Etudes de deux approches mathématiques complémentaires pour un problème de reconstruction tomographique, Study of two complementary mathematical appproaches of a tomographic reconstruction problem

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Sous la direction de Guy Barles
Thèse soutenue le 02 décembre 2008: Tours
Les travaux présentés dans cette thèse sont divisés en quatre parties. La première est consacrée à la présentation du modèle de reconstruction tomographique. Dans la deuxième partie, nous traitons une approche variationnelle qui consiste en un problème de minimisation non-différentiable avec une contrainte non convexe, d'intérieur vide pour les topologies usuelles. L'étude numérique de l'approche précédente est faite dans la troisième partie. Elle est basée sur le système d'optimalité, la méthode d'Uzawa et une méthode de gradient à pas optimal pour écrire un schéma numérique. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'approche par lignes de niveaux pour résoudre des problèmes de propagation de fronts. Cette méthode fait apparaître des équations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité pour ces équations dans deux cas: celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts.
-Méthode du Lagrangien
-Méthodes des lignes de niveaux
The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present our model of tomographic reconstruction. The second part treats a non-differentiable variational problem with a non-convex constraint the interior of which is empty for usual topologies. A numerical study of the above approach is elaborated in the third part. A numerical scheme is derived based upon our optimal system, the method of Uzawa and a gradient descent method. In the last part, we use a level-set approach to solve the front propagation problem. A second order Hamilton-Jacobi type equation with a non-local term comes into play. We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution in both compact and non-compact fronts cases.
Source: http://www.theses.fr/2008TOUR4016/document
Publié le : vendredi 28 octobre 2011
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´UNIVERSITE FRANC¸OIS-RABELAIS
DE TOURS
´ ´ECOLE DOCTORALE SANTE, SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES ET PHYSIQUE THEORIQUE
`THESE pr´esent´ee par :
Ali SROUR
soutenue le : 2 d´ecembre 2008
pour obtenir le grade de :Docteur de l’universit´e Fran¸cois-Rabelais
Discipline/ Sp´ecialit´e : Math´ematiques Appliqu´ees
´Etude de deux approches math´ematiques compl´ementaires pour
un probl`eme de reconstruction tomographique
`THESE dirig´ee par :
M. BARLES Guy Professeur, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
RAPPORTEURS :
Mme DIBOS Fran¸coise Professeur, Universit´e Paris xiii
´M. MARECHAL Pierre Professeur, Universit´e Toulouse iii
JURY :
M. ABRAHAM Romain Professeur, Universit´e d’Orl´eans
M. BARLES Guy Professeur, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
Mme BERGOUNIOUX Ma¨ıtine Professeur, Universit´e d’Orl´eans
Mme DIBOS Fran¸coise Professeur, Universit´e Paris xiii
M. LEY Olivier MCF, Universit´e Franc¸ois-Rabelais, Tours
´M. MARECHAL Pierre Professeur, Universit´e Toulouse iiii
Avant-propos
Cetteth`esea´et´eco-encadr´eeparRomainAbrahametMa¨ıtineBergouniouxauMAPMO
et Guy Barles et Olivier Ley au LMPT. Ces deux laboratoires font partie de la f´ed´eration
Denis Poisson (Orl´eans-Tours).
Je remercie la R´egion Centre qui m’a accord´e une bourse r´egionale durant ces trois
ans de recherche. Cette th`ese n’aurait pas puˆetre men´ee `a bien sans ce support financier.
Finalement, il faut signaler que ce travail est compos´e de trois grandes parties :
Les premi`ere et deuxi`eme parties ont ´et´e encadr´ees par R. Abraham et M. Bergou-
nioux au sein du MAPMO. Elles aboutissent `a deux articles, l’un `aparaˆıtre dans«Pacific
Journal of optimisation» et l’autre est en cours de pr´eparation.
La troisi`eme partie a ´et´e r´ealis´ee sous la direction de G. Barles et O. Ley au sein
du LMPT. Elle a donn´e lieu `a un article `a paraˆıtre dans « Nonlinear Analysis. Theory,
Methods & Applications».iiiii
`A mes parents...
Merci pour votre soutien ...
Merci pour votre confiance ...
Rien n’aurait ´et´e possible sans vous ...ivv
Mes Remerciements...
C’est la vie! On fait le premier pas, on rencontre des difficult´es, des probl`emes, des
obstacles... Mais par l’espoir, la patience et l’ambition, on pourra tout surmonter. On vit
des exp´eriences dures et on r´eussit `a faire face aux moments difficiles grˆace `a des per-
sonnes, qui nous guident sans h´esitations, ni r´eserves dans cette p´eriode de notre vie.
Je tiens `a commencer ces remerciements par les membres du Jury de cette th`ese no-
tamment,MmeFranc¸oiseDibosetM.PierreMar´echalpourl’honneurqu’ilsm’ontaccord´e
en acceptant d’ˆetre rapporteurs et pour l’int´erˆet qu’ils ont port´e `a mon travail.
Cette th`ese, si elle est couronn´eepar le succ`es, c’est grˆace `ades directeurs comp´etents,
attentifs et toujours pr´esents.
Ma premi`ere pens´ee va `a M. Guy Barles qui a accept´e de diriger mon travail avec
beaucoup de disponibilit´e. Ses larges connaissances en Math´ematiques m’ont donn´e l’en-
vie et l’´energie de me lancer dans la recherche. Avec lui, j’ai appris les Math´ematiques
avec rigueur et mˆeme avec plaisir. Je le remercie pour sa grande gentillesse et son soutien
constant. Je n’oublie jamais son expression : « Ali, je suis toujours l`a, mon bureau est
toujours ouvert, tu viens quand tu veux, quand tu sens que tu as besoin d’aide...» Pour
moi, c’´etait une chance de travailler avec lui.
Quant `a Olivier Ley, je suis tr`es reconnaissant d’avoir partag´e avec moi son savoir,
sa m´ethodologie de travail. Je le remercie pour son support continu, sa grande dispo-
nibilit´e, ses conseils pertinents et enfin son aide dans les corrections et l’am´eliorations
r´edactionnelles de mes travaux. Il a ´et´e d’un grand soutien dans les moments difficiles.
Un grand merci aussi `a Mme Ma¨ıtine Bergounioux. Grand merci de m’avoir propos´e
le sujet de stage en DEA qui m’a ouvert la porte de la recherche. Je suis tr`es honor´e
d’avoir partag´e son savoir et je la remercie pour l’aide et le soutien qu’elle m’a apport´e
malgr´e la distance; je la remercie pour le temps qu’elle m’a consacr´e. Soyez assur´ee Mme
Bergounioux de mon profond respect.
Je tiens `a exprimer ma gratitude `a M. Romain Abraham d’avoir partag´e avec moi ses
connaissances du mod`ele ´etudi´e.
Je veux remercier tous les membres du laboratoire de Math´ematiques et Physique
th´eorique `a l’universit´e de Tours. Un grand merci `a Anne-Marie, Bernadette et Olivier
`Thibault. A mes coll`egues du bureau : Ola, Haydar, Julien, Thierry, merci pour tous ces
agr´eables moments de travail et de loisir que nous avons partag´es.vi
A tous les moments pass´es ensemble au travail et en dehors, `a l’encouragement que
tu m’as apport´e tout au long de ma th`ese, je te remercie vivement Waad. Sois assur´ee,
Waad, de tout mon respect, de ma profonde gratitude et de toute mon amiti´e.
J’adresse un remerciement `a Rami Younes pour son aide. Sois assur´e, Rami, de mon
respect et de toute mon estime.
Mes pens´ees vont aussi `a la famille Ataya qui m’a accueilli chaleureusement `a mon
arriv´ee en France, je vous remercie vivement.
Je souhaite remercier mes amis : Jinane, Ali, Sami, Chirine, Nadia et Maryl`ene. Vous
ˆetes de vrais amis.
Merci Diana, Houssein, Hawrae, Ghennwa et toute la famille Daoud. Vous m’avez encou-
rag´e, accompagn´e et donn´e toute votre aide et vous m’avez combl´e de votre amiti´e.
Je pense `a mes chers parents : mon p`ere, ma m`ere, mes fr`eres et soeurs. Je suis vrai-
ment reconnaissant pour le soutien inconditionnel que vous m’avez apport´e, vous avez eu
foi en moi et vous m’avez permis de r´ealiser mes rˆeves.
Enfin, une douce pens´ee pour la personne vraiment ch`ere `a mon coeur, la femme la plus
tendre, qui me soutient et qui m’encourage toujours. Je te remercie vivement Ola...vii
´Etude de deux approches math´ematiques
compl´ementaires pour un probl`eme de
reconstruction tomographique
R´esum´e
Les travaux pr´esent´es dans cette th`ese sont divis´es en quatre parties. La premi`ere est
consacr´ee `a la pr´esentation du mod`ele de reconstruction tomographique. Deux approches
sont utilis´ees dans cette reconstruction : une approche variationnelle et une approche par
lignesdeniveaux(Level-Set).Dansladeuxi`emepartie,noustraitonsl’approchevariation-
nelle qui consiste en un probl`eme de minimisation non-diff´erentiable avec une contrainte
nonconvexe,d’int´erieurvidepourlestopologiesusuelles.Pourr´esoudreceprobl`eme,nous
commenc¸ons par relaxer la contrainte et obtenons un probl`eme approch´e pour lequel la
contrainte est toujours non-convexe mais exprim´ee sous forme d’in´egalit´es. Ensuite, par
unem´ethodedep´enalisation,enutilisantunem´ethodedeProgrammationMath´ematique,
un syst`eme d’optimalit´e est ´etabli pour le probl`eme p´enalis´e. Enfin, nous prouvons des
estimations a priori pour passer du probl`eme p´enalis´e au probl`eme relax´e.
L’´etude num´erique de l’approche pr´ec´edente est faite dans la troisi`eme partie. Elle est
bas´ee sur le syst`eme d’optimalit´e, la m´ethode d’Uzawa et une m´ethode de gradient `a pas
optimal pour ´ecrire un sch´ema num´erique.
Dans la quatri`eme partie, nous nous int´eressons `a l’approche par lignes de niveaux
pour r´esoudre des probl`emes de propagation de fronts. Cette m´ethode fait apparaˆıtre
des ´equations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous
prouvons l’existence et l’unicit´e d’une solution de viscosit´e pour ces ´equations dans deux
cas : celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts. Dans le cas compact,
contrairement au cas non-compact, nos r´esultats sont valables pour des Hamiltoniens qui
peuvent ˆetre non-born´es par rapport au terme non-local.
Mots-cl´es :Reconstructiontomographique, M´ethodeVariationnelle, Relaxation, Mul-
tiplicateurs de Lagrange, M´ethode de programmation math´ematique, M´ethode du La-
´grangien, M´ethode de gradient, Equations de Hamilton-Jacobi non-locales, Propagation
de fronts, M´ethode des lignes de niveaux, Solutions de viscosit´e.
´ ´LABORATOIREDEMATHEMATIQUESETPHYSIQUETHEORIQUE,(UMRCNRS6083),F´ed´eration
´de Recherche Denis Poisson (FR CNRS 2964), UNIVERSITE FRANC¸OIS RABELAIS DE TOURS,
PARC DE GRANDMONT, F-37200 TOURS FRANCE.viii
Study of two complementary mathematical
approaches of a tomographic reconstruction
problem
Abstract
The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present
our model of tomographic reconstruction. Two approaches are implied in this recons-
truction : one is variational and the other is by level-set. The second part treats a non-
differentiable variational problem with a non-convex constraint the interior of which is
empty for usual topologies. The constraint is relaxed to obtain a problem with a non-
convex constraint in the form of an inequality. A penalization method is then applied for
which an optimal system is obtained using mathematical programming methods. Finally,
a priori estimates allow us to pass from the penalized to the relaxed problem.
A numerical study of the above approach is elaborated in the third part. A numerical
scheme is derived based upon our optimal system, the method of Uzawa and a gradient
descent method.
In the last part, we use a level-set approach to solve the front propagation problem.
A second order Hamilton-Jacobi type equation with a non-local term comes into play.
We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution in both compact and non-
compact fronts cases. In the compact case, contrary to the non-compact one, our results
hold for Hamiltonians which could be unbounded with respect to the non-local term.
Keywords : Tomographic reconstruction, Variational method, Relaxation, Lagrange
multipliers, Mathematical programming method, Lagrangian method, Gradient method,
NonlocalHamilton-Jacobiequations,Nonlocalfrontpropagation,Level-Setapproach,Vis-
cosity solutions.
´ ´LABORATOIREDEMATHEMATIQUESETPHYSIQUETHEORIQUE,(UMRCNRS6083),F´ed´eration
´de Recherche Denis Poisson (FR CNRS 2964), UNIVERSITE FRANC¸OIS RABELAIS DE TOURS,
PARC DE GRANDMONT, F-37200 TOURS FRANCE.

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