Generalized-relative-entropy type distances between some branching processes and their diffusion limits [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Niels Bahne Kammerer

Generalized-Relative-Entropy Type Distances between someBranching Processes and their Diffusion LimitsDer Naturwissenschaftlichen Fakultätder Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-NürnbergzurErlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.vorgelegt vonNiels Bahne Kammereraus ErlangenAls Dissertation genehmigt von der Naturwissenschaftlichen Fakultätder Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergTag der mündlichen Prüfung: 23. Mai 2011Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Rainer FinkErstberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang StummerZweitberichterstatter: Prof. Dr. Andreas GrevenDanksagungenMein ganz besonderer Dank gilt meinem Doktorvater, Herrn Prof. Dr. Wolfgang Stummer, der es mirermöglichte, an diesem interdisziplinären Thema zu arbeiten. Während der gesamten Promotion betreuteer mich mit hohem Engagement. Dabei stand er mir auch mit Tipps und Ratschlägen über die wis-senschaftliche Arbeit hinaus zur Seite.Außerdem danke ich der Studienstiftungdes deutschen Volkes für die ideelle und finanzielle Unterstützungwährend des Promotionsstudiums.Niels KammererVerallgemeinerte Relative Entropiemaße für diverse Verzweigungsprozesseund deren DiffusionslimitenZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit berechnen wir exakte Werte bzw. Ober- und Unterschranken von Hellinger-Integralen undPotenz-Divergenzen –dieVerallgemeinerungenderrelativen Entropie konstituieren–zwis-chen zwei Mitgliedern einer fixierten Klasse K von stochastischen Prozessen.
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Generalized-Relative-Entropy Type Distances between some
Branching Processes and their Diffusion Limits
Der Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.
vorgelegt von
Niels Bahne Kammerer
aus ErlangenAls Dissertation genehmigt von der Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der mündlichen Prüfung: 23. Mai 2011
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Rainer Fink
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang Stummer
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Andreas GrevenDanksagungen
Mein ganz besonderer Dank gilt meinem Doktorvater, Herrn Prof. Dr. Wolfgang Stummer, der es mir
ermöglichte, an diesem interdisziplinären Thema zu arbeiten. Während der gesamten Promotion betreute
er mich mit hohem Engagement. Dabei stand er mir auch mit Tipps und Ratschlägen über die wis-
senschaftliche Arbeit hinaus zur Seite.
Außerdem danke ich der Studienstiftungdes deutschen Volkes für die ideelle und finanzielle Unterstützung
während des Promotionsstudiums.
Niels KammererVerallgemeinerte Relative Entropiemaße für diverse Verzweigungsprozesse
und deren Diffusionslimiten
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit berechnen wir exakte Werte bzw. Ober- und Unterschranken von Hellinger-
Integralen undPotenz-Divergenzen –dieVerallgemeinerungenderrelativen Entropie konstituieren–zwis-
chen zwei Mitgliedern einer fixierten Klasse K von stochastischen Prozessen. Des Weiteren vollführen
wirAnwendungenin Bezugauf die asymptotische Unterscheidbarkeit (contiguity, entireseparation)sowie
auf die Bayessche Entscheidungstheorie und die Neyman-Pearsonsche Testtheorie.
Im ersten Teil besteht K = K aus allen (zeit- und raum-diskreten) Poissonschen Galton-Watson-1
Verzweigungsprozessen ohne Immigration (GW)undmit Immigration (GWI),wobeiwiralleKritikalitäts-
typen zulassen. Im zweiten Teil ist K = K die Klasse aller (zeit- und raum-kontinuierlichen) Cox-2
Ingersoll-Ross Diffusionsprozesse (CIR), die auch unter dem Namen Feller-Quadratwurzel-Diffusion be-
kannt sind.
Unter anderem generieren wir auch Resultate für Folgen aus einer Teilklasse K ( K von GW(I)-3 1
Verzweigungsprozessen die gegen CIR-Diffusionsprozesse konvergieren; im Speziellen vergleichen wir die
gewonnenen (Schranken der) Grenzwert-Hellinger-Integrale, Grenzwert-Potenz-Divergenzen und Grenz-
wert-Relative-Entropien mit deren Analoga aus Klasse K .2Generalized-Relative-Entropy Type Distances between some
Branching Processes and their Diffusion Limits
Abstract
We derive exact values respectively bounds of Hellinger integrals and power divergences – which are gen-
eralizations of the relative entropy – between two members of some fixed class K of stochastic processes.
Furthermore, we give some applications to asymptotical distinguishability (contiguity, entire separation)
as well as to Bayesian decision making and Neyman-Pearson testing.
In the first part, K = K consists of all (discrete-time and discrete-space) Poissonian Galton-Watson1
branching processes without immigration (GW)andwith immigration (GWI),whereweallowforalltypes
of criticality. In the second part, K = K is the class of (continuous-time and continuous-space) Cox-2
Ingersoll-Ross-type (CIR) diffusion processes which are also known as Feller-square-root-type diffusions.
Moreover, we obtain results for sequences in a special subclass K ( K of GW(I) processes which3 1
converge to CIR processes; in particular, the outcoming (bounds of the) limit Hellinger integrals, limit
power divergences and limit relative entropies are compared with their counterparts within class K .2Contents
1. Introduction 3
2. Some Distances between Probability Measures 7
2.1. Hellinger Integrals, Power Divergences and Relative Entropy. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Some Applications of Hellinger Integrals to Statistics and Decisions . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Some Basic Statistical Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Bayesian Decision Making . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3. Neyman-Pearson Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4. Asymptotical Distinguishability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Some Distances between Galton-Watson Processes with Immigration 15
3.1. Introduction and basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Hellinger Integral of the GW(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Recursive Bounds of the Hellinger Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2. Detailed Discussion of the Recursive Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3. Closed-Form Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Power Divergences and Relative Entropy of the GW(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1. Detailed Discussion of Bounds of the Power Divergences . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2. Bounds of the Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4. Limits of Hellinger Integrals of GW(I) Diffusion Approximations . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5. Some Applications to Statistics and Decisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4. Some Distances between Cox-Ingersoll-Ross type Diffusion Processes 93
4.1. Introduction and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Hellinger Integral of the CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1. Bounds of the Hellinger Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.2. Detailed Discussion of Hellinger Integral Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3. Comparison with the GW(I) Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3. Power Divergences and Relative Entropy of the CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.1. Discussion of Bounds of the Power Divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.2. The Relative Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4. Some Applications to Statistics and Decisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1Contents
A. Auxiliary Material of Chapter 3 129
A.1. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.3. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.4. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B. Auxiliary Material of Chapter 4 177
B.1. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.2. Proofs and auxiliary Lemmata of Section 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
C. Examples and Figures 215
C.1. Examples and Figures concerning the GWI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
C.2. Examples and Figures concerning the CIR-Hellinger integral bounds . . . . . . . . . . . . 259
D. List of Symbols 269
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