Inégalités géométriques et fonctionnelles, Geometric and Functional Inequalities

De
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Sous la direction de Bernard Maurey
Thèse soutenue le 03 décembre 2008: Paris Est
La majeure partie de cette thèse est consacrée à l'inégalité de Blaschke-Santaló, qui s'énonce ainsi : parmi les ensembles symétriques, la boule euclidienne maximise le produit vol(K) vol(K°), K° désignant le polaire de K. Il existe des versions fonctionnelles de cette inégalité, découvertes par plusieurs auteurs (Ball, Artstein, Klartag, Milman, Fradelizi, Meyer. . .), mais elles sont toutes dérivées de l'inégalité ensembliste. L'objet de cette thèse est de proposer des démonstrations directes de ces inégalités fonctionnelles. On obtient ainsi de nouvelles preuves de l'inégalité de Santaló, parfois très simples. La dernière partie est un peu à part et concerne le chaos gaussien : on démontre une majoration précise des moments du chaos gaussien due à Lataªa par des arguments de chaînage à la Talagrand
-Analyse fonctionnelle
-Inégalités (mathématiques)
-Ensembles convexes
-Processus gaussiens
This thesis is mostly about the Blaschke-Santaló inequality, which states that among symmetric sets, the Euclidean ball maximises the product vol(K) vol(K°), where K° is the polar body of K. Several authors (Ball, Artstein, Klartag, Milman, Fradelizi, Meyer. . .) were able to derive functional inequalities from this inequality. The purpose of this thesis is to give direct proofs of these functional Santaló inequalities. This provides new proofs of Santaló, some of which are very simple. The last chapter is about Gaussian chaoses. We obtain a sharp bound for moments of Gaussian chaoses due to Lataªa, using the generic chaining of Talagrand
-Functional analysis
-Inequalities
-Convex geometry
-Gaussian processes
Source: http://www.theses.fr/2008PEST0231/document
Publié le : vendredi 28 octobre 2011
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tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010authors
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Résumé.
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K
◦ ◦vol(K)vol(K ) K K
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010.
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.
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68
.
Démonstration
.
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m
La
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les
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q
o
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,
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ou
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n
R

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n
R
1 1 1
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n n
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A
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n nvol (A+ B )≥ vol (A) +vol (B )n n n2 2
n= vol (D + B ),n 2
> 0
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a b

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A B
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010la
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t
si
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,
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est
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e
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inégalité
D'après
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.
démonstration
vraie
cette
en
par
dimension
sur
,
dimen-
on
S
iden
p
A
telle
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p
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faire
à
omme
.
P
P
homogénéité,
our
p
et
dans
,
de
on
croissan
p
une
osons
il
P
auquel
.
P
ose
supp
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nx y R
λ 1−λ
f λx+(1−λ)y ≥f (x) f (y) .3 1 2
Z Z Z
λ 1−λ
f ≥ f f .3 1 2
n n n
R R R
A B λA+(1−λ)B
n = 1
R R
f = f = 1 x R R1 2
R R
t
Z Zx(t) t
f (s)ds = f (s)ds.1 2
−∞ 0
0x x(t)f (x(t)) = f (t)1 2
z(t) = λx(t)+(1−λ)t
0 0z (t) =λx(t)+(1−λ)
0 λ λ −λ≥x(t) =f (t) f (x) .2 1
Z Z
0f ≥ f (z(t))z (t)dt3 3
R R+
Z
λ 1−λ λ −λ≥ f (x) f (t) f (t) f (x)1 2 2 1
R
Z
= f = 1,2
R
x
nn− 1 R
n−1 n−1
R ×R x∈R i = 1,2,3 (f ) : t7→f (x,t)i x i
Z
n−1F : x∈R 7→ f (x,t)dt.i i
R
tel-00365744, version 2 - 31 Mar 2010ose
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p
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k
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a
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vériant
dèle
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p
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.
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Soient
son
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le
taló
taló
San
La
de
le
fonctionnelle
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unn-Mi
V
wski-Lusternik
Ball.
cas
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égalité
de
;
résultat
tre
le
t
Énonçons
On
[11].
ce
er
our
Mey
géométrique
et
a
radelizi
général.
F
,
encore
de
ou
par
[2]
à
Milman
les
et
hk
Klartag
est
Artstein,
alors
[3],
en
Ball
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Keith
de
à
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En
Soit
appliquan
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t
sur
l'i
rep
n
San
é
démonstration
galité
ce
réelle
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on
résultat
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F
t
L'inégalité
dues
Br
inégalité,
n
cette
o
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est
fonctionnelles
un
ersions
particulier
v
l'in-
plusieurs
de
existe
opa-Leindler
Il
laquelle
[20].
démon
jor
très
a
n
P
par
et
rence.
r
v
e
copier
Mey
mo
par
p
puis
une
[25],
inégalité
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par
Soit
depuis
cas
ées
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D'après
le
l'h
olaire
yp
p
othèse
déni
de
[26]
récurrence,
San
il
et
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dimensions
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Blasc
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on
résultat
sation,
(3)
symétri-
,
de
que
ts
masse
argumen
e
des
c
par
ayant
simples,
.
plus
de
démonstrations
hk
Des
taló.
ariations.
c
v
c
des
e-San
calcul
Fixons
n−1x,y R s,t
λ 1−λ(f ) (λs+(1−λ)t)≥ (f ) (s) (f ) (t) ,3 λx+(1−λ)y 1 x 2 y
λ 1−λF (λx+(1−λ)y)≥F (x) F (y) .3 1 2
Z Z Z
λ 1−λ
F ≥ F F3 1 2
n−1 n−1 n−1
R R R
nK⊂R K
◦ nK ={x∈R |∀y∈K, x·y≤ 1}.
◦n nB = B2 2
nK R
0
◦ n 2vol (K)vol (K )≤ vol (B ) .n n n 2
2 3
nf,g:R →R+
ρ:R →R x,y x·y≥ 0+ +
√ 2f(x)g(y)≤ρ( x·y)
f
Z Z Z 2
f g≤ ρ(|x|)dx .
n n n
R R R
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t
même
ar
norme
e

xemple,
résultat,
si
.
9
hk
que
est
tel
Legendre
existe
en
,
e,
l
trer
qu'i
s'écrit
trer
eet,
mon
elle
de
alen
et
érian
sut
l
il
Le
faire,
obtien
e
n
c
est
our
que
,
est
alors
p
(
particulier,
4
P
)
v
est
le
clairemen
retrouv
t
Cette
vraie,
manière
ce
par
qui
et
mon
fonction
tre
tre
que
transformée
l'inéga
barycen
lité
our
de
et
Keith
olaire
Ball
t
implique
en
l'inégalité
particulier
de
log-conca
San-
t
taló
ce
p
on
our
.
les
de
ensem
L'inégal
bles
ce
symé
de
t
:
rique
paire,
s.
et
Artstein,
un
Klartag
symétrique.
et
taló
Milman
r
s'in
d
téressen
p
t
asso
au
De
cas
équiv
P
te
vraie.
déni
soit
,
qu'elle
t
our
v
p
,
en
d'une
soit
est
de
a
tre
de
,
de
qui
:
p
.
ousse
p
à
de
in
t
tr
on
o
p
duire
et
la
tégran
notion
i
de
car
p
En
olarité
le
suiv
est
an
v
te.
e
Si
remarquons
barycen
qui
est
donc
une
obtien
foncti
symétrique
on
Si
p
que
ositiv
mon
e,
ermet
sa
ité
p
ciée.
olaire
Dans
est
cas
dénie
l'inégalité
par
Ball
le
ainsi
que
si
sut
est
qu'il
alors
t
la
tren
exe
démon
con
Ils
soit
(6).
En
l'inégalité
cas
de
dans
non-symétrique
e-San
cas
Blasc
au
e
t
e
téressen
aussi
s'in
ermet
[2]
inégalité
de
(6)
auteurs
Les
f = 1 g = 1 ◦ ρ = 1K K [0,1]
2
t−
2ρ(t) = e
f
−x·ye◦f :x7→ inf .
ny∈R f(y)
◦−φ −Lφe = e Lφ
φ

Lφ(x) = sup x·y−φ(y) .
ny∈R
1 12 ◦ 2◦ − |x| − |x|
2 2f e = e
f
Z Z Z
1 2 2◦ − |x| n
2f f ≤ e dx = (2π) .
n n n
R R R
K NK
1 2 1 2
◦ ◦x·y≤N (x)N (y)≤ N (x) + N (y)K K K K2 2
11 2 ◦ 2− N − N ◦K2 2 Ke = e K
Z Z
1 2 1 2− N − N n◦2 K 2 Ke e ≤ (2π)
n n
R R
1 2− Nk21 eK
Z
1 2 n vol (K)n− N
2 K 2e = (2π)
nvol (B )n nR 2
◦K
R R
f 0 < f <∞ |x|f(x)dx <∞
R
f(x)xdx
Rbar(f) = .
f(x)dx
◦f 0
nz∈R
Z Z
◦ nf (f ) ≤ (2π) ,z z
n n
R R
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).
utilisera
p
fonction
osan
enne
t
l'in-
10
se
t
hapitres
vien
e-San
il
de
inégalités,
démon
deux
(c'est-à
ces
les
t
aux
additionnan
asso
En
toutes
e
mais
.
pas
En
our
e
b

radelizi
e
v
t,
dans
comme
n'imp
trouv
articles
on
t
te
soit
précéden
niv

à
l'inégali
fonction.
fois
3,
deux
v
t
les
appliquan
dire
En
l'inégalité
(4).
ou
t
mo
érian
opa-Leindler
v
l'iné
et
our
t
Enn
,
Mey
en
t
m
non-symétrique
ulti-
de
plian
cas
t
p
l'inégalité
quel
n
ces
Soie
2,
taló.
es
San
e
de
bliste
l'inégalité
l'appliquan
et
bles
inégalité
de
cette
,
tre
ensem
par
à
en
les
lien
2
le
démon
Donnons
inégalités,
8].
des
et
simples
en
es
in
directes,

faisan
gran
el
t
Blasc
en
inégalité
[3,
géométrique,
il
y
vien
la
t
p
oir
Prék
v
galité
eut
eaucoup
p
p
on
tout
applications,
.
et
F
ons
et
i
er
monstrat
tren
é
une
d
ersion
d'autres
de
our
égalité
P
Ball,
.
le
c
général
e
dire
v
our
a
orte
,
On
à
Dans
opa
trois
Prék
[3,
t
11],
appliquan
preuv
n
utilisen
e
l'inégalité
t
n
s'obtien
m-
inégalité
(3),
Cette
en
lors
t
A
ensem
.
de
tous
eau
our
la
p
taló.
Si
soit
vériant
d'autres
Soient
bles
logarithmique.
ciés
opa-Leindler
la
Prék
Dans
de
c
Inégalité
1,
,
et
le
on
dernier
tre
terme
ces
e
a
st
ec
n
preuv
ul
plus
et
que
on
preuv
obtien
originelles,
t
surtout
.
c'est-à
[6]
ne
Borell
t
à
app
due
à
logarithmique,
de
opa-Leindler
hk
Prék
de
en
◦ ◦ z·yf : x7→ f(x+z) (f ) (y) = f (y)ez z
y·z ◦1≤ e −y·z f (y) y
Z Z Z
◦ ◦ ◦f (y)dy≤ (f ) (y)dy− (y·z)f (y)dy.z
n n n
R R R
◦bar(f ) = 0
Z Z Z Z
◦ ◦f f ≤ (f ) (f )z z
n n n n
R R R R
z
ρ
f
g ,g ,g :R →1 2 3 +√
2
R g (s)g (t)≤g ( st) s,t∈R+ 1 2 3 +
Z Z Z
2
g g ≤ g .1 2 3
R R R+ + +
f ,f ,f f (x) =1 2 3 i
x xg (e )ei
f,g:R→
R ρ:R →R+ +
Z Z Z
2
f g≤ ρ
R R R+ + +
Z Z Z
2
f g≤ ρ .
R R R− − +
Z Z Z
1 2
f g≤ ρ(|t|)dt
4θ(1−θ)
R R R
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