Bödeker's effective theory [Elektronische Ressource] : from Langevin dynamics to Dyson-Schwinger equations / presented by Claus Zahlten

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematicsof the Ruperto–Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDiplom–Physiker Claus Zahltenborn in HeidelbergOral examination: February 11, 2004Bodeker’s Effective Theory:From Langevin Dynamics to Dyson{Schwinger EquationsReferees: Prof. Dr. Michael G. SchmidtProf. Dr. Klaus-Dieter RotheDyson–Schwinger–Gleichungen fur? die Langevin–Dynamikin B odekers effektiver TheorieZusammenfassungTrotz schwacher Kopplung wird in nicht-abelschen Eichtheorien bei hoher Temperatur dieDynamik der Felder nicht-perturbativ, wenn die beteiligten Impulse von der Gr oßenordnung2jkj»g T sind. SolcheVerh altnissesindtypischfur? dieProzessederelektroschwachenVerletzungder Baryonenzahl im fruhen? Universum. B odeker gelang die Ableitung einer effektiven Theorie,diedieDynamikderFeldmodenmitkleinenImpulsendurcheine Langevin–Gleichungbeschreibt.DieseeffektiveTheoriewurdebislangfur? Gitterrechnungenverwendet. IndervorliegendenArbeitstellenwireinenkomplemenaren,t analytischerenZugangub? er Dyson{Schwinger–Gleichungenvor. B odekers Langevin–Gleichung wird hierzu mithilfe von Methoden, die aus der stochasti-schen Quantisierung bekannt sind, in ein Pfadintegral umgeschrieben. Wir argumentieren, daßdie sp atere Trunkierung der Dyson{Schwinger–Gleichungen die Einfuhrung?
Publié le : jeudi 1 janvier 2004
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto–Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom–Physiker Claus Zahlten
born in Heidelberg
Oral examination: February 11, 2004Bodeker’s Effective Theory:
From Langevin Dynamics to Dyson{Schwinger Equations
Referees: Prof. Dr. Michael G. Schmidt
Prof. Dr. Klaus-Dieter RotheDyson–Schwinger–Gleichungen fur? die Langevin–Dynamik
in B odekers effektiver Theorie
Zusammenfassung
Trotz schwacher Kopplung wird in nicht-abelschen Eichtheorien bei hoher Temperatur die
Dynamik der Felder nicht-perturbativ, wenn die beteiligten Impulse von der Gr oßenordnung
2jkj»g T sind. SolcheVerh altnissesindtypischfur? dieProzessederelektroschwachenVerletzung
der Baryonenzahl im fruhen? Universum. B odeker gelang die Ableitung einer effektiven Theorie,
diedieDynamikderFeldmodenmitkleinenImpulsendurcheine Langevin–Gleichungbeschreibt.
DieseeffektiveTheoriewurdebislangfur? Gitterrechnungenverwendet. IndervorliegendenArbeit
stellenwireinenkomplemenaren,t analytischerenZugangub? er Dyson{Schwinger–Gleichungen
vor. B odekers Langevin–Gleichung wird hierzu mithilfe von Methoden, die aus der stochasti-
schen Quantisierung bekannt sind, in ein Pfadintegral umgeschrieben. Wir argumentieren, daß
die sp atere Trunkierung der Dyson{Schwinger–Gleichungen die Einfuhrung? von Eichgeistern
notwendig macht, die in stochastischer Quantisierung normalerweise nicht auftreten. Dies fuhrt?
aufeineBRSTsymmetrischeFormulierungundzugeh orige Ward{Takahashi–Identit aten. Eine
zweite Symmetrie, die den Ursprung der Theorie in einer stochastischen Differential-
gleichung widerspiegelt, wird durch die Einfuhrung? der Eichgeister zerst ort. Dennoch lassen
sichdiezugeh origen(stochastischen)Ward–Identit atenausderfundamentalenStrukturderThe-
orie ableiten und bewirken eine Kurzung? verschiedener Terme der Eich–Ward–Identit at. Zur
Kl arung einiger spezieller Fragen leiten wir die Feynman–Regeln der Theorie ab und fuhren?
einige perturbative Rechnungen aus. Schließlich leiten wir die Dyson{Schwinger–Gleichungen
ab und schlagen eine m ogliche Trunkierung vor, die zumindest approximativ die stochastischen
und Eich–Ward–Identit aten respektiert.
B odeker’s Effective Theory: From Langevin Dynamics to
Dyson–Schwinger Equations
Abstract
Thedynamicsofweaklycoupled,non-abeliangaugefieldsathightemperatureisnon-perturbative
2if the characteristic momentum scale is of order jkj » g T. Such a situation is typical for the
processes of electroweak baryon number violation in the early Universe. B odeker has derived an
effective theory that describes the dynamics of the soft field modes by means of a Langevin
equation. This effective theory has been used for lattice calculations so far. In this work we
provideacomplementary,moreanalyticapproachbasedon Dyson{Schwingerequations. Using
methods known from stochastic quantisation, we recast B odeker’s Langevin equation in the
form of a field theoretic path integral. We argue that a physically reasonable truncation of the
Dyson{Schwinger equations requires the introduction of gauge ghosts, which in general is
not mandatory in stochastic quantisation. This leads to a BRST symmetric formulation and to
corresponding Ward{Takahashi identities. AsecondBRSTsymmetryreflectingtheoriginina
stochastic differential equation has to be sacrificed to establish the gauge BRST symmetry. The
(stochastic) Ward identities can still be obtained by referring to the underlying structure and are
showntoproduceacancellationamongseveraltermsofthegaugeWardidentity. Toclarifysome
issues, we derive the Feynman rules and perform some perturbative calculations. Finally, we
deduce the Dyson{Schwinger equations and suggest a truncation scheme that approximately
respects the gauge and stochastic Ward identities.“Orba parente suo quicumque volumina tangis,
his saltem vestra detur in urbe locus.
quoque magis faveas, non haec sunt edita ab ipso,
sed quasi de domini funere rapta sui.
quicquid in his igitur vitii rude carmen habebit,
emendaturus, si licuisset, eram.”
[Ovid, Tristia]Contents
1 Introduction 3
2 Baryon Number Violation and B odeker’s Effective Theory 10
2.1 Baryon Number in SU(2) Gauge Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 B odeker’s Effective Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Path Integral Formulation of B odeker’s Theory 17
3.1 From Stochastic Differential Equations to Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 B odeker’s Theory: Upgrading to • Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 The Path Integral Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 BRST Symmetric Action and Ward–Takahashi Identities 31
4.1 Constructing a BRST Symmetric Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Symmetries of the Theory and their Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Gauge Ward Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Stochastic Ward Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Translational and Rotational Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.4 Ghost Number Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Explicit Consequences to Lower N-Point Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.1 Definitions and General Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.2 Simple Consequences of Translational and Rotational Invariance . . . . . . 54
4.3.3 The Gauge and Stochastic Ward Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Perturbation Theory 62
5.1 Feynman rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.1 The Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.2 The Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 UV Behaviour and Cancellations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Dyson–Schwinger Equations 78
6.1 General Dyson–Schwinger Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.1 Anti-ghost (!¯) equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.2 Ghost (!) equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.3 Auxiliary field (‚) equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.4 Gauge field (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Explicit Equations for Lower N-Point Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
(!)6.2.1 DSE for Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
(‚‚)6.2.2 DSE for Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
(‚A)6.2.3 DSE for Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
(A‚)6.2.4 DSE for Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
(AA)6.2.5 DSE for Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Conclusions and Outlook 93
12 CONTENTS
A Conventions and Useful Relations 98
B Feynman Rules 102
Bibliography 104

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