Functional renormalization group methods in quantum chromodynamics [Elektronische Ressource] / presented by Jens Braun

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematicsof the Ruperto–Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDipl.-Phys. Jens Braunborn in Tu¨bingen, GermanyOral examination: December 18, 2006FunctionalRenormalization Group MethodsinQuantum ChromodynamicsReferees: Prof. Dr. Hans-Ju¨rgen PirnerDr. habil. Holger GiesFunktionale Renormierungsgruppenmethodenin derQuantenchromodynamikZusammenfassungWirwendenfunktionaleRenormierungsgruppenmethodenaufdieQuantenchromodynamik(QCD)an.Zun¨achst berechnen wir die Massena¨nderung des Pions in einem endlichen Volumen mit Hilfe desQuark-Meson-Modells. Dabei untersuchen wir insbesondere die Bedeutung von Quarkeffekten. ImEinklang mit Gitter-QCD Rechnungen finden wir, daß die Wahl der Randbedingungen fu¨r die Quark-feldereinenwesentlichenEinflußhat. EinVergleichunsererErgebnissemitentsprechendenResultatenvon chiraler St¨orungstheorie und Gitter-QCD-Rechnungen legt nahe, daß die Gr¨osse der heutzutageverwendeten Gitter noch nicht ausreichend ist, als daß chirale St¨orungstheorie zur Extrapolation derResultate fu¨r Niederenergie-Observablen angewendet werden k¨onnte.Phasenu¨berga¨nge in der QCD bei endlicher Temperatur und Dichte sind Gegenstand aktueller For-schung. Einerseits untersuchen wir den chiralen Phasenu¨bergang bei endlicher Temperatur in end-lichem und unendlichem Volumen mit Hilfe des Quark-Meson-Modells.
Publié le : dimanche 1 janvier 2006
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto–Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Dipl.-Phys. Jens Braun
born in Tu¨bingen, Germany
Oral examination: December 18, 2006Functional
Renormalization Group Methods
in
Quantum Chromodynamics
Referees: Prof. Dr. Hans-Ju¨rgen Pirner
Dr. habil. Holger GiesFunktionale Renormierungsgruppenmethoden
in der
Quantenchromodynamik
Zusammenfassung
WirwendenfunktionaleRenormierungsgruppenmethodenaufdieQuantenchromodynamik(QCD)an.
Zun¨achst berechnen wir die Massena¨nderung des Pions in einem endlichen Volumen mit Hilfe des
Quark-Meson-Modells. Dabei untersuchen wir insbesondere die Bedeutung von Quarkeffekten. Im
Einklang mit Gitter-QCD Rechnungen finden wir, daß die Wahl der Randbedingungen fu¨r die Quark-
feldereinenwesentlichenEinflußhat. EinVergleichunsererErgebnissemitentsprechendenResultaten
von chiraler St¨orungstheorie und Gitter-QCD-Rechnungen legt nahe, daß die Gr¨osse der heutzutage
verwendeten Gitter noch nicht ausreichend ist, als daß chirale St¨orungstheorie zur Extrapolation der
Resultate fu¨r Niederenergie-Observablen angewendet werden k¨onnte.
Phasenu¨berga¨nge in der QCD bei endlicher Temperatur und Dichte sind Gegenstand aktueller For-
schung. Einerseits untersuchen wir den chiralen Phasenu¨bergang bei endlicher Temperatur in end-
lichem und unendlichem Volumen mit Hilfe des Quark-Meson-Modells. Obwohl qualitativ richtig,
legenunsereErgebnissenahe,daßdasModelldieDynamikderQCDinderNa¨hedesPhasenu¨bergangs
nicht vollst¨andig erfaßt. Andererseits beschreiben wir chirale Symmetriebrechung durch Quarks und
Gluonen. HierzuberechnenwiedielaufendeQCD-Kopplungfu¨ralleSkalenundTemperaturen. Damit
bestimmenwirdannquantitativdiechiralePhasengrenzeinderEbenevonTemperaturundQuarkan-
¨zahl und finden gute Ubereinstimmung mit Gitter-QCD-Rechnungen.
Functional Renormalization Group Methods
in
Quantum Chromodynamics
Abstract
We apply functional Renormalization Group methods to Quantum Chromodynamics (QCD).
First we calculate the mass shift for the pion in a finite volume in the framework of the quark-meson
model. In particular, we investigate the importance of quark effects. As in lattice gauge theory, we
find that the choice of quark boundary conditions has a noticeable effect on the pion mass shift in
small volumes. A comparison of our results to chiral perturbation theory and lattice QCD suggests
that latticeQCDhasnotyetreachedvolumesizesforwhich chiralperturbationtheorycanbe applied
to extrapolate lattice results for low-energy observables.
PhasetransitionsinQCDatfinitetemperatureanddensityarecurrentlyveryactivelyresearched. We
study the chiral phase transition at finite temperature with two approaches. First, we compute the
phase transition temperature in infinite and in finite volume with the quark-meson model. Though
qualitatively correct, our results suggest that the model does not describe the dynamics of QCD
near the finite-temperature phase boundary accurately. Second, we study the approach to chiral
symmetry breaking in terms of quarks and gluons. We compute the running QCD coupling for all
temperatures and scales. We use this result to determine quantitatively the phase boundary in the
plane of temperature and number of quark flavors and find good agreement with lattice results.Contents
1 Challenges of Quantum Chromodynamics 1
2 Non-perturbative Methods in Quantum Field Theory 7
2.1 Why do we need non-perturbative methods? . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Lattice simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Dyson-Schwinger Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Non-perturbative RG methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Basic Ideas of the Renormalization Group . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 The Functional Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Generalized Proper-Time Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 QCD in Finite Volumes 37
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Chiral Perturbation Theory and Finite Volumes . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Finite Volume Effects in Lattice QCD Results . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 RG Flow Equations for the Quark-Meson Model . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 The Quark-Meson Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2 Derivation of the RG Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3 Numerical Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 RG Study of Finite-Volume Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 RG Flow in a Finite Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 Influence of the Quark Boundary Conditions . . . . . . . . . . . 58
3.5.3 Comparison to Chiral Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . 64
3.5.4 Comparison to Lattice QCD results . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Quark-Meson Model at Finite Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.1 Chiral Phase Transition Temperature in Infinite Volume . . . . 70
3.6.2 Chiral Phase Transition Temperature in Finite Volumes . . . . . 73
3.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 QCD at Finite Temperature 83
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Physical and Mathematical Aspects of QCD . . . . . . . . . . . . . . . 87
viiviii CONTENTS
4.3 The Background-Field Method and Non-Abelian Gauge Theories . . . . 92
4.4 RG Flow Equations in Background-Field Gauge . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 RG Flow of the Running Coupling at Finite Temperature . . . . . . . . 100
4.5.1 Truncated RG flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.2 Results for the Running Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.3 Dimensionally reduced high-temperature limit . . . . . . . . . . 108
4.6 Fermionic Interactions in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6.1 A Technical Introduction: The NJL Model . . . . . . . . . . . . 110
4.6.2 Chiral Quark Dynamics in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.7 The Chiral Phase Boundary of QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5 Summary and Outlook 133
A Notations and Conventions 137
A.1 Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2 Euclidean Space-Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2.1 Minkowski- and Euclidean Space-Time . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2.2 Quantum Field Theory and Statistical Physics . . . . . . . . . . 138
A.3 Abbreviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B Color Algebra 141
B.1 The Group SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141c
B.2 Color Traces for the Calculation of the Strong Coupling . . . . . . . . . 142
C Dirac Algebra and Fierz Identities 145
C.1 Clifford Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.2 Fierz Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
D Thermal Moments and Threshold Functions 149
D.1 Thermal Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
D.2 Threshold Functions for the Functional RG . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D.3 Threshold Functions for the Proper-Time RG . . . . . . . . . . . . . . 154
E Implementation of Explicit Symmetry Breaking 157
F One-Loop Calculation of the Meson Masses 159
G Computation of the Coupling Flow 163
G.1 Decomposition of the Inverse Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
nG.2 Flow Equations for the Operators (F F ) . . . . . . . . . . . . . . . 167ν ν
G.3 Resummation of the Anomalous Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 170
H Regulator Dependence from the Unstable Mode 175CONTENTS ix
I Heat-Bath Projectors for Finite Temperature and Density 177
The bibliography 179

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