Conception et analyse de schémas d'ordre très élevé distribuant le résidu : application à la mécanique des fluides

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Sous la direction de Rémi Abgrall
Thèse soutenue le 06 novembre 2009: Bordeaux 1
La simulation numérique est aujourd'hui un outils majeur dans la conception des objets aérodynamiques, que ce soit dans l'aéronautique, l'automobile, l'industrie navale, etc... Un des défis majeurs pour repousser les limites des codes de simulation est d'améliorer leur précision, tout en utilisant une quantité fixe de ressources (puissance et/ou temps de calcul). Cet objectif peut être atteint par deux approches différentes, soit en construisant une discrétisation fournissant sur un maillage donné une solution d'ordre très élevé, soit en construisant un schéma compact et massivement parallèlisable, de manière à minimiser le temps de calcul en distribuant le problème sur un grand nombre de processeurs. Dans cette thèse, nous tentons de rassembler ces deux approches par le développement et l'implémentation de Schéma Distribuant le Résidu (RDS) d'ordre très élevé et de compacité maximale. Ce manuscrit commence par un rappel des principaux résultats mathématiques concernant les Lois de Conservation hyperboliques (CLs). Le but de cette première partie est de mettre en évidence les propriétés des solutions analytiques que nous cherchons à approcher, de manière à injecter ces propriétés dans celles de la solution discrète recherchée. Nous décrivons ensuite les trois étapes principales de la construction d'un schéma RD d'ordre très élevé : - la représentation polynomiale d'ordre très élevé de la solution sur des polygones et des polyèdres; - la description de méthodes distribuant le résidu de faible ordre, compactes et conservatives, consistantes avec une représentation polynomiale des données de très haut degré. Parmi elles, une attention particulière est donnée à la plus simple, issue d'une généralisation du schéma de Lax-Friedrichs (\LxF); - la mise en place d'une procédure préservant la positivité qui transforme tout schéma stable et linéaire, en un schéma non linéaire d'ordre très élevé, capturant les chocs de manière non oscillante. Dans le manuscrit, nous montrons que les schémas obtenus par cette procédure sont consistants avec la CL considérée, qu'ils sont stables en norme $\L^{\infty}$ et qu'ils ont la bonne erreur de troncature. Même si tous ces développements théoriques ne sont démontrés que dans le cas de CLs scalaires, des remarques au sujet des problèmes vectoriels sont faites dès que cela est possible. Malheureusement, lorsqu'on considère le schéma \LxF, le problème algébrique non linéaire associé à la recherche de la solution stationnaire est en général mal posé. En particulier, on observe l'apparition de modes parasites de haute fréquence dans les régions de faible gradient. Ceux-ci sont éliminés grâce à un terme supplémentaire de stabilisation dont les effets et l'évaluation numérique sont précisément détaillés. Enfin, nous nous intéressons à une discrétisation correcte des conditions limites pour le schéma d'ordre élevé proposé. Cette théorie est ensuite illustrée sur des cas test scalaires bidimensionnels simples. Afin de montrer la généralité de notre approche, des maillages composés uniquement de triangles et des maillages hybrides, composés de triangles et de quandrangles, sont utilisés. Les résultats obtenus par ces tests confirment ce qui est attendu par la théorie et mettent en avant certains avantages des maillages hybrides. Nous considérons ensuite des solutions bidimensionnelles des équations d'Euler de la dynamique des gaz. Les résultats sont assez bons, mais on perd les pentes de convergence attendues dès que des conditions limite de paroi sont utilisées. Ce problème nécessite encore d'être étudié. Nous présentons alors l'implémentation parallèle du schéma. Celle-ci est analysée et illustrée à travers des cas test tridimensionnel de grande taille. Du fait de la relative nouveauté et de la complexité des problèmes tridimensionels, seuls des remarques qualitatives sont faites pour ces cas test : le comportement global semble être bon, mais plus de travail est encore nécessaire pour définir les propriétés du schémas en trois dimensions. Enfin, nous présentons une extension possible du schéma aux équations de Navier-Stokes dans laquelle les termes visqueux sont traités par une formulation de type Galerkin. La consistance de cette formulation avec les équations de Navier-Stokes est démontrée et quelques remarques au sujet de la précision du schéma sont soulevées. La méthode est validé sur une couche limite de Blasius pour laquelle nous obtenons des résultats satisfaisants. Ce travail offre une meilleure compréhension des propriétés générales des schémas RD d'ordre très élevé et soulève de nouvelles questions pour des améliorations futures. Ces améliorations devrait faire des schémas RD une alternative attractive aux discrétisations classiques FV ou ENO/WENO, aussi bien qu'aux schémas Galerkin Discontinu d'ordre très élevé, de plus en plus populaires.
-Distribution du Résidu
-Fluctuation Splitting
-Schémas d'ordre très élevé
-Lois de Conservation
-Hyperbolicité
-Équations d'Euler
-Équations de Navier-Stokes
-Maillages non structurés
-Maillages Hybrides
-Traitement Parallèle
-Discrétisation Compacte
Numerical simulations are nowadays a major tool in aerodynamic design in aeronautic, automotive, naval industry etc... One of the main challenges to push further the limits of the simulation codes is to increase their accuracy within a fixed set of resources (computational power and/or time). Two possible approaches to deal with this issue are either to contruct discretizations yielding, on a given mesh, very high order accurate solutions, or to construct compact, massively parallelizable schemes to minimize the computational time by means of a high performance parallel implementation. In this thesis, we try to combine both approaches by investigating the contruction and implementation of very high order Residual Distribution Schemes (RDS) with the most possible compact stencil. The manuscript starts with a review of the mathematical theory of hyperbolic Conservation Laws (CLs). The aim of this initial part is to highlight the properties of the analytical solutions we are trying to approximate, in order to be able to link these properties with the ones of the sought discrete solutions. Next, we describe the three main steps toward the construction of a very high order RDS: - The definition of higher order polynomial representations of the solution over polygons and polyhedra; - The design of low order compact conservative RD schemes consistent with a given (high degree) polynomial representation. Among these, particular accest is put on the simplest, given by a generalization of the Lax-Friedrich's (\LxF) scheme; - The design of a positivity preserving nonlinear transformation, mapping first-order linear schemes onto nonlinear very high order schemes. In the manuscript, we show formally that the schemes obtained following this procedure are consistent with the initial CL, that they are stable in $L^{\infty}$ norm, and that they have the proper truncation error. Even though all the theoretical developments are carried out for scalar CLs, remarks on the extension to systems are given whenever possible. Unortunately, when employing the first order \LxF scheme as a basis for the construction of the nonlinear discretization, the final nonlinear algebraic equation is not well-posed in general. In particular, for smoothly varying solutions one observes the appearance of high frequency spurious modes. In order to kill these modes, a streamline dissipation term is added to the scheme. The analytical implications of this modifications, as well as its practical computation, are thouroughly studied. Lastly, we focus on a correct discretization of the boundary conditions for the very high order RDS proposed. The theory is then extensively verified on a variety of scalar two dimensional test cases. Both triangular, and hybrid triangular-quadrilateral meshes are used to show the generality of the approach. The results obtained in these tests confirm all the theoretical expectations in terms of accuracy and stability and underline some advantages of the hybrid grids. Next, we consider solutions of the two dimensional Euler equations of gas dynamics. The results obtained are quite satisfactory and yet, we are not able to obtain the desired convergence rates on problems involving solid wall boundaries. Further investigation of this problem is under way. We then discuss the parallel implementation of the schemes, and analyze and illustrate the performance of this implementation on large three dimensional problems. Due to the preliminary character and the complexity of these three dimensional problems, a rather qualitative discussion is made for these tests cases: the overall behavior seems to be the correct one, but more work is necessary to assess the properties of the schemes in three dimensions. In the last chapter, we consider one possible extension to the Navier-Stokes equations in which the viscous terms are discretized by a standard Galerkin approach. We formally show that the overall discretization is consistent with the Navier-Stokes equations. However some accuracy issues are highlighted and discussed. The method is tested on a flat plate laminar boundary layer flow. The results are satisfactory. The work presented in this thesis allows a better understanding of the general properties of very high order RDS, and contributes substantially to bring forward a number of open issues for future improvement. These improvements should make RD discretizations a very appealing alternative to now classical high order and very high order FV ENO/WENO schemes, and to the increasingly popular class of Discontinuous Galerkin schemes.
-Residual Distribution
-Fluctuation Splitting
-Very High Order Schemes
-Conservative Laws
-Hyperbolicity
-Euler Equations
-Navier-Stokes Equations
-Unstructured Meshes
-Hybrid Meshes
-Parallel treatment
-Compact Discretization
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13873/document
Publié le : jeudi 27 octobre 2011
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q
première
ne
partie
t
est
émon
de
que
mettre
le
en
de
évidence
correcte
les
scalaires,
propriétés
remarqu
des
au
solutions
des
analytiques
v
que
son
nous
faites
c
que
herc
est
hons
ossible.
à
t,
appro
considère
c
sc
her,
LxF,
de
problème
manière
e
à
linéaire
injecter
cié
ces
la
p
herc
r
de
o
solution
priétés
est
dans
général
celles
p
de
En
la
articulier,
solution
observ
discrète
l'apparition
rec
mo
h
parasites
erc
haute
hée.
dans
Nous
régions
décriv
faible
ons
t.
ensuite
ci
les
t
trois
grâce
étap
u
es
terme
principales
taire
de
s
la
bili
construction
don
d'un
les
sc
ets
héma
l'év
héma
n
d'ordre
son
très
précisémen
élev
détaillés.
é
nous
:
in
sc
à
la
discrétisation
représen
tation
de
RDS
CL
RD



CL L
CLtermes
Discrétisation
ou
Cette
P
théorie
trée
est
é
ensuite
Fluctuation
illustrée
p
sur
de
des
L
cas
ore
test
faire
scalaires
é,
bidimensionnels
Équations
simples.
trois
An
équations
de
ulation
mon
es
trer
précision
la
r
généralité
satisfais
de
des
notre
p
appro
e
c
hémas
he,
p
des
Lois
maillages
non
comp
u
osés
présen
u
du
niquemen
es
t
traités
de
e
triangles
a
et
vier-Stok
des
au
maillages
son
h
est
ybrides,
limite
comp
ous
osés
Ce
de
des
tri
:
a
de
ngles
futures.
et
Discipline
de
discréti
quandrangles,
aussi
son
u
t
p
utilisés.
clés:
Les
d'ordre
résultats
ation,
obten
Na
us
brides,
par
priétés
ces
hémas
tests
Enn,
conrmen
une
t
b
ce
héma
qui
Na
est
laquelle
attendu
son
par
une
la
t
théorie
La
et
form
metten
ec
t
de
en
est
a
quelques
v
de
an
sc
t
soulev
certains
métho
a
alidé
v
couc
an
Blasius
tages
laquelle
des
des
maillages
n
h
v
ybrides.
meilleure
Nous
gén
considérons
hémas
ensuite
très
des
soulèv
solutions
elles
bidimensionnelles
des
des
améliorations
équations
sc
d'Euler
une
de
e
la
s
dynamiqu
ou
e
qu'aux
des
Discon
gaz.
très
Les
plus
résultats
u
son
ulaires.
t
du
assez
Sc
b
élev
ons,
Conser-
mais
erb
on
Équations
p
es,
erd
Maillages
les
raitemen
p
l
en
d
tes
viii
de
en
con
dimensions.
v
nous
ergence
tons
atten
extension
dues
ossi
dès
le
q
sc
ue
aux
des
de
co
vier-Stok
nditions
dans
l
les
imite
visqueux
de
t
paroi
par
son
form
t
de
utilisées.
yp
Ce
Galerkin.
problème
consistance
nécessite
cette
encore
ulation
d'être
v
étudié.
l
Nous
équations
pré
Na
s
es
en
démon
tons
et
alors
remarques
l'implémen
sujet
tation
la
parallèle
du
du
héma
sc
t
héma.
ées.
Celle-ci
a
est
de
analysée
v
et
su
illustrée
une
à
he
tra
de
v
p
e
r
r
n
s
obtenons
des
résultats
cas
a
test
ts.
tridimensionnel
tra
de
ail
grande
une
taille.
compréhension
D
propriétés
u
érales
fait
sc
de
Mathématiques
la
d'ordre
relativ
élev
e
et
nouv
e
eauté
nouv
et
questions
de
our
la
améliorations
complexité
Ces
des
devrait
problèmes
des
tridimensionels,
hémas
seuls
Compacte.
des
alternativ
remarques
attractiv
qualitativ
aux
es
sation
son
classiques
t
lèle,
faites
ENO/WENO,
p
bien
our
sc
ces
Galerkin
cas
tin
test
d'ordre
:
élev
le
de
comp
en
ortemen
l
t
s
glob
op
al
Mots
sem
Distribution
ble
Résidu,
être
Splitting,
b
hémas
on,
très
mais
é,
plus
de
de
v
tra
Hyp
v
olicité,
ail
d'Euler,
est
de
encore
vier-Stok
nécessaire
Maillages
p
structurés,
ou
Hy
r
T
d
t
énir
ara
les
Appliquées
pro
sc
RD
RD FVneral.
on
triangu
Conception
dev
and
ell
analysis
a
of
with
v
order
ery
a
high
stabilit
o
accu
rder
p
distribution
w
sc
they
hemes.
to
Application
the
to
o
uid
i
mec
correc
hanics.
ariet
Abstract:
results
Numerical
put
sim
sc
ulations
transformation,
are
hemes.
no
wing
w
are
ada
error.
ys
scalar
a
ossible.
ma
construc
jor
is
to
arying
ol
.
in
is
aero
this
dynamic
Lastly
design
for
in
s
aeronau
al
ti
the
c,
e
au-
particular
tomotiv
giv
e,
Lax-F
na
The
v
non
al
n
industry
ery
etc...
uscript,
One
sc
of
re
the
an
main
8
c
the
hallenges
though
to
carried
push
remarks
furth
en
er
emplo
the
a
limits
of
of
algebra
the
ell-p
sim
for
ulation
es
co
spurious
des
kill
is
ti
to
sc
increase
ti
their
o
accura
computation,
cy
fo
within
the
a
high
xed
theory
set
eried
of
t
resources
triangular,
(computational
used
p
the
o
tests
w
tations
er
th
and/or
i
time).
of
T
b
w
of
o
h's
p
eme;
ossible
of
approac
y
hes
n
to
rst-order
deal
sc
with
nonlinear
this
order
issue
the
are
e
either
that
to
obtained
con
pro
truct
consisten
discretizations
initial
yielding,
that
on
in
a
and
giv
v
en
er
mesh,
e
v
the
ery
ts
high
ut
order
underline
accurate
the
solutions,
are
or
er
to
,
construct
the
compact,
heme
massiv
for
ely
o
pa
nonlinear
r
l
a
c
l
ot
lelizable
in
sc
p
hemes
othly
to
one
minimize
app
the
high
com
de
putational
order
time
mo
b
diss
y
n
means
to
of
The
a
pli
high
ns
p
dica
erformance
as
parallel
its
implemen
thouroughly
tation.
w
I
on
n
discretization
this
oundary
thesis,
v
w
and
e
osed.
try
then
to
ely
com
a
bine
of
b
o
oth
cases.
approac
h
hes
meshes
b
sho
y
y
in
h.
v
in
estigating
all
the
exp
con
terms
truction
and
and
ese,
i
accest
m
s
plemen
on
tation
simplest,
of
en
v
y
ery
generalization
high
the
order
riedric
Residual
(LxF)
Distribution
h
Sc
s
hemes
design
(
a
ix
ositivit
e
preserving
)
li
with
ear
the
mapping
most
li
p
ear
ossible
hemes
compact
to
stencil.
v
The
high
man
sc
uscript
In
starts
man
with
w
a
sho
review
formally
of
the
the
hemes
mathematical
follo
theory
this
of
cedu
h
are
yp
t
erb
the
olic
tage
Conserv
,
ation
they
La
stable
ws
adv
(
norm,
w
that
Next,
ha
s).
e
The
prop
aim
truncation
of
Ev
this
n
initial
all
p
theoretical
art
elopmen
is
are
to
o
highligh
for
t
some
the
s,
prop
on
erties
extension
of
systems
the
giv
analytical
whenev
solutions
p
w
Unortunately
e
when
are
ying
trying
rst
to
LxFsc
appro
as
ximate,
basis
in
the
order
ti
to
n
b
the
e
discretization,
able
na
to
nonlinear
link
i
these
equation
prop
n
erties
w
with
osed
the
ge
ones
In
of
articular,
the
smo
sough
v
t
solutions
discrete
observ
solutions.
the
Next,
earance
w
f
e
frequency
describ
mo
e
s
the
In
three
to
main
these
steps
des,
to
streamline
w
ipa
ard
o
the
term
construction
added
of
the
a
heme.
v
analytical
ery
m
high
ca
order
o
grids.
of
ybrid
mo
:
ti
h
ns,
The
w
denition
as
of
practical
higher
are
order
studied.
p
,
olynomial
e
represen
cus
tations
a
of
t
the
of
solution
b
o
conditions
v
the
er
ery
p
order
olygons
y
and
prop
p
The
olyh
is
edra;
exten
the
iv
The
v
design
on
of
v
lo
y
w
scalar
order
w
co
dimension
mpact
test
conserv
Both
a
and
ti
ybrid
v
lar-quadrilateral
e
are
RD
to
sc
w
hemes
generalit
consisten
of
t
approac
with
The
a
obtained
giv
these
en
conrm
(high
th
degree)
theoretical
p
ec
olynomial
in
represen
of
tation
racy
.
consider
Among
the
RDS
CL
RDS



CL L
CL
RDSws
q
alternativ
solutions
discussed.
of
a
the
Galerkin
t
the
w
o
o
Applied
dimensional
impro
Euler
sc
equations
Conserv
of
o
gas
er
dynamics.
at
The
w
results
general
obtained
ti
are
issues
quite
Compact
satisfactory
and
and
p
y
Splitting,
et,
y
w
sho
e
is
are
equations.
not
are
able
is
to
oundary
ob
are
tain
in
the
understanding
desired
v
con
and
v
to
ergence
er
rates
v
on
sh
problems
v
in
w
v
order
olving
the
solid
f
w
ords:
all
Orde
b
ws,
oundaries.
Na
F
Hybrid
urther
that
in
erall
v
t
estigation
vier-Stok
of
w
this
accuracy
problem
ted
is
metho
under
on
w
laminar
a
y
y
The
.
.
W
presen
e
thesis
then
b
discuss
th
the
erties
parallel
high
imp
Discretization.
l
tributes
em
l
en
forw
tation
um
of
op
the
future
sc
t.
hemes,
emen
and
mak
analyze
discretizations
an
app
d
to
illustrate
high
the
ery
p
arallel
erforman
and
ce
n
of
class
this
tin
implemen
hemes.
tation
Distribution,
on
ery
large
Sc
three
e
dimensional
erb
problems.
Euler
Due
es
to
Unstructured
the
P
preliminary
w
c
x
hara
v
cter
discretization
and
consisten
the
with
complex
Na
i
es
t
Ho
y
ev
of
some
these
issues
three
highligh
dimensional
and
problems,
The
a
d
rather
tested
qualitativ
a
e
plate
discussion
b
is
la
made
er
for
w.
these
results
tests
satisfactory
cases:
The
th
ork
e
ted
o
this
v
allo
erall
a
b
etter
eha
of
vior
e
seems
prop
to
of
b
ery
e
order
th
Discipline:
e
,
correct
con
one,
substan
b
a
ut
ly
more
bring
w
ard
ork
n
is
b
necessary
of
to
en
a
for
s
impro
sess
emen
the
These
prop
v
erties
ts
of
ould
the
e
sc
t,
hemes
a
in
ery
three
ealing
dimensions.
e
In
no
the
classical
last
order
c
v
hapter,
high
w
treatmen
e
ENO/WENO
consider
hemes,
one
to
p
i
ossible
creasingly
extension
opular
to
o
the
Discon
Na
uous
vier-Stok
sc
es
Keyw
equations
Residual
in
Fluctuation
whic
V
h
High
the
r
viscous
hemes,
terms
ativ
are
La
discretized
Hyp
b
olicit
y
,
a
Equations,
standard
vier-Stok
Galerkin
E
approac
uations,
h.
Meshes,
W
Meshes,
e
Mathematics
formally
the
RDS
RD
FV

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