Contribution à l'analyse de la dynamique quantique dans des systèmes de Hall en présence d'un flux Aharonov-Bohm dépendant du temps, Contributions to the analysis of the quantum dynamics of Hall systems with time dependant Aharonov-Bohm flux

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Sous la direction de Joachim Asch
Thèse soutenue le 25 novembre 2010: Aix Marseille 2
Nous nous intéressons à la dynamique dans les systèmes de Hall en présence d'un flux Aharonov-Bohm dépendant du temps. Nous présenterons deux théorèmes adiabatiques applicable à ces modèles ainsi qu'un résultat sur l'existence d'une constante de mouvement non-trivial. On utilisera un algorithme de diagonalisation partielle.
-Dynamique quantique
-Systeme de Hall
-Flux Aharonov-Bohm
We will ahve interest in the quantum dynamics in Hall systems with time dependent Aharonov-Bohm flux. We will present two adiabatic theorems which can applied to these models and a quantitive result on the existence of a non-trivial constant of motion. To prove this result, we will use a partial diagonalization algorithm
Source: http://www.theses.fr/2010AIX22116/document
Publié le : jeudi 27 octobre 2011
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Centre de Physique Th´eorique
Th`ese de doctorat
Contribution `a l’analyse de la dynamique quantique
dans des syst`emes de Hall en pr´esence d’un flux
Aharonov-Bohm d´ependant du temps
MERESSE Cedric
Directeur de th`ese : Dr ASCH Joachim
Jury :
25 Novembre 20102Table des Mati`eres
1 Introduction 6
2 Analysespectraledumod`eledeLandau`afluxAharonov-Bohmd´ependant
du temps 11
2.1 D´efinition du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Op´erateurs de cr´eation et d’annihilation . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Propri´et´es des op´erateurs de cr´eation et d’annihilation et rela-
tion avec H(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 D´etermination du spectre et des fonctions propres . . . . . . . 17
2.3 Propri´et´es des fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Continuit´e en “flux” des fonctions propres . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Fonctions propres et transformation de jauge . . . . . . . . . . 28
2.3.3 D´eveloppement dans la base propre des d´eriv´ees en temps des
fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Th´eor`emes adiabatiques 34
3.1 Th´eor`eme adiabatique pour la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Principe g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Un r´esultat sur les projecteurs diff´erentiables . . . . . . . . . . 36
3.1.4 Th´eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Application `a notre mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Choix du projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
33.2.2 Un r´esultat adiabatique pour le probl`eme `a flux d´ependant du
temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Dynamique adiabatique du niveau fondamental de Landau . . . 52
3.2.4 Dynamique de superposition d’´etats propres du niveau fonda-
mental de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Second th´eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Le mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Le th´eor`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
La 24 Forme normale de l’hamiltonien H +ε V ou` V est un polynˆome du
second degr´e. 62
4.1 Structure symplectique et repr´esentation m´etaplectique . . . . . . . . . 63
4.1.1 Groupe et alg`ebre de Lie symplectique . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Cadre quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Repr´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Mise en place du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Diagonalisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1 Le cas elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4.2 Le cas hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.3 Le cas parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Une remarque sur le cas lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
La5 Diagonalisation partielle d’op´erateurs du type H +V 90
5.1 Le r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Un algorithme de diagonalisation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.1 Enonc´e de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 Algorithme formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Les outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.4 Sur l’´equation au commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.5 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Preuve du r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Application `a la dynamique des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . 108
46 La classe de potentiels G 110
6.1 La fonction gaussienne g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.1 Outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.2 Les ´el´ements de matrice de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.3 Estimation des ´el´ements de matrice . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 La classeG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.1 D´ecaler les potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 D´ecroissance des potentiels deG . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Bibliographie 125
5Chapitre 1
Introduction
En 1879, E. H. Hall [Hall] observa l’effet Hall classique, c’est-`a-dire la valeur
B
R =H
n|e|
de la composante off-diagonale du tenseur de r´esistance pour le probl`eme 2 dimension-
nel en champ magn´etique et ´electrique crois´e. Ici,e la charge de l’´electron (classique),
B la valeur du champ magn´etique et n le nombre d’´electrons par unit´e de surface.
En 1980, K. von Klitzing [KDP] observa un nouveau ph´enom`ene qui apparait dans
un r´egime quantique. Cette d´ecouverte lui valut le prix Nobel de Physique en 1985.
Il mesura la r´esistance de Hall en fonction du champ magn´etique et s’aperc¸ut quelle
n’´etait pas lin´eaire mais pr´esentait des plateaux quantifi´es selon la relation
h
R =H 2ie
avec i est un entier, pendant que la r´esistance longitudinale s’annule.
Pour les th´eoriciens, ils fallaient maintenant expliquer d’ou` venaient ces plateaux,
pourquoi leurs quantifications ´etaient si pr´ecises et pourquoi la r´esistance longitudinale
s’annulait lors d’un plateau.
Parmi les premiers travaux donnant une explication `a ces r´esultats, on trouve ceux
6Figure1.1: Dansl’effetdeHall, lechampmagn´etiqueestappliqu´eperpendiculairement
`a l’´echantillon suivant la direction z, nous faisait passer un courant suivant x et la
tension de Hall est mesur´e suivant y. Cr´edit : NIST.
de Laughlin et Halperin [La, Halp]. Pour cela, le mod`ele qu’ils utilis`erent fut celui d’un
anneau dans lequel on fait passer un tube de flux. Nous pouvons ´etendre cet anneau `a
l’infini afin d’obtenir un plan perc´e par le tube de flux. Ce mod`ele, que l’on appellera
par la suite ce probl`eme “mod`ele de type Aharonov-Bohm avec flux d´ependant du
temps”, fut tr`es ´etudi´e [BvES, ASS1, ASS2, EGS].
Uneanalysepr´ecisedeladynamiquen’´etaitcependantpas unbutpourcestravaux.
Ils firent un usage des th´eor`emes adiabatiques, qui ne sont pas, strictement parlant,
directement applicables. D’un autre cˆot´e, le mod`ele est suffisamment explicite pour
que nous pr´ecisions ces informations. C’est cette id´ee qui guida l’analyse produite dans
ce document.
Dans un autre mod`ele, nous consid´erons un potentiel de confinement qui enferme
les particules dans une bande. Il fournit ´egalement une r´eponse au probl`eme de quan-
tification en pr´esence de d´esordre [CGH]. D’autres r´esultats ont pu ˆetre rigoureuse-
ment v´erifi´e `a l’aide de ce mod`ele, comme l’´egalit´e entre la conductivit´e d´efinie par
les courants de bords et dans le bulk [El]. On se r´ef´erera `a [Gra] et aux r´ef´erences `a
7l’int´erieur pour plus d’informations.
La version classique du mod`ele que nous allons ´etudier, a ´et´e ´etudi´ee dans [AS2].
On y observe un comportement curieux concernant la dynamique des particules duˆ `a
la pr´esence d’un tube de flux. Il y a deux r´egimes diff´erents. Le premier est le mouve-
ment cyclo¨ıdale classique avec un centre qui se d´eplace le long des lignes de niveaux
du potentiel. Dans le second r´egime, la particule, une fois arriv´ee sur le tube de flux,
spirale autour. La figure 1.2 repr´esente la trajectoire d’une particule pour l’hamiltonien
`a flux d´ependant du temps plus un potentiel p´eriodique V(z). En arri`ere-plan sont
dessin´ees les lignes de niveaux du potentiel V(z) + argz. argz est formellement le
potentiel ´electrique cr´ee par le flux lin´eairement en temps.
1 2Figure 1.2: V(x,y) = (sinx+siny), (x,y)∈ [−10,10]
10
Le ph´enom`ene classique illustr´e par la figure 1.2 se r´esume en coordonn´ees de gy-
ration comme suit : avant de toucher le tube de flux, l’´energie cin´etique est constante
et c’est le centre qui bouge. D`es que la particule atteint l’origine, alors le centre se
fixe et l’´energie se met `a croitre.
Dans cette th`ese, nous contribuons `a l’analyse quantique correspondante.
8Dans le cas quantique, pour chaque valeur du temps, nous sommes amen´e `a
¯´etudier l’op´erateur d’´energie cin´etique H(t) et son complexe conjugu´e H(t). Ces
deux op´erateurs commutent entres eux. Leurs spectres sont discrets. Grossi`erement
parlant, le probl`eme quantique se r´esume `a montrer que H(t) est constant avant que
l’´electron ne heurte le tube de flux et lin´eairement croissant apr`es, ainsi que le com-
¯portement oppos´e pour H(t).
¯Le trac´e du spectre joint de ces op´erateursH(t) etH(t) permettra de donner une
signification `a ces derni`eres phrases. Nous d´emontrerons au cours de la partie 3.2 un
th´eor`eme adiabatique. Il est valable `a l’int´erieur d’un niveau spectrale de l’hamiltonien
et est au premier ordre dans le param`etre adiabatique. L’approximation est donc val-
able pour un certain intervalle temporelle fini.
La singularit´e du champ pose d’un point de vue math´ematique des probl`emes tech-
niques. Si l’on remarque que dans le cas classique, la particule se comporte lorsqu’elle
part `a l’infini comme si elle n’avait pas vu la singularit´e alors on peut penser que
dans l’´etude de la dynamique loin du tube de flux, son influence est r´egularis´ee. Nous
sommes alors amen´e `a consid´erer un mod`ele consistant de l’hamiltonien de Landau
auquel on rajoute un champ ´electrique r´egulier. Par la suite, notre but sera de com-
prendre le comportement d’une particule dans un champ magn´etique et soumis `a une
perturbation ind´ependante du temps.
Le premier r´esultat que nous montrerons pour ce mod`ele sera un th´eor`eme du type
adiabatique. Celui-ci sera, comme le pr´ec´edent, au premier ordre dans le param`etre
et pour un seul niveau spectral. L’intervalle de temps pour laquelle l’approximation
est bonne sera assez restreint. De plus, il ne concerna que des potentiels r´eguliers,
born´es et ind´ependants du temps. C’est un r´esultat du type moyennisation quantique
car l’hamiltonien adiabatique sera la somme de l’hamiltonien de Landau et de la partie
diagonale du potentiel. Nous avons donc un premier candidat qui nous donne une
premi`eme approximation du probl`eme de d´epart.
un deuxi`eme r´esultat que nous avons pu d´emontrer pour ce dernier mod`ele est
bien plus pr´ecis que les th´eor`emes adiabatiques ´enonc´es dans les chapitres 3.2 et 3.3.
9Nous le consid´erons comme le r´esultat clef de ce travail. Ce th´eor`eme 5.1.1 donne
l’existence d’une constante de mouvement. Il est d´emontr´e `a l’aide d’un algorithme de
diagonalisation partielle. Cet algorithme permet de construire un unitaire transformant
la somme de l’hamiltonien de Landau et d’un potentiel appartenant `a une certaine
classe, en un probl`eme diagonal par rapport aux projecteurs propres de l’hamiltonien
de Landau. La convergence du probl`eme initial vers le probl`eme diagonal se fait de
mani`ere super-exponentielle. Cette m´ethode permet la construction d’un invariant du
mouvement qui est formellement une perturbation de l’´energie cin´etique. L’unitaire
construit nous permet ´egalement d’obtenir un r´esultat pour la dynamique du syst`eme.
L’approximation que l’on obtient est encore au premier ordre mais est cette fois valable
pour tous les temps. Ce r´esultat a fait l’objet d’une publication [AM].
Cedocumentsecomposede5chapitres. Danslepremierchapitre, nousallonsfaire
une´etudeduspectredumod`ele`aflux. Nouspr´esenterons´egalementdiversespropri´et´es
des fonctions propres de cet op´erateur. Le chapitre suivant parlera des th´eor`emes adi-
abatiques dont nous avons parl´e auparavant. Nous pr´esenterons ensuite une m´ethode
qui permet de d´eterminer un op´erateur commutant avec l’hamiltonien de Landau `a
partir du probl`eme donn´e par la somme de l’hamiltonien en champ magn´etique et
d’un potentiel de degr´e au plus 2. Nous continuerons avec le r´esultat important de
cette th`ese. Nous expliquerons comment obtenir un unitaire transformant le mˆeme
type de probl`eme que pr´ec´edemment en un hamiltonien diagonal. Les potentiels pour
lesquels nous pourrons utiliser cette m´ethode sont des potentiels d´ecroissants/ Par ex-
emple, nous montrerons par la suite qu’un potentiel gaussien satisfait aux hypoth`eses
n´ec´essaires et nous construirons grˆace `a lui la classe `a laquelle appartient V. Nous
nous int´eresserons ensuite aux conditions suffisantes d’appartenance `a cette classe,
nous permettant alors d’en d´eduire l’existence d’un invariant du mouvement pour des
syst`emes pertinents d´eriv´es de l’´etude de l’effet Hall quantique.
10

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