Déformation de variétés kählériennes compactes : invariance de la G-dimension et extension de sections pluricanoniques, Deformation of Kähler compact manifolds : invariance of G-dimension and extension of pluricanonical sections

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Sous la direction de Frédéric Campana
Thèse soutenue le 06 décembre 2007: Nancy 1
L’objectif de cette thèse consiste en l’étude du revêtement universel des variétés kählériennes compactes, de leurs systèmes pluricanoniques et des liens qui les unissent. Dans un premier temps, nous étudions la G-réduction d’une variété kählérienne compacte vue comme quotient de Remmert biméromorphe de son revêtement universel. La dimension de l’espace quotient est par définition la G-dimension d’une telle variété. Les grandes lignes de l’étude de cet invariant sont les suivantes : lien avec l’existence de formes holomorphes L² sur le revêtement universel, comportement de la G-dimension dans les fibrations, place de la G-réduction dans la théorie de la classification, structure des variétés de type p1-général (au moins en petite dimension). La fin de cette première partie est consacrée à l’étude de l’invariance par déformation de la G-dimension en dimension 3. Cette propriété est établie dans diverses situations, par exemple dans les cas des familles de variétés kählériennes qui ne sont pas de type général. La deuxième partie porte sur la méthode One-Tower d’extension de formes pluricanoniques. Nous mettons en effet cette partie à profit pour montrer comment adapter cette méthode dans différentes situations. Ainsi, après quelques rappels sur les différentes notions de positivité des fibrés en droites et sur les idéaux multiplicateurs, nous établissons des résultats d’extension de sections pluricanoniques dans les contextes suivants : famille projective de variétés (avec fibré canonique tordu par un fibré en droites pseudo-effectif), hypersurface d’une variété projective, fibre générale de la G-réduction pour les variétés de type général et famille des revêtements universels.
-Revêtement universel
-Formes pluricanoniques
In this thesis, we study universal cover of Kähler compact manifolds, their pluricanonical systems and the different links between them. First, we introduce the G-reduction of a Kähler compact manifold as a rational Remmert reduction of its universal cover ; the G-dimension is defined to be the dimension of the base of this fibration. In this study we consider the following aspects : behaviour of the G-dimension in a fibration, relationship with L² holomorphic forms on the universal cover, comparison with the fibrations of the classification theory, G-reduction for manifolds of small dimension. At the end of this first part, we establish invariance of G-dimension for several families of Kähler threefolds (for instance for non general type). We then show statements of extension of pluricanonical forms in the spirit of the One-Tower method. After a brief review concerning positivity of line bundles and multiplier ideal sheaves, we apply this strategy in different situations : projective family (with a twisting pseudo-effective line bundle), hypersurface in a projective manifold, G-reduction for manifolds of general type and family of infinite covers.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10093/document
Publié le : mardi 25 octobre 2011
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École Doctorale IAE+ M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Université Henri Poincaré, Nancy-I
en Mathématiques
par
Benoît Claudon
Déformation de variétés kählériennes compactes :
invariance de la Γ-dimension et
extension de sections pluricanoniques
soutenue publiquement le 6 décembre 2007
Membres du Jury :
Rapporteurs : Jean-Pierre Demailly Professeur, Grenoble
Claire Voisin DR CNRS, Paris
Examinateurs : Daniel Barlet Professeur, Nancy
Frédéric Campana Professeur, Nancy (Directeur de thèse)
Jón Ingólfur Magnússon Professeur, Reykjavík
Mihai Păun Professeur, Nancy
Institut Élie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathématiques, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy CedexRemerciements
JetiensentoutpremierlieuàexprimermaplusprofondegratitudeàFrédéricCampanaquim’a
accompagné durant ces trois années. Sa grande disponibilité par rapport à mes questions les plus
variées (qu’elles soient de nature mathématique ou non) ainsi que l’étendue de ses connaissances
m’ont permis d’appréhender progressivement l’activité de chercheur cependant que sa conception
de la géométrie complexe a largement influencé le présent mémoire. Tout au long de ces années,
j’ai été très sensible à la grande liberté qu’il m’a octroyée pour mener à bien mon travail et à la
confiance qu’il m’a régulièrement témoignée (même dans les moments les plus difficiles). Enfin,
pour toutes ces conversations plus enrichissantes et divertissantes les unes que les autres, je le
remercie sincèrement.
Sur le chemin menant de mon bureau à celui de mon directeur se trouve celui de Mihai Păun :
mes arrêts y furent fréquents. L’intérêt qu’il atoujours porté àmon travail, l’attention avec laquelle
il écoutait (et répondait à) mes diverses interrogations et sa bonne humeur ont été une source
intarissable de motivation depuis son arrivée à l’Institut. Est-il nécessaire de préciser à quel point
latroisièmepartie(aumoins)decemémoireaétéinspiréeparsestravauxdontilm’agénéreusement
fait profiter?
Claire Voisin et Jean-Pierre Demailly m’ont fait l’immense honneur de rapporter sur ce mé-
moire. C’est avec plaisir que je leur adresse mes remerciements pour ce travail : leurs remarques
et suggestions ont dans une large mesure participé à l’amélioration de cette thèse. Jean-Pierre
Demailly a eu de plus la lourde tâche de m’initier à la géométrie kählérienne lors de mon D.E.A.
à Grenoble : qu’il en soit ici chaleureusement remercié.
C’est une grande joie pour moi que de compter Daniel Barlet et Jón Magnússon parmi mon
jury de thèse. Les conversations que j’ai pu avoir avec l’un et l’autre m’ont beaucoup apporté (tant
sur le plan de la géométrie analytique que de la littérature islandaise).
Philippe Eyssidieux a suivi ma progression; il a également su m’avertir lorsque je faisais fausse
route et je lui en suis très reconnaissant.
Il me semble également important de souligner ici la qualité des conditions de travail offertes
parl’I.E.C.N.ainsiquecelledutravailfourniparlessecrétaires(enparticulierChantaletPatricia).
La liste des personnes avec lesquelles j’ai pu interagir à l’Institut serait bien longue pour cette
simple page; permettez moi de n’en citer qu’une partie. Aux collègues de l’équipe (Vincent, Matei,
Alain, Piotr, ...), aux autres doctorants (Pierre, Stéphane M., Lucas, Julien R., Simon, François,
Aurélien, Julien C.,...), aux volleyeurs du lundi (Oussama, Julien M., Stéphane G.) et aux habitués
du repas de midi qui ont participé à toutes ces conversations improbables (Régine et d’autres déjà
nommés) : un grand merci (mention spéciale à Vincent qui est dans l’intersection de trois de ces
catégories).
Mes amis, que je les aie rencontrés à Nancy, Lyon ou ailleurs, ont eu, ont et auront toujours une
place importante dans ma vie. Parmi eux, Aurélien supporte mes interrogations et enthousiasmes
mathématiques depuis de très nombreuses années : j’espère que cela durera encore longtemps.
A en juger par les innombrables moments de bonheur partagés avec eux, je dois bien admettre
que mes parents, ma soeur et mon frère (pourtant plus portés sur les disciplines littéraires) tolèrent
mon activité mathématique. Merci à eux ainsi qu’à ma (bientôt) belle-famille pour tout ce qu’ils
m’apportent.
Il y a maintenant un peu plus de 7 ans, Marie est entrée dans ma vie; pour mon plus grand
bonheur, elle semble vouloir y rester. Pour tous ces instants vécus, partagés et que de simples mots
ne sauraient décrire...Marie, merci.
1Table des matières
Conventions et Notations 9
I Γ-réduction : aspects géométriques et analytiques 11
1 Introduction aux parties I et II 12
1.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Généralités sur la Γ-réduction 18
2.1 Revêtement universel et conjecture de Shafarevich . . . . . . . . 18
2.2 Γ-réduction des variétés kählériennes compactes . . . . . . . . . . 20
2.3 Propriétés et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Γ-dimension et fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Un résultat d’additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Cas des submersions en tores . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Caractérisation de γd(X)=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Γ-réduction et théorie de la classification 34
3.1 Quotient rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Fibration d’Albanese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 d’Iitaka-Moishezon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
24 Applications des techniques L à l’étude de la Γ-réduction 43
24.1 Rappels de théorie de Hodge L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
14.2 Théorème de comparaison : positivité de Ω et Γ-dimension . . . 45X
4.2.1 Un exemple : la simple connexité des variétés de Fano . . 45
4.2.2 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
24.3 Formes holomorphes L et Γ-réduction . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Cas des formes de degré 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2 Formes de degré 2 ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
24.3.3 F canoniques L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II Γ-réduction des variétés kählériennes compactes de
dimension 3 57
5 Structures orbifoldes 58
5.1 Notion de base orbifolde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Fibré canonique et dimension de Kodaira . . . . . . . . 60
25.3 Groupes fondamentaux orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Courbes orbifoldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Surfaces orbifoldes (non de type général) 66
6.1 Surfaces orbifoldes réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 à fibré canonique trivial . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Surfaces orbifoldes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Γ-réduction en dimension 3 73
7.1 Variétés de 3 de type π -général . . . . . . . . . . . . 751
7.2 Γ-réduction non de type général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Majoration du volume des fibres de certaines applications . . . . 80
8 Invariance par déformation 84
8.1 Conjecture générale et cas des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.2 Semi-continuité de la Γ-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 Invariance par déformation : cas de la dimension 3 . . . . . . . . 88
9 Γ-réduction des orbifoldes kählériennes 94
9.1 Revêtement universel d’une orbifolde lisse . . . . . . . . . . . . . 94
9.2 Notion de métriques kählériennes orbifoldes . . . . . . . . . . . . 99
e9.3 Construction de la Γ-réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.4 Orbifoldes de petite Γ-dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
III Extensions de formes pluricanoniques : la méthode
One-Tower 108
10 Introduction à la partie III 109
10.1 Invariance des plurigenres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.2 Cadre général de la méthode One-Tower . . . . . . . . . . . . . . 111
10.3 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11 Métriques singulières et idéaux multiplicateurs 116
11.1 Courbure des métriques singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.2 Notions de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.3 Idéaux multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12 Extensions de formes pluricanoniques 122
12.1 Cas d’une famille projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.1.1 Procédé inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.1.2 Extraction de racines et conclusion . . . . . . . . . . . . . 126
12.2 Cas projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
212.3 Invariance des plurigenres L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.3.2 Démonstration du théorème 12.3.1 . . . . . . . . . . . . . 135
212.4 Formes pluricanoniques L et Γ-réduction . . . . . . . . . . . . . 139
12.4.1 Un premier résultat d’extension . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.4.2 Procédé inductif et fin de la démonstration . . . . . . . . 144
12.5 Discussion autour des problèmes d’extensions . . . . . . . . . . . 146
12.5.1 Interpolation des différents énoncés . . . . . . . . . . . . . 146
312.5.2 Un contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Appendice 150
A Deux lemmes de théorie des groupes 150
B π -orbifolde d’une fibration 1531
B.1 Démonstration de la proposition 5.3.1 : . . . . . . . . . . . . . . . 153
B.2 de la prop 5.3.3 : . . . . . . . . . . . . . . . 154
B.3 de la proposition 6.0.3 : . . . . . . . . . . . . . . . 155
2C Formule de l’indice L 157
C.1 Enoncé du théorème et schéma de la démonstration . . . . . . . 158
C.2 Dimension de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2C.2.1 Cas de l (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2 eC.2.2 Opérateurs à G-trace sur L (X) . . . . . . . . . . . . . . 161
C.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C.3.1 Noyau de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C.3.2 Existence du développement asymptotique . . . . . . . . . 165
C.4 Formules de McKean-Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Bibliographie 171
4Déformation de variétés kählériennes compactes :
invariance de la Γ-dimension et extensions
de formes pluricanoniques
L’objectif de ce travail est double : d’une part investiguer les propriétés de la
Γ-réduction (ou réduction de Shafarevich) des variétés kählériennes compactes
et, d’autre part, présenter une méthode générale d’extension de formes pluri-
canoniques (à coefficients éventuels dans un fibré en droites vérifiant certaines
conditions de positivité).
Concernant la première question (qui occupe les parties I et II), nous étu-
dionsenparticulierlespropriétésd’invariancedelaΓ-dimensiondanslesfamilles
de variétés kählériennes de dimension 3. A l’aide de théorèmes de structure pré-
cis,noussommesenmesurededémontrercetteinvariancelorsquelafamillen’est
pas de type général. Dans ce dernier cas, seul un énoncé conditionnel est établi,
reposant sur des conjectures concernant les surfaces rationnelles orbifoldes. Ces
considérations nous amènent également à étendre les notions de Γ-réduction et
Γ-dimension au cadre des orbifoldes lisses.
Dans la troisième et dernière partie, nous exposons une méthode générale
d’extension de formes pluricanoniques. Bien qu’ayant été introduite dans le cas
des familles projectives (en lien avec l’invariance des plurigenres), cette méthode
est ici également mise en oeuvre dans d’autres contextes (famille de revêtements
et fibres de la Γ-réduction).
Les outils utilisés dans le présent travail sont ceux de la théorie de la clas-
sification associés aux techniques analytiques (fonctions quasi-psh, métriques
2singulières et idéaux multiplicateurs, invariants L ). Donnons maintenant un
aperçu des sujets abordés et des résultats de ces différentes parties (les chapitres
1 et 10 fournissent des précisions supplémentaires sur le contenu des parties en
question).
Parties I et II : Γ-réduction des variétés et
orbifoldes kählériennes compactes
En partie motivée par la conjecture de Shafarevich qui prédit que le revê-
tement universel d’une variété projective admet toujours une fibration propre
sur un espace de Stein, l’étude de ces revêtements s’est également révélée une
approche féconde du point de vue de la théorie de la classification. Ainsi, les tra-
vaux de M. Gromov puis de F. campana et J. Kollár ont abouti à l’introduction
du nouvel invariant suivant :
Définition.
eSoit X une variété kählérienne compacte de revêtement universel X. L’entier
¡ ¢
γd(X)=min codim (Z )e tX
5(où le minimum est étendu à toutes les familles génériquement couvrantes (Z )t t
ede cycles compacts de X) est un invariant birationnel de X et est appelé la
Γ-dimension de X.
La question du comportement de cet invariant dans les familles de variétés
s’est alors posée immédiatement et, dans [Kol95], J. Kollár propose la conjecture
suivante.
Conjecture.
La Γ-dimension est un invariant de déformation.
Comme la résolution de cette conjecture dans sa plus grande généralité
semble pour l’instant hors d’atteinte, nous nous penchons ici sur la situation
en petite dimension. Pour les familles de courbes, la Γ-dimension est clairement
un invariant de déformation et ce fait persiste pour les familles de surfaces käh-
lériennes : un résultat de Y.-T. Siu [Siu87] montre en effet que la Γ-dimension
d’une surface est un invariant de son groupe fondamental. Comme cette carac-
térisation topologique de la Γ-dimension est mise en défaut dès la dimension 3,
il semble intéressant d’étudier ce premier cas non trivial.
En utilisant les résultats de [CZ05], nous avons pu montrer l’invariance par
déformation lorsque la famille n’est pas de type général.
Théorème.
Soit π : X −→D une famille de variétés kählériennes de dimension 3 de fibre
centrale X =X. Si X n’est pas de type général, on a alors :0
∀t∈D, γd(X )=γd(X).t
De plus, sous réserve de la validité de deux résultats concernant les groupes
fondamentaux de certaines surfaces rationnelles orbifoldes, nous montrons que
la condition γd(X) = 3 (de telles variétés sont dites de type π -général) est1
stable par petite déformation.
Théorème (énoncé conditionnel).
Si π :X−→D est une famille de variétés kählériennes de dimension 3 dont la
fibre centrale vérifie γd(X)=3, les fibres voisines sont aussi de type π -général :1
∀t∈D, γd(X )=3.t
L’étude menée pour aboutir à ces résultats nous pousse naturellement à
étendrelanotiondeΓ-dimensionàlacatégorieorbifoldeintroduitedans[Cam04b].
Rappelons la définition de ces objets.
Définition.
Une orbifolde lisse est un couple (X/Δ) où X est une variété complexe lisse et
Δ unQ-diviseur sur X de la forme :
X 1
Δ= (1− )Dj
mj
j∈J
6où les m sont des entiers.j
Les orbifoldes sont des objets géométriques à part entière. Ainsi, il leur est
naturellement associé un fibré canonique, des faisceaux de formes différentielles,
un groupe fondamental et une théorie galoisienne des revêtements. En particu-
lier, une orbifolde lisse est dotée d’un revêtement universel
eπ :X −→(X/Δ),Δ Δ
el’application π ramifiant en au plus Δ et X pouvant avoir des singularitésΔ Δ
quotients. En introduisant la notion de métrique kählérienne orbifolde et en
eadaptant les techniques de [Cam94], nous montrons que l’espace X admet uneΔ
réduction de Remmert biméromorphe.
Théorème.
eSi (X/Δ) est une orbifolde kählérienne compacte lisse et si X désigne sonΔ
erevêtement universel, il existe sur X une fibration presque-holomorphe propre :Δ
e eγ˜ :X 99KΓ(X )Δ Δ Δ
dont les fibres générales sont les sous-variétés analytiques compactes irréduc-
etibles maximales de X ; cette fibration est unique à équivalence birationnelleΔ
près.
Partie III : Extensions de formes pluricanoniques
Dans l’étude de la géométrie birationnelle des variétés projectives (ou plus
généralement kählériennes compactes), les plurigenres constituent une famille
d’invariants fournissant de nombreux renseignements sur la structure de ces va-
riétés. La question de l’invariance par déformation est longtemps restée un pro-
blème ouvert malgré de nombreuses tentatives pour le résoudre. Les théorèmes
de cohérence des images directes de Grauert permettent ainsi de le ramener à
un problème d’extension : étant donné
π :X−→B
0une famille de variétés, 0 un point de B et s∈H (X ,mK ), peut-on trouverb Xb
une section de mK qui prolonge s (au moins au-dessus d’un voisinage de 0X
dans B)?
Dans les articles [Siu98] et [Siu02], Y.-T. Siu démontre l’invariance par défor-
mation projective des plurigenres, répondant donc par l’affirmative à la question
ci-dessus. Le résultat d’extension démontré par ce dernier concerne en réalité
des sections pluricanoniques à coefficients dans un fibré en droitesL (moyennant
certaines conditions de positivité sur L).
Théorème [Siu02].
Soit π : X −→D une famille projective de fibre centrale X, (L,h) un fibré en
droites pseudo-effectif sur X et m≥ 1 un entier. Si l’idéal multiplicateur de la
rectriction de h à X est trivial, toute section bornée de mK +L s’étend enX |X
7

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