groups.
The following main results are obtained:
Integration of a morphism Lts(M ;b )! Lts(M ;b ) of Lie triple systems if M is1 1 2 2 1
1-connected (i.e., connected and simply connected).
Integration of a closed triple subsystem n Lts(M;b).
Quotients of symmetric spaces.
Integrability Criterion for Lie triple systems.
ix

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