Higher order functionals and regularity [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Sabine Schemm

Higher order functionals and regularityDer Naturwissenschaftlichen Fakultat¨¨ ¨der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-NurnbergzurErlangung des Doktorgradesvorgelegt vonSabine Schemmaus Nurnber¨ gAls Dissertation genehmigt von derNaturwissenschaftlichen Fakultat¨ der Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ gTag der mundlichen¨ Prufung:¨ 21. Juli 2009Vorsitzender derPromotionskommission: Prof. Dr. Eberhard Bansch¨Erstberichterstatter: Prof. Dr. Frank DuzaarZweitberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang BorchersDrittberichterstatter: Prof. Dr. Giuseppe Mingione(Parma, Italien)ZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit der Regualritatstheorie¨ fur¨ Funktionalem;p Nhoherer¨ Ordnung. Wir betrachten Minimierer u2 W (W; ), 1< p<¥, allgemeinerVariationsintegrale der FormZmF(u)= F(x;du;D u)dx; (0-1)Wnwobei W , n 2, ein beschranktes¨ Gebiet ist und du alle Ableitungen von u bis zurm 1Ordnung m 1 enthalt,¨ d. h. du :=(u;Du:::;D u). An den Integranden F stellen wirubliche¨ Stetigkeits-, Wachtums,- und Konvexitatsbedingungen.¨Unser Ziel ist es fur¨ Minimierer solcher Funktionale eine moglichst¨ umfassende Regu-laritatstheorie¨ zu entwickeln.Teil I: Regularitatstheorie fur Minimierer quasikonvexer FunktionaleIn Teil I behandeln wir FunktionaleF, deren Integrand F gleichmaßig¨ strikt quasikonvex istund verschiedene Wachstumsbedigungen erfullt.¨Zunachst¨ fordern wir, dass F einer Standard-Wachstumsbedingung genugt,¨ d. h.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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Higher order functionals and regularity
Der Naturwissenschaftlichen Fakultat¨
¨ ¨der Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen-Nurnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Sabine Schemm
aus Nurnber¨ gAls Dissertation genehmigt von der
Naturwissenschaftlichen Fakultat¨ der Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ g
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 21. Juli 2009
Vorsitzender der
Promotionskommission: Prof. Dr. Eberhard Bansch¨
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Frank Duzaar
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Wolfgang Borchers
Drittberichterstatter: Prof. Dr. Giuseppe Mingione
(Parma, Italien)Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit der Regualritatstheorie¨ fur¨ Funktionale
m;p Nhoherer¨ Ordnung. Wir betrachten Minimierer u2 W (W; ), 1< p<¥, allgemeiner
Variationsintegrale der Form
Z
mF(u)= F(x;du;D u)dx; (0-1)
W
nwobei W , n 2, ein beschranktes¨ Gebiet ist und du alle Ableitungen von u bis zur
m 1Ordnung m 1 enthalt,¨ d. h. du :=(u;Du:::;D u). An den Integranden F stellen wir
ubliche¨ Stetigkeits-, Wachtums,- und Konvexitatsbedingungen.¨
Unser Ziel ist es fur¨ Minimierer solcher Funktionale eine moglichst¨ umfassende Regu-
laritatstheorie¨ zu entwickeln.
Teil I: Regularitatstheorie fur Minimierer quasikonvexer Funktionale
In Teil I behandeln wir FunktionaleF, deren Integrand F gleichmaßig¨ strikt quasikonvex ist
und verschiedene Wachstumsbedigungen erfullt.¨
Zunachst¨ fordern wir, dass F einer Standard-Wachstumsbedingung genugt,¨ d. h.
p p
njzj F(x;y;z) L(1+jzj ) (0-2)
fur¨ alle x, y, z, wobei 0<n L. Daruber¨ hinaus nehmen wir an, dass F ubliche¨ Stetigkeits-
bedingungen erfullt,¨ genauer gesagt sei F zweimal stetig differenzierbar bezuglich¨ z und
Holderstetig¨ mit Exponent a bezuglich¨ (x;y). Unter diesen Bedingungen erhalten wir das
m;p Nfolgende partielle Regularitatsresultat:¨ Sei u2 W (W; ) ein w-Minimierer des Funk-
tionalsF. Dann existiert eine offene Menge W W mit vollem Lebesgue Maß, so dassu
am; N2u2 C (W ; ).uloc
m;¥ NSetzen wir zusatzlich¨ voraus, dass u2 W (W; ), so konnen¨ wir die Abschatzung¨ fur¨
die singulare¨ MengeWnW verbessern. Wir konnen¨ zeigen, dass ihre Hausdorff Dimensionu
echt kleiner n ist, d. h.
dim (WnW ) n d; (0-3)H u
m;¥wobei d > 0 von den Strukturkonstanten von F und einer Schranke an die NormkukW
abhangt.¨
Außerdem untersuchen wir FunktionaleF, die allgemeineren Wachstumsbedingungen ge-
nugen.¨ Genauer gesagt betrachten wir Variationsintegrale der Form
Z
mF(u)= F(D u)dx
W
iii
RRRRRfur¨ die folgende(p;q)-Wachstumsbedingung gilt:
p q
njzj F(z) L(1+jzj );

1 2n 1 m;p Nwobei p q< min p+ ; p . Fur¨ Minimierer u2 W (W; ) vonF erhalten wir
n 2n 2
ahnliche¨ Regularitatsaussagen¨ wie im Falle von Standard-Wachstum: Es existiert eine offen
n m;s NMengeW W mitL (WnW )= 0, so dass u2 C (W ; ) fur¨ jedess2(0;1).u u u
m;¥ NUnter der zusatzlichen¨ Annahme, dass u2 W (W; ), erhalten wir auch hier die Ab-
schatung¨ (0-3) fur¨ die Dimension der singularen¨ Menge.
Teil II: Die singulare Menge von Minimierern konvexer Funktionale
In Teil II dieser Arbeit fordern wir, dass der Integrand F anstelle der Quasikonvexitats-¨
bedingung die stark¨ ere Konvexitatsbedingung¨ erfullt.¨ Dies ermoglicht¨ uns bessere Abschat-¨
zungen fur¨ die Dimension der singularen¨ Menge herzuleiten.
Zunachst¨ betrachten wir konvexe Funktionale mit Integranden F(z) F(x;y;z), die nur
mvon der hochsten¨ Ableitung D u abangen,¨ d. h. Funktionale der Form
Z
mF(u)= F(D u)dx:
W
2Wir nehmen an, dass F von der Klasse C ist und eine Standard-Wachstumsbedingung erfullt¨
a(vgl. (0-2)). Fur¨ w-Minimierer vonF (mitw(t) Lt ) leiten wir folgende Abschatzungen¨
fur¨ die Hausdorff Dimension ihrer singularen¨ MengenWnW her: Wenn wir keine Wachs-u
2tumsbedingung an D F annehmen so gilt
2a
dim (WnW ) n ;H u
2+a
p 22 2 2
2wohingegen wir unter der BedingunghD F(z)l;li L(1+jzj ) jlj zeigen konnen,¨ dass
dim (WnW ) n minf2;ag:uH
¨Ahnliche Abschatzungen¨ lassen sich fur¨ Minimierer der allgemeinen Funktionale aus
(0-1) herleiten. Wir nehmen zusatzlich¨ zu den Konvexitats-¨ und Wachstumsbedingungen
an, dass F(x;y;z) Holderstetig¨ mit Exponent a ist bezuglich¨ der Variablen (x;y). Fordern
wir keine Wachstumsbedingung an D F, dann lasst¨ sich die Hausdorff Dimension der sin-zz
gularen¨ Menge abschatzen¨ durch
2s
dim (WnW ) n ; s = minfa;q pg;H u
2+s
mwobei q> p der hohere¨ Integrierbarkeits-Exponent von D u ist, dessen Existenz wir aus dem
Gehring-Lemma erhalten. Nehmen wir an, dass D F eine Wachstumsbedingung erfullt,¨ sozz
erhalten wir die Abschatzung¨
dim (WnW ) n s; (0-4)H u
Im quadratischen Fall (p = 2) konnen¨ wir Abschatzung¨ (0-4) noch verbessern, indem
wir die folgenden globalen Calderon-Zygmund´ Abschatzungen¨ herleiten: Fur¨ schwache
iv
RRRm;2 N m mLosungen¨ v2 W (B ; ) elliptischer Systeme in Divergenzform div A(D v)= 0 mitR
2nm;q NRandwerten g2 W (B ; ), 2 q giltR n 2
Z Z
m q m qjD vj dx jD gj dx:
B BR R
Desweiteren beweisen wir in niedrigen Dimensionen n2(p; p+ 2] fur¨ Minimierer u2
m;p NW (W; ) vonF Morrey Abschatzungen.¨
v
RRRAbstract
The present work covers the regularity theory for functionals of higher order. We consider
m;p Nminimizers u2 W (W; ), 1< p<¥, of general variational integrals of the form
Z
mF(u)= F(x;du;D u)dx; (0-5)
W
nwhereW , n 2, is a bounded domain anddu contains all derivatives of u up to order
m 1m 1, i. e. du :=(u;Du:::;D u). On the integrand F we impose standard continuity,
growth and convexity conditions.
Our aim is to develop a regularity theory for minimizers of these functionals as compre-
hensive as possible.
Part I: Regularity theory for minima of quasiconvex functionals
In Part I we consider functionalsF whose integrand F is uniformely strictly quasiconvex
and satisfies various growth conditions.
We first require that the integrand F satisfies a standard growth condition, i. e.
p pnjzj F(x;y;z) L(1+jzj ) (0-6)
for all x, y, z, where 0<n L. If we further suppose that F is twice continuously differ-
entiable with respect to z and Holder¨ continuous with exponent a with respect to (x;y) we
m;p Nobtain the following partial regularity result: Let u2 W (W; ) be an w-minimizer of
the functionalF under the above assumptions. Then there exists an open setW W of fullu
am;
2 NLebesgue measure such that u2 C (W ; ).uloc
m;¥ nAssuming additionally that u2 W (W; ) we can show a better estimate on the size of
the singular setWnW . In fact we then get thatu
dim (WnW ) n d; (0-7)H u
m;¥whered > 0 depends on the structure constants of F and a bound on the normkuk .W
Next, we turn to functionalsF with non-standard growth. More precisely we consider
variational integrals of the form
Z
mF(u)= F(D u)dx
W
where F fulfills the(p;q)-growth condition
p qnjzj F(z) L(1+jzj );
vii
RRRRR
1 2n 1with p q< min p+ ; p . For minimizers ofF we get similar results to the case
n 2n 2
nof standard growth: There exists an open set W W withL (WnW )= 0 such that u2u u
m;s NC (W ; ) for everys2(0;1).u
m;¥ NIf we further suppose that u2 W (W; ) we get also here estimate (0-7) for the dimen-
sion of the singular set.
Part II: The singular set of minima of convex functionals
In Part II we impose on the integrand F instead of the quasiconvexity condition the stronger
convexity condition. This allows us to show better estimates for the Hausdorff dimension of
the singular set.
We consider convex functionals with integrands F(z) F(x;y;z) only depending on the
mhighest derivative D u, i. e. functionals of the form
Z
mF(u)= F(D u)dx:
W
2We assume that F is of class C and satisfies a standard growth condition (cf. (0-6)). Then for
aw-minimizers ofF (withw(t) Lt ) we provide the following estimates for the Hausdorff
2dimension of their singular setWnW : If D F fulfills no growth condition we obtainu
2a
dim (WnW ) n ;H u
2+a
p 2
2 2 2
2whereas we get under the assumptionhD F(z)l;li L(1+jzj ) jlj that
dim (WnW ) n minf2;ag:H u
For minimizers of the general functionals in (0-5) we get similar results. We assume
¨additionally to the convexity and p-growth conditions that F(x;y;z) is Holder continuous
with exponent a in the variables (x;y). If we impose no growth condition on D F thezz
singular set has Hausdorff dimension
2s
dim (WnW ) n ; s = minfa;q pg;H u
2+s
mwhere q> p is the higher integrability exponent of D u whose existence is obtained from
Gehring’s Lemma. If we assume that D F satisfies a growth condition we getzz
dim (WnW ) n s; (0-8)H u
In the quadratic case (p= 2) we can further improve estimate (0-8) by deriving global
m;2 Nestimates of Calderon-Zygmund´ type: For a weak solution v2 W (B ; ) of an ellipticR
m m m;q Nsystem in divergence form div A(D v)= 0 with boundary data g2 W (B ; ), 2 qR
2n qwe get the following up-to the boundary L -estimate
n 2
Z Z
m q m qjD vj dx jD gj dx:
B BR R
Moreover, in low dimensions n2(p; p+ 2] we prove Morrey-type estimates for minimiz-
m;p Ners u2 W (W; ) ofF.
viii
RRRRRContents
1. Introduction 1
1.1. State of research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Contribution of the present thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Notation 13
I. Regularity theory for minima of quasiconvex functionals 15
3. Overview 17
4. (A;m)-harmonic approximation 19
4.1. A priori estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. (A;m)-harmonic Approximation Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Functionals with standard growth 29
5.1. Hypotheses and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2. Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3. Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1. A general Caccioppoli-type inequality . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2. A higher integrability result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4. Partial Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.1. Caccioppoli Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4.2. ApproximateA-harmonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.3. Proof of Theorem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5. Singular Set of Lipschitz minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.1. Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.2. Ane-regularity result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5.3. A Carleson condition for the excess . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.4. Proof of Theorem 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.5. An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6. Functionals with (p;q)-growth 77
6.1. Hypotheses and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3. Partial Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.1. Trace preserving operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
ixContents
6.3.2. Caccioppoli Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.3. ApproximateA-harmonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.4. Proof of Theorem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4. Singular Set of Lipschitz minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
II. The singular set of minima of convex functionals 97
7. Overview 99
8. Preliminary results 101
8.1. Solutions of elliptic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.1.1. A Caccioppoli inequality for the interior . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.1.2. A for the boundary . . . . . . . . . . . . . . 111
8.1.3. Morrey-type estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2. Minima of convex functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2.1. An approximation result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.2. Estimates for a comparison map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9. The singular set 135
9.1. Hypotheses and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2. Singular Set ofw-minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2.1. A comparison estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
m9.2.2. A Fractional for V(D u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2.3. Proof of Theorems 9.4 and 9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3. Singular Set of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3.1. Higher integrability results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3.2. Comparison estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
m9.3.3. A Fractional estimate for V(D u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3.4. Proof of Theorems 9.8 and 9.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.Calder on-Zygmund estimates for p= 2 163
10.1. Hypotheses and statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2. Preliminaries and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.3. Proof of Theorem 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.3.1. Covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.3.2. Estimates at the boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.3. in the interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.3.4. Estimate on B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.Morrey type estimates 191
11.1. Hypotheses and statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.2. Proof of Theorem 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
x

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