Efficient numerical simulation of the liquid phase epitaxy [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Oliver Kriessl

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E cient numerical simulation ofthe liquid phase epitaxyDissertation zur Erlangung des Doktorgrades derMathematisch-Naturwissenscha ichen Fakultat derUniversitat Augsburgvorgelegt von Oliver KriesslDezember 2005Erster Gutachter: Prof. Dr. K.G. Siebert, Augsburg, DeutschlandZweiter Prof. Dr. P. Morin, Santa Fe, ArgentinienMundl iche Prufun g: 01. Februar 2006iiiDanksagungAn dieser Stelle m ochte ich mich bei allen bedanken, die zur Fertigstellung dieserArbeit beigetragen haben. Es war ein langer Weg mit manchem Stolpersteinbis zur Abgabe. Am Anfang stand einfach der Wunsch, es nochmals mit derMathematik an der Uni Freiburg aufzunehmen. Erm oglicht wurde dies durchein Projekt des Bundesministerium fur Bildung und Forschung (BMBF), dem ichhiermit meinen herzlichen Dank fur drei Jahre F orderung aussprechen mochte.Begleitet wurde ich von vielen netten Kollegen. Erwahnen m ochte ich vor allemOliver Muller, der als Zimmernachbar viel Anteil an alltaglichen Freuden undFrust hatte.Dann kam der Wechsel an die Uni Augsburg. Zwei Personen haben ihn mirerheblich erleichtert: Daniel K oster, der mir dauerhaft bis heute und immerohne jegliche Probleme Unterkunft gewahrte, und Kunibert G. Siebert, der michmotivierte, unterstutzt e und auch in schwierigen Situationen immer wieder aufdenrichtigenWegzuruck brachte. OhnediesebeidenwaredieArbeitniem oglichgeworden.
Publié le : dimanche 1 janvier 2006
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E cient numerical simulation of
the liquid phase epitaxy
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der
Mathematisch-Naturwissenscha ichen Fakultat der
Universitat Augsburg
vorgelegt von Oliver Kriessl
Dezember 2005Erster Gutachter: Prof. Dr. K.G. Siebert, Augsburg, Deutschland
Zweiter Prof. Dr. P. Morin, Santa Fe, Argentinien
Mundl iche Prufun g: 01. Februar 2006iii
Danksagung
An dieser Stelle m ochte ich mich bei allen bedanken, die zur Fertigstellung dieser
Arbeit beigetragen haben. Es war ein langer Weg mit manchem Stolperstein
bis zur Abgabe. Am Anfang stand einfach der Wunsch, es nochmals mit der
Mathematik an der Uni Freiburg aufzunehmen. Erm oglicht wurde dies durch
ein Projekt des Bundesministerium fur Bildung und Forschung (BMBF), dem ich
hiermit meinen herzlichen Dank fur drei Jahre F orderung aussprechen mochte.
Begleitet wurde ich von vielen netten Kollegen. Erwahnen m ochte ich vor allem
Oliver Muller, der als Zimmernachbar viel Anteil an alltaglichen Freuden und
Frust hatte.
Dann kam der Wechsel an die Uni Augsburg. Zwei Personen haben ihn mir
erheblich erleichtert: Daniel K oster, der mir dauerhaft bis heute und immer
ohne jegliche Probleme Unterkunft gewahrte, und Kunibert G. Siebert, der mich
motivierte, unterstutzt e und auch in schwierigen Situationen immer wieder auf
denrichtigenWegzuruck brachte. OhnediesebeidenwaredieArbeitniem oglich
geworden. DankenmochteichauchdemAugsburgerGraduiertenkolleg, dasmich
am Ende seiner Laufzeit herzlich aufgenommen hat und nanzielle Sorgen im
Hintergrund verschwinden lie . Pedro Morin m ochte ich fur einen angenehmen
Argentinienaufenthalt danken, dem manche Grundlage dieser Arbeit entsprungen
ist.
InderheienPhasedesAufschreibensbinichmeinenbeidenBuro genossenChris-
tian Kreuzer und Daniel Koster zu gro em Dank verp ichtet, die ausdauernd als
Korrektoren hergehalten haben, wenn auch nicht immer in ganz nuchternem Zu-
stand ... und Kunibert G. Siebert, der mich von allem frei und fern gehalten hat,
was in irgendeiner Form die mir noch zur Verfugung stehende Zeit geschmalert
hatte.
Der go r te Ruckh alt in der Zeit der Promotion aber war meine liebe Frau Tanja,
die mich animiert hat, den Schritt nach Augsburg zu tun und alle guten und
schlimmen Phasen tapfer mitgetragen hat. Besonders danke ich ihr fur das
sch onste Geschenk, das sie mir ub erhaupt machen konnte — kurz vor der Ab-
gabe!Contents
Contents v
1 Introduction 1
1.1 Infrared detectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 The vertical Bridgman method . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Liquid phase epitaxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Global simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 The Physical Model 9
2.1 Prerequisites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 The Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Conservation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2ion of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Boussinesq approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Conservation of mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Boundary conditions on the outer boundary . . . . . . . . 19
2.5.2 Stefan condition for temperature and concentrations . . . 19
2.5.3 The phase diagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Material constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 The non-dimensional system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Some remarks on the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28vi Contents
3 The Mathematical Model 31
3.1 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Existence and uniqueness of a subproblem . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Derivation of the subproblem . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Saddle point problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Variational formulation of the system . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Functional framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Moving interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Fixed interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Discretization 49
4.1 Finite element spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 The Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Discretization in time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.3 The fully discretized problem . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Moving interface approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1 Space-time nite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.2 The algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Fixed interface approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 The algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Stability aspects and damping methods . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.1 The discrete LBB condition . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.2 Damping of oscillations on the interface . . . . . . . . . . 71
5 E cient Solution of the nonlinear algebraic system 75
5.1 The Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Newton with step size control . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.2 Assemblage of the Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Linear solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Projection methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.2 Krylov methods and Lanczos Biorthogonalization . . . . . 85Contents vii
5.2.3 TFQMR solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.4 Comparison of GMRES, BiCGStab, and TFQMR . . . . . 89
5.3 Preconditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 ILU factorization preconditioners . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 The ILUT approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Numerical results 97
6.1 Convergence tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.1 Moving interface approach . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.2 Fixed interface approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.3 Comparison of the two approaches . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Simulation results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.1 Homogeneity of the lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.2 Experiment I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.3 Experiment II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.4 Experiment III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Bibliography 139Chapter 1
Introduction
In many industrial processes optimization plays a fundamental role since several
important things may be improved such as energy consumption, material require-
ments, or quality. Most of these aspects can be enhanced by experiments but
on the one hand this is time-consuming and on the other hand it is sometimes
extremely costly. One way out may be performing numerical simulations of the
process. This can lead to a deeper understanding and thus facilitate improve-
ments.
The liquid phase epitaxial process which is the subject of this thesis is an im-
portant and critical step in the fabrication process of infrared detectors. A high
quality of the emerging layer which has to be grown onto the substrates is de-
cisive for their further usability. Performing numerical simulations of the liquid
phase epitaxy requires the development of a physical model as well as special-
ized numerical methods. These steps are presented and the obtained numerical
results are discussed.
The construction of an optimal control maintaining the process to receive an
optimal result would even be more sophisticated. For the liquid phase epitaxy
this is impossible until now since the complexity of the arising problem is so high
that simulations of the process are already extremely time-consuming.2 1 Introduction
1.1 Infrared detectors
Fortheindustrialproductionofinfrareddetectorshighqualitysemiconductorsare
needed. The detectors we consider are optimized for wavelengths between 7 and
12 microns on the electromagnetic spectrum. In this region room temperature
objects emit most of their light. The detectors use a semiconductor material
Figure 1.1: Infrared picture of a house. (Source: Internet)
based on mercury cadmium telluride (MCT) as most of the infrared detectors do.
Thematerialisveryexpensiveanddi culttohandleandaspecialmanufacturing
infrastructureisrequiredthatraisesthecostofthechips. Thefabricationprocess
is split into several steps. It starts with the breeding of a single crystalline ingot
(cf. Figure 1.2) by the vertical Bridgman method (see Section 1.1.1). This ingot
is then cut into slices which are, after some further treatments like etching and
polishing, the substrates (cf. Figure 1.3) for the epitaxial growth (see Section
1.1.2). At the end electronic devices are attached onto the layered substrates to
complete the chip.

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