Déformation de variétés kählériennes compactes : invariance de la G-dimension et extension de sections pluricanoniques, Deformation of Kähler compact manifolds : invariance of G-dimension and extension of pluricanonical sections

Benoît Claudon

Description

Sous la direction de Frédéric Campana
Thèse soutenue le 06 décembre 2007: Nancy 1
L’objectif de cette thèse consiste en l’étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la G-réduction d’une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l’espace quotient est par définition la G-dimension d’une telle variété. Les grandes lignes de l’étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l’existence de formes holomorphes L² sur le revêtement universel, comportement de la G-dimension dans les fibrations, place de la G-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type p1-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l’étude de l’invariance par déformation de la G-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d’extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d’extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d’une variété projective, fibre générale de la G-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.
-Revêtement universel
-Formes pluricanoniques
In this thesis, we study universal cover of Kähler compact manifolds, their pluricanonical systems and the different links between them. First, we introduce the G-reduction of a Kähler compact manifold as a rational Remmert reduction of its universal cover ; the G-dimension is defined to be the dimension of the base of this fibration. In this study we consider the following aspects : behaviour of the G-dimension in a fibration, relationship with L² holomorphic forms on the universal cover, comparison with the fibrations of the classification theory, G-reduction for manifolds of small dimension. At the end of this first part, we establish invariance of G-dimension for several families of Kähler threefolds (for instance for non general type). We then show statements of extension of pluricanonical forms in the spirit of the One-Tower method. After a brief review concerning positivity of line bundles and multiplier ideal sheaves, we apply this strategy in different situations : projective family (with a twisting pseudo-effective line bundle), hypersurface in a projective manifold, G-reduction for manifolds of general type and family of infinite covers.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10093/document

Sujets

• Revêtement (mathématiques)

Informations

• Publié par: Thesee
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• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

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École Doctorale IAE+ M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Benoît Claudon
Déformation de variétés kählériennes compactes :
invariance de la Γ-dimension et
extension de sections pluricanoniques
soutenue publiquement le 6 décembre 2007
Membres du Jury :
Rapporteurs : Jean-Pierre Demailly Professeur, Grenoble
Claire Voisin DR CNRS, Paris
Examinateurs : Daniel Barlet Professeur, Nancy
Frédéric Campana Professeur, Nancy (Directeur de thèse)
Jón Ingólfur Magnússon Professeur, Reykjavík
Mihai Păun Professeur, Nancy
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy CedexRemerciements
JetiensentoutpremierlieuàexprimermaplusprofondegratitudeàFrédéricCampanaquim’a
accompagné durant ces trois années. Sa grande disponibilité par rapport à mes questions les plus
variées (qu’elles soient de nature mathématique ou non) ainsi que l’étendue de ses connaissances
m’ont permis d’appréhender progressivement l’activité de chercheur cependant que sa conception
de la géométrie complexe a largement influencé le présent mémoire. Tout au long de ces années,
j’ai été très sensible à la grande liberté qu’il m’a octroyée pour mener à bien mon travail et à la
confiance qu’il m’a régulièrement témoignée (même dans les moments les plus difficiles). Enfin,
pour toutes ces conversations plus enrichissantes et divertissantes les unes que les autres, je le
remercie sincèrement.
Sur le chemin menant de mon bureau à celui de mon directeur se trouve celui de Mihai Păun :
mes arrêts y furent fréquents. L’intérêt qu’il atoujours porté àmon travail, l’attention avec laquelle
il écoutait (et répondait à) mes diverses interrogations et sa bonne humeur ont été une source
intarissable de motivation depuis son arrivée à l’Institut. Est-il nécessaire de préciser à quel point
latroisièmepartie(aumoins)decemémoireaétéinspiréeparsestravauxdontilm’agénéreusement
fait profiter?
Claire Voisin et Jean-Pierre Demailly m’ont fait l’immense honneur de rapporter sur ce mé-
moire. C’est avec plaisir que je leur adresse mes remerciements pour ce travail : leurs remarques
et suggestions ont dans une large mesure participé à l’amélioration de cette thèse. Jean-Pierre
Demailly a eu de plus la lourde tâche de m’initier à la géométrie kählérienne lors de mon D.E.A.
à Grenoble : qu’il en soit ici chaleureusement remercié.
C’est une grande joie pour moi que de compter Daniel Barlet et Jón Magnússon parmi mon
jury de thèse. Les conversations que j’ai pu avoir avec l’un et l’autre m’ont beaucoup apporté (tant
sur le plan de la géométrie analytique que de la littérature islandaise).
Philippe Eyssidieux a suivi ma progression; il a également su m’avertir lorsque je faisais fausse
route et je lui en suis très reconnaissant.
Il me semble également important de souligner ici la qualité des conditions de travail offertes
parl’I.E.C.N.ainsiquecelledutravailfourniparlessecrétaires(enparticulierChantaletPatricia).
La liste des personnes avec lesquelles j’ai pu interagir à l’Institut serait bien longue pour cette
simple page; permettez moi de n’en citer qu’une partie. Aux collègues de l’équipe (Vincent, Matei,
Alain, Piotr, ...), aux autres doctorants (Pierre, Stéphane M., Lucas, Julien R., Simon, François,
Aurélien, Julien C.,...), aux volleyeurs du lundi (Oussama, Julien M., Stéphane G.) et aux habitués
du repas de midi qui ont participé à toutes ces conversations improbables (Régine et d’autres déjà
nommés) : un grand merci (mention spéciale à Vincent qui est dans l’intersection de trois de ces
catégories).
Mes amis, que je les aie rencontrés à Nancy, Lyon ou ailleurs, ont eu, ont et auront toujours une
place importante dans ma vie. Parmi eux, Aurélien supporte mes interrogations et enthousiasmes
mathématiques depuis de très nombreuses années : j’espère que cela durera encore longtemps.
A en juger par les innombrables moments de bonheur partagés avec eux, je dois bien admettre
que mes parents, ma soeur et mon frère (pourtant plus portés sur les disciplines littéraires) tolèrent
mon activité mathématique. Merci à eux ainsi qu’à ma (bientôt) belle-famille pour tout ce qu’ils
m’apportent.
Il y a maintenant un peu plus de 7 ans, Marie est entrée dans ma vie; pour mon plus grand
bonheur, elle semble vouloir y rester. Pour tous ces instants vécus, partagés et que de simples mots
ne sauraient décrire...Marie, merci.
1Table des matières
Conventions et Notations 9
I Γ-réduction : aspects géométriques et analytiques 11
1 Introduction aux parties I et II 12
1.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Généralités sur la Γ-réduction 18
2.1 Revêtement universel et conjecture de Shafarevich . . . . . . . . 18
2.2 Γ-réduction des variétés kählériennes compactes . . . . . . . . . . 20
2.3 Propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Γ-dimension et fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Un résultat d’additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Cas des submersions en tores . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Caractérisation de γd(X)=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Γ-réduction et théorie de la classification 34
3.1 Quotient rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Fibration d’Albanese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 d’Iitaka-Moishezon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
24 Applications des techniques L à l’étude de la Γ-réduction 43
24.1 Rappels de théorie de Hodge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14.2 Théorème de comparaison : positivité de Ω et Γ-dimension . . . 45X
4.2.1 Un exemple : la simple connexité des variétés de Fano . . 45
4.2.2 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
24.3 Formes holomorphes L et Γ-réduction . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Cas des formes de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2 Formes de degré 2 ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
24.3.3 F canoniques L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II Γ-réduction des variétés kählériennes compactes de
dimension 3 57
5 Structures orbifoldes 58
5.1 Notion de base orbifolde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Fibré canonique et dimension de Kodaira . . . . . . . . 60
25.3 Groupes fondamentaux orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Courbes orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Surfaces orbifoldes (non de type général) 66
6.1 Surfaces orbifoldes réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 à fibré canonique trivial . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Surfaces orbifoldes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Γ-réduction en dimension 3 73
7.1 Variétés de 3 de type π -général . . . . . . . . . . . . 751
7.2 Γ-réduction non de type général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Majoration du volume des fibres de certaines applications . . . . 80
8 Invariance par déformation 84
8.1 Conjecture générale et cas des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2 Semi-continuité de la Γ-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 Invariance par déformation : cas de la dimension 3 . . . . . . . . 88
9 Γ-réd