Dynamique de milieux réticulés non contreventés : application aux bâtiments., Dynamics of unbraced reticulated media : application to buildings

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Sous la direction de Claude Boutin, Stéphane Hans
Thèse soutenue le 29 juin 2010: Ecole centrale de Lyon
Les comportements dynamiques d’une famille de structures réticulées, c’est-à-dire constituées d’un réseau de poutres, sont étudiés à l’aide de la méthode d’homogénéisation des milieux périodiques discrets. Cette dernière permet de construire, de façon rigoureuse et en lien avec la microstructure, un milieu continu équivalent à l’échelle macroscopique lorsque la taille de la cellule de base est très petite par rapport à la longueur d’onde. Le domaine d’application de cetteméthode est également étendu à des fréquences plus élevées pour lesquelles les éléments de la cellule peuvent entrer en résonance en flexion. Cela se traduit à l’échelle macroscopique par des propriétés apparentes qui dépendent de la fréquence et par des bandes de fréquences interdites associées aux modes de flexion des éléments. Les structures considérées sont constituées par la répétition périodique de portiques non contreventés. Contrairement aux milieux massifs, ces structures présentent une déformabilité beaucoup plus grande en cisaillement qu’en tractioncompressionet leur cinématique locale est très riche. Ainsi, il est possible de générer une grande variété de comportements en jouant sur les ordres de grandeur des propriétés des éléments et celui de la fréquence. Cette approche permet de construire différents modèles de milieux continus (ou poutres) généralisé(e)s. Ce travail apporte un cadre d’analyse pour l’étude de milieux tels que les mousses, les matières végétales, les os. . . mais aussi pour concevoir de nouveaux matériaux avec des propriétés atypiques. Ici, les modèles de poutres généralisées servent à comprendre le fonctionnement des bâtiments. Dans ce cas, la difficulté réside dans la prise en compte du cisaillement dans les murs voiles.
-Structure discrète
-Homogénéisation périodique
-Masse apparente
-Modes atypiques
-Mur voile
The dynamic behaviours of a class of reticulated structures - that is to say made up of interconnected beams - are studied with the homogenization method of periodic discrete media. It enables to derive, rigorously and in relation with the microstructure, an equivalent continuous medium at the macroscopic scale when the cell size is much smaller than the wavelength. The scope of application of the method is also extended to higher frequencies for which cell elements can be in resonance for bending. Consequently, at the macroscopic scale, the effective properties can depend on the frequency and there are frequency band gaps associated with the bending modes of the elements. Studied structures are made up of the periodic repetition of unbraced frames. Contrary to massive media, those structures have a shear deformability muchhigher than traction-compression deformability and their local kinematics is very rich. Thus, it is possible to generate a large diversity of behaviours by changing the orders of magnitude of the element properties and of the frequency. This approach enables to build several generalized continuous media (or beams). This work brings a framework for the study of media such as foams, vegetable tissue, bones... but also for the design of new materials with atypical properties. Here, generalized beam models are used to understand the behaviour of buildings. In that case, the difficulty consists in taking into account the shear mechanism in the shear walls.
Source: http://www.theses.fr/2010ECDL0013/document
Publié le : vendredi 28 octobre 2011
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Année 2010
Thèse
présentée pour l’obtention du titre de
Docteur de l’École Centrale de Lyon
École doctorale : MEGA
(Mécanique, Énergétique, Génie civil, Acoustique)
Spécialité : génie civil
par
Céline CHESNAIS
Dynamique de milieux réticulés non contreventés
Application aux bâtiments
Soutenue à l’ENTPE le 29 juin 2010
Composition du jury
François SIDOROFF École Centrale de Lyon Président
Denis CAILLERIE Institut National Polytechnique de Grenoble Rapporteur
Patrice CARTRAUD École Centrale de Nantes Rapporteur
Pierre-Yves BARD Laboratoire Central des Ponts et Chaussées Examinateur
Samuel FOREST École Nationale Supérieure des Mines de Paris Examinateur
Claude BOUTIN École Nationale des Travaux Publics de l’État Directeur de thèse
Stéphane HANS École Nationale des Travaux Publics de l’État Directeur de thèse
Thèse préparée au Département Génie Civil et Bâtiment
de l’École Nationale des Travaux Publics de l’ÉtatiiRemerciements
Je tiens à commencer ce mémoire en adressant mes remerciements les plus
sincères à toutes les personnes qui ont permis la réussite de ce travail.
Jeveuxtémoignertoutemagratitudeauxmembresdujurypouravoiraccepté
de consacrer du temps à l’évaluation de cette thèse. Leurs remarques judicieuses
ont apporté un éclairage nouveau et ont suscité d’autres réflexions.
Je souhaite également exprimer ma reconnaissance à mes directeurs de thèse,
Claude Boutin et Stéphane Hans, pour m’avoir proposé un sujet aussi intéressant
et pour leurs précieux conseils tout au long de ces quatre années. De plus, j’ai
beaucoup apprécié leur disponibilité et leur gentillesse.
Je profite aussi de cette occasion pour remercier toute l’équipe du Départe-
ment Génie Civil et Bâtiment pour son accueil et mes nouveaux collègues du
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées pour m’avoir laissée achever la ré-
daction de ce mémoire dans d’excellentes conditions.
Enfin, un grand merci à tous ceux dont la relecture attentive a permis de
corriger la plupart des fautes de frappe.
iiiRésumé
Les comportements dynamiques d’une famille de structures réticulées, c’est-
à-dire constituées d’un réseau de poutres, sont étudiés à l’aide de la méthode
d’homogénéisation des milieux périodiques discrets. Cette dernière permet de
construire,defaçonrigoureuseetenlienaveclamicrostructure,unmilieucontinu
équivalent à l’échelle macroscopique lorsque la taille de la cellule de base est
très petite par rapport à la longueur d’onde. Le domaine d’application de cette
méthode est également étendu à des fréquences plus élevées pour lesquelles les
éléments de la cellule peuvent entrer en résonance en flexion. Cela se traduit à
l’échelle macroscopique par des propriétés apparentes qui dépendent de la fré-
quence et par des bandes de fréquences interdites associées aux modes de flexion
des éléments.
Les structures considérées sont constituées par la répétition périodique de
portiques non contreventés. Contrairement aux milieux massifs, ces structures
présententunedéformabilitébeaucoupplusgrandeencisaillementqu’entraction-
compression et leur cinématique locale est très riche. Ainsi, il est possible de
générerunegrandevariétédecomportementsenjouantsurlesordresdegrandeur
des propriétés des éléments et celui de la fréquence. Cette approche permet de
construire différents modèles de milieux continus (ou poutres) généralisé(e)s.
Ce travail apporte un cadre d’analyse pour l’étude de milieux tels que les
mousses, les matières végétales, les os... mais aussi pour concevoir de nouveaux
matériaux avec des propriétés atypiques. Ici, les modèles de poutres généralisées
servent à comprendre le fonctionnement des bâtiments. Dans ce cas, la difficulté
réside dans la prise en compte du cisaillement dans les murs voiles.
Mots-clés : dynamique, structure discrète, homogénéisation périodique, propa-
gation d’ondes, résonance interne, masse apparente, modes atypiques, bâtiment,
portique, mur voile
ivAbstract
The dynamic behaviours of a class of reticulated structures - that is to say
made up of interconnected beams - are studied with the homogenization method
of periodic discrete media. It enables to derive, rigorously and in relation with
the microstructure, an equivalent continuous medium at the macroscopic scale
when the cell size is much smaller than the wavelength. The scope of application
of the method is also extended to higher frequencies for which cell elements
can be in resonance for bending. Consequently, at the macroscopic scale, the
effective properties can depend on the frequency and there are frequency band
gaps associated with the bending modes of the elements.
Studied structures are made up of the periodic repetition of unbraced frames.
Contrary to massive media, those structures have a shear deformability much
higher than traction-compression deformability and their local kinematics is very
rich. Thus, it is possible to generate a large diversity of behaviours by changing
the orders of magnitude of the element properties and of the frequency. This
approach enables to build several generalized continuous media (or beams).
This work brings a framework for the study of media such as foams, vegetable
tissue, bones... but also for the design of new materials with atypical properties.
Here,generalizedbeammodelsareusedtounderstandthebehaviourofbuildings.
In that case, the difficulty consists in taking into account the shear mechanism
in the shear walls.
Keywords : dynamics, discrete structure, periodic homogenization, wave pro-
pagation, inner resonance, effective mass, atypical modes, building, frame, shear
wall
vviTable des matières
1 Introduction 1
1.1 Intérêt de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Choix de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Présentation de la méthode HMPD . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Présentation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Propagation des ondes dans des milieux réticulés 13
2.1 Mise en œuvre de la méthode HMPD . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Structures étudiées et notations . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Discrétisation de l’équilibre dynamique . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Séparation d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.5 Exploitation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
er2.2 1 cas : murs et planchers similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Milieu continu équivalent hors résonance interne . . . . . . 32
2.2.2 ! =O(! ) : ondes de cisaillement . . . . . . . . . . . . . 49r
2.2.3 ! =O(! ) : ondes de compression . . . . . . . . . . . . . . 53r
2.2.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
e2.3 2 cas : murs plus épais que les planchers . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.1 Milieu continu équivalent hors résonance interne . . . . . . 82
22.3.2 ! =O( ! ) : flexion locale des planchers . . . . . . . . . . 89r
3/22.3.3 ! =O( ! ) : ondes de flexion dans les murs . . . . . . . 93r
1/22.3.4 ! =O( ! ) : compression des planchers . . . . . . . . . 97r
2.3.5 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.4 Comment utiliser ces résultats lors de l’étude d’un milieu donné? 106
2.4.1 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.4.2 Étude des ondes de cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . 113
2.4.3 Quelles ondes avec la résonance interne? . . . . . . . . . . 121
2.4.4 Calcul des fréquences admissibles . . . . . . . . . . . . . . 127
2.5 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3 Modes de vibrations de poutres réticulées 141
3.1 Mise en œuvre de la méthode HMPD . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.1 Structures étudiées et notations . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.2 Discrétisation de l’équilibre dynamique . . . . . . . . . . . 145
3.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.1.4 Séparation d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
vii3.1.5 Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.1.6 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Modes transversaux à basses fréquences . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.1 Un exemple : poutre de Timoshenko élancée . . . . . . . . 154
3.2.2 Études précédentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.2.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.3 Modes transversaux à plus hautes fréquences . . . . . . . . . . . . 195
3.3.1 Sans résonance interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.3.2 Résonance interne aux ordres supérieurs . . . . . . . . . . 217
3.3.3 Résonance interne à l’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.3.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
3.4 Modes longitudinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.4.1 Sans résonance interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3.4.2 Résonance interne aux ordres supérieurs . . . . . . . . . . 239
3.4.3 Résonance interne à l’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 244
3.4.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
3.5 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4 Modélisation des bâtiments 259
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.1.1 Intérêt des modèles simplifiés . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.1.2 Travaux antérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.1.3 Transposition des modèles homogénéisés . . . . . . . . . . 264
4.2 Modélisation des murs voiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.2.1 Calcul des paramètres en présence de murs voiles . . . . . 269
4.2.2 Modèles macroscopiques avec cisaillement des murs . . . . 279
4.3 Modélisation d’un bâtiment à murs voiles . . . . . . . . . . . . . . 292
4.4 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Conclusion générale 311
A Résolution du modèle générique 315
A.1 Statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
A.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
B Étude des structures constituées de doubles portiques 323
B.1 Poutre de Timoshenko élancée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
B.2 Double flexion et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
B.3 Liste des structures étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
C Expression analytique de la rigidité K 329
D Figures en couleur 333
Bibliographie 343
viiiChapitre 1
Introduction
Sommaire
1.1 Intérêt de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Choix de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Présentation de la méthode HMPD . . . . . . . . . . 8
1.4 Présentation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1Chapitre 1 : Introduction
2

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