Géométrie quantique dans les mousses de Spins : de la théorie topologique BF vers la relativité générale, Quantum geometry in Spin foams : from the topological BF theory towards general relativity

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Sous la direction de Carlo Rovelli
Thèse soutenue le 23 septembre 2010: Aix Marseille 2
La gravité quantique à boucles a fourni un cadre d’étude particulièrement bien adapté aux théories de jauge définies sans métrique fixe et invariante sous difféomorphismes. Les excitations fondamentales de cette quantification sont appelées réseaux de spins, et dans le contexte de la relativité générale donnent un sens à la géométrie quantique au niveau canonique. Les mousses de spins constituent une sorte d’intégrale de chemins adaptée aux réseaux de spins, et donc destinée à permettre le calcul des amplitudes de transition entre ces états. Cette quantification est particulièrement efficace pour les théories des champs topologiques, comme Yang-Mills 2d, la gravité 3d ou les théories BF, et des modèles ont aussi été proposés pour la gravité quantique en dimension 4.Nous discutons dans cette thèse différentes méthodes pour l’étude des modèles de mousses de spins.Nous présentons en particulier des relations de récurrence sur les amplitudes de mousses de spins. De manière générique, elles codent des symétries classiques au niveau quantique, et sont susceptible de permettre de faire le lien avec les contraintes hamiltoniennes. De telles relations s’interprètent naturellement en termes de déformations élémentaires sur des structures géométriques discrètes, telles que simplicielles. Une autre méthode intéressante consiste à explorer la façon dont on peut réécrire les modèles de mousses de spins comme des intégrales de chemins pour des systèmes de géométries sur réseau, en s’inspirant à la fois des modèles topologiques et du calcul de Regge. Cela aboutit à une vision très géométrique des modèles, et fournit des actions classiques sur réseau dont on étudie les points stationnaires.
-Relativité générale
-Théorie des champs topologiques
-Gravité quantique
-Mousse de spins
-Réseaux de spins
Loop quantum gravity has provided us with a canonical framework especially devised for back-ground independent and diffeomorphism invariant gauge field theories. In this quantization the funda-mental excitations are called spin network states, and in the context of general relativity, they give ameaning to quantum geometry. Spin foams are a sort of path integral for spin network states, supposed to enable the computations of transition amplitudes between these states. The spin foam quantization has proved very efficient for topological field theories, like 2d Yang-Mills, 3d gravity or BF theories. Different models have also been proposed for 4-dimensional quantum gravity.In this PhD manuscript, I discuss several methods to study spin foam models. In particular, I present some recurrence relations on spin foam amplitudes, which generically encode classical symme-tries at the quantum level, and are likely to help fill the gap with the Hamiltonian constraints. These relations can be naturally interpreted in terms of elementary deformations of discrete geometric struc-tures, like simplicial geometries. Another interesting method consists in exploring the way spin foam models can be written as path integrals for systems of geometries on a lattice, taking inspiration from topological models and Regge calculus. This leads to a very geometric view on spin foams, and gives classical action principles which are studied in details.
-General relativity
-Topological field theory
-Quantum gravity
-Spin networks
-Spin foams
Source: http://www.theses.fr/2010AIX22072/document
Publié le : jeudi 27 octobre 2011
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Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II
Faculté des Sciences
Thèse
Présentée par
Valentin Bonzom
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’université de la Méditerranée
École doctorale : Physique et Sciences de la matière
Spécialité : Physique des particules, Physique mathématique
Géométrie quantique dans les mousses
de spins
De la théorie topologique BF vers la relativité générale
Soutenue le 23 septembre 2010, devant la commission d'examen composée de
Mr Alejandro Perez Président du Jury
Mr Carlo Rovelli Directeur de thèse
Mr LaurentFreidel Rapporteur
Mlle Bianca Dittrich Rapporteur
Mr Etera Livine Examinateur23
Remerciements
C'est un grand plaisir de remercier l'ensemble des personnes que j'ai pu cotoyer et qui m'ont
entouré durant ces trois années.
Je doisremercieren premierlieu EteraLivine, qui fut mondirecteur ocieuxdurantune bonne partie
de la thèse : toujours disponible, toujours prêt à discuter tout sujet scientique et à proposer quatre
projets derecherchesimultanés! Jele remerciepour sonaideindispensable. Luiet CarloRovellim'ont
de plus laissé une totale liberté aussibien de penser que dans mon mode de travail.C'est quand même
agréable de faire ce que l'on a vraiment envie de faire!
Je remercie l'ensemble du CPT et du groupe de gravité quantique pour son accueil et son ambiance
collaborative, pêle-mêle Carlo, Francesca, Eugenio, Antonino, Claudio, Elena et Roberto, toujours
compréhensifs à l'heure des pauses café, et plus particulièrement Simone Speziale avec qui j'ai le
plaisir de travailler régulièrement, et dont l'aide me fut précieuse.
L'accueil fut toujourschaleureuxauprèsde BiancaDittrich et de Daniele Oriti,qui furent les premiers
à m'extirper de mon hermitage. J'espère pouvoir rendre un jour toutes les invitations que j'ai eu le
plaisirderecevoirdeleurpart.JeremercieaussiLaurentFreideletLeeSmolinpourleurenthousiasme
lors de ma visite hivernale.
Finalement, ça ne se voit pas sur les équations, mais trois ans de thèse, c'est trois ans dans la vie,
avec une implication quotidienne. Content, pas content, trois fois par jour. Une pensée profonde pour
celle qui m'a supporté tout en m'encourageant sans relâche!45
Résumé
Géométrie quantique dans les mousses de spins
De la théorie topologique BF vers la relativité générale
Lagravitéquantiqueàbouclesafourniun cadred'étude particulièrementbien adaptéauxthéories
dejaugedéniessansmétriquexeetinvariantesousdiéomorphismes.Lesexcitationsfondamentales
de cette quantication sont appelées réseaux de spins, et dans le contexte de la relativité générale
donnent un sens à la géométrie quantique au niveau canonique. Les mousses de spins constituent
une sorte d'intégrale de chemins adaptée aux réseaux de spins, et donc destinée à permettre le calcul
des amplitudes de transition entre ces états. Cette quantication est particulièrement ecace pour
les théories des champs topologiques, comme Yang-Mills 2d, la gravité 3d ou les théories BF, et des
modèles ont aussi été proposés pour la gravité quantique en dimension 4.
Nousdiscutonsdanscettethèsediérentesméthodespourl'étudedesmodèlesdemoussesdespins.
Nous présentons en particulier des relations de récurrence sur les amplitudes de mousses de spins. De
manière générique, elles codent des symétries classiques au niveau quantique, et sont susceptibles
de permettre de faire le lien avec les contraintes hamiltoniennes. De telles relations s'interprètent
naturellement en termes de déformationsélémentaires sur des structures géométriquesdiscrètes, telles
que simplicielles. Une autre méthode intéressante consiste à explorer la façon dont on peut réécrire
les modèles de mousses de spins comme des intégrales de chemins pour des systèmes de géométries
sur réseau, en s'inspirant à la fois des modèles topologiques et du calcul de Regge. Cela aboutit à une
vision très géométrique des modèles, et fournit des actions classiques sur réseau dont on étudie les
points stationnaires.
Mots clé : relativité générale,théorie des champstopologique, gravitéquantique, moussesde spins,
réseaux de spins.
Quantum geometry in spin foams
From the topological BF theory towards general relativity
Loop quantum gravity has provided us with a canonical framework especially devised for back-
groundindependent and dieomorphism invariantgaugeeldtheories.In this quantizationthe funda-
mental excitations are called spin network states, and in the context of general relativity, they give a
meaningtoquantumgeometry.Spinfoamsareasortofpathintegralforspinnetworkstates,supposed
to enable the computations of transition amplitudes between these states. The spin foam quantization
has proved very ecient for topological eld theories, like 2d Yang-Mills, 3d gravity or BF theories.
Dierent models have also been proposed for 4-dimensional quantum gravity.
In this PhD manuscript, I discuss several methods to study spin foam models. In particular, I
present some recurrence relationson spin foam amplitudes, which generically encode classicalsymme-
tries at the quantum level, and are likely to help ll the gap with the Hamiltonian constraints. These
relationscan be naturallyinterpreted in terms of elementarydeformationsof discrete geometricstruc-
tures, like simplicial geometries. Another interesting method consists in exploring the way spin foam
models can be written as path integrals for systems of geometries on a lattice, taking inspiration from
topological models and Regge calculus. This leads to a very geometric view on spin foams, and gives
classical action principles which are studied in details.
Keywords: general relativity, topological eld theory, quantum gravity,spin networks, spin foams.
Centre de Physique Théorique de Luminy - UMR 62076Table des matières
Introduction 11
I Théorie BF et relativité générale classiques 17
1 Théorie BF 19
1.1 Équations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 En dimensions 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Relativité générale à la Palatini et Plebanski 25
2.1 L'action de Holst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 L'action de Plebanski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Calcul de Regge 29
II Géométrie dans l’approche canonique 33
4 Description hamiltonienne 35
4.1 Théorie BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Relativité générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Quantifier des théories de jauge 43
5.1 Les réseaux de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Opérateurs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Géométrie quantique : Aires, volumes, longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.2 Le tétraèdre quantique et les opérateurs d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Géométries sur un graphe fixé 55
6.1 Géométries tordues et à la Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 La contrainte de courbure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Contraintes hamiltoniennes en calcul de Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III Les mousses de spins : introduction et premiers calculs 69
7 Les mousses de spins 71
7.1 Dynamique des réseaux de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2 Modèle pour la théorie BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2.1 En deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 TABLE DES MATIÈRES
7.2.2 Modèle de Ponzano-Regge, en 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.3 Modèle d'Ooguri, en 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Calculer avec les mousses de spins 87
8.1 Les fonctions de corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Corrélations entre deux longueurs dans un modèle en 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.2 Développement asymptotique aux grandes distances . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Développement asymptotique du 6j isocèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
IV Contraintes hamiltoniennes et relations de récurrence 105
9 Contrainte hamiltonienne sur le 6j : mouvement de Pachner 2-3 111
9.1 Le 6j comme état physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 L'identité de Biedenharn-Elliott et la contrainte hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . 112
10 Invariance topologique et relations de récurrence en 4d 115
10.1 Relations entre les symboles 3nj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Par le mouvement de Pachner 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2.1 Régularisation du mouvement 4-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.2.2 Choix des données de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.2.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.2.4 Les formules pour diérents cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Contrainte hamiltonienne et mouvement « tente » en 3d 129
11.1 Contrainte hamiltonienne sur le 6j : mouvement de Pachner 1-4 . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Interprétation comme mouvement tente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.3 Mouvements tente pour des sommets de valences quelconques . . . . . . . . . . . . 133
12 Une relation non-topologique pour le 6j isocèle 137
12.1 Lien avec l'identité de Biedenharn-Elliott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
V Modèles de mousses de spins pour la gravité quantique 141
13 De la théorie BF discrète au calcul de Regge 143
13.1 Formulation classique sur réseau et contraintes de simplicité . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.2 La géométrie à partir des bivecteurs et des normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.3 Sur le collage des simplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.4 Traduction en calcul de Regge aires-angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14 Modèles pour la gravité quantique 157
14.1 La quantication de Engle-Pereira-Rovelli-Livine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.2 La quantication de Freidel-Krasnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.3 Résumé des diérents modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.3.1 En langage mousses de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.3.2 Avec des intégrales plutôt que des sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
15 Simplicité d’un seul bivecteur et représentations simples de Spin(4) 169TABLE DES MATIÈRES 9
16 Le modèle de Barrett-Crane 175
16.1 Une action discrète pour le modèle BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
16.2 Quelques généralisations : de l'importance des amplitudes des tétraèdres et triangles . 180
16.2.1 Le secteur non-géométrique et les représentations simples de Spin(4) . . . . . . 180
16.2.2 Apparition des coecients de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
16.3 Le modèle BC au niveau classique : problème de collage . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.4 Une relation de récurrence sur l'amplitude du 4-simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.4.1 De la matrice de Gram à la relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 185
16.4.2 La relation de récurrence comme contrainte de fermeture . . . . . . . . . . . . 187
16.4.3 Invariance sous des mouvements géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.5 Conclusion sur le modèle BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
17 Intégrales sur les géométries du réseau : le modèle EPR/FK 193
17.1 Retour sur les modèles topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
17.1.1 L'action en variables aires - angles dihédraux . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
17.1.2 Calcul de l'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
17.1.3 Insertions d'observables géométriques locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
17.2 Action discrète pour les nouveaux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
17.2.1 Action de transport parallèle pour le collage des simplexes . . . . . . . . . . . . 202
17.2.2 Action de Regge avec paramètre d'Immirzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
17.2.3 Les géométries stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
17.3 Calcul de l'intégrale de chemins sur la triangulation en mousses de spins . . . . . . . . 208
17.3.1 Pour les nouveaux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
17.3.2 Avec un collage générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Conclusion 213
A Appendice 21710 TABLE DES MATIÈRES

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