Instabilités thermoconvectives pour des fluides viscoplastiques, Thermoconvective instabilities for viscoplastic fluids

De
Publié par

Sous la direction de Cherif Nouar
Thèse soutenue le 08 décembre 2006: INPL
La stabilité de l'écoulement de Poiseuille Rayleigh-Bénard pour des fluides à seuil à été examinée via des approches linéaires, faiblement non linéaire et non linéaire. Ces fluides sont présents dans plusieurs procédés industriels et à plus grande échelle en géophysique. Le comportement rhéologique du fluide est supposé être décrit par le modèle de Bingham. Ce modèle suppose que lorsque la contrainte appliquée au matériau est inférieure à la contrainte seuil, le matériau se déplace comme un solide indéformable. Au-delà de la contrainte seuil, le matériau se comporte comme un fluide visqueux. L'objet de cette étude est de comprendre l'influence de la contrainte seuil sur les conditions de stabilité. Celle-ci se manifeste à travers la modification de l'épaisseur de la zone cisaillée, la stratification de la viscosité dans cette zone et la modification de la dissipation. Une difficulté fondamentale liée à ce problème réside dans le traitement de l'interface séparant les phases ``sol-gel . Dans un premier temps, une analyse linéaire de stabilité avec des approches modale et énergétique a été conduite. Les résultats mettent clairement en évidence l'effet stabilisant de la contrainte seuil. Ensuite, une analyse faiblement non linéaire a été abordée pour qualifier la nature de la bifurcation. Des résultats originaux ont été obtenus et montrent un changement de la nature de la bifurcation pour un nombre de Péclet . Ceci est une conséquence de la forte stratification de la viscosité. Finalement, une analyse non linéaire de stabilité a été réalisée à partir d'une équation du type Reynolds-Orr. Le comportement des conditions critiques en fonction de la contrainte seuil a été déterminé.
-Fluides à seuil
-Structures thermoconvectives
-Rhéologie
-Analyses de stabilité
The stability of the Poiseuille Rayleigh-Bénard flow for yield stress fluids is performed via linear, weakly non linear and non linear approaches. These fluids are widely used in industrial processes and at a larger scale in geophysics. It is assumed that the rheological behaviour of the material is described by the Bingham model. This model assumes that the material moves as a rigid solid when the applied stress is less than the yield stress and as a viscous fluid when the yield stress is exceeded. The aim of this study is to understand the influence of the yield stress on the stability conditions. It arises from the modification of the thickness of the yielded regions, the viscosity stratification inside these regions and the modification of the viscous dissipation. A fundamental difficulty by comparison with the Newtonian case lies in the description of the behaviour of the interface separating the ``gel-like and ``fluid-like phases. First, a linear analysis using modal and energetic approaches is developped. Results clearly highlight the stabilizing effect of the yield stress. Then, a weakly non linear analysis is performed to identify the nature of the bifurcation. Original results are obtained and show a change in the nature of the bifurcation at Péclet number . This is a consequence of the strong viscosity stratification. Finally, a non linear analysis was done using Reynolds-Orr type equation. The behaviour of the critical conditions as function of the yield stress is determined.
Source: http://www.theses.fr/2006INPL092N/document
Publié le : lundi 24 octobre 2011
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Institut National Polytechnique de Lorraine
UFR STMP
Ecole Doctorale EMMA
D´epartement de formation Doctorale M´ecanique - Energ´etique
LEMTA - UMR 7563 CNRS, INPL - UHP
Th`ese de doctorat
Discipline: M´ecanique
pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Christel METIVIER
le 8 d´ecembre 2006.
Instabilit´es thermoconvectives
pour des fluides viscoplastiques
JURY
Rapporteurs Philippe Carri`ere Charg´e de Recherche CNRS, Lyon
Ian Frigaard Professeur Associ´e, Vancouver (Canada)
Examinateurs Cathy Castelain Charg´e de Recherche CNRS, Nantes
Franc¸ois Charru Professeur, Toulouse
Jean-Pierre Brancher Professeur, Nancy
Ch´erif Nouar Charg´e de Recherche CNRS, Nancy
(Directeur de th`ese)
Invit´e Emmanuel Plaut Maˆıtre de Conf´erence, NancyRemerciements
Cem´emoiredeth`eseestlefruitdetroisann´eesdetravailauseinduLaboratoired’Energ´etique
et de M´ecanique Th´eorique et Appliqu´ee. Trois ann´ees riches de d´ecouvertes, d’apprentissages
et de rencontres. Mes remerciements s’adressent aux personnes qui ont bien voulu m’accom-
pagner au cours de la th`ese.
En tout premier lieu, c’est a` Ch´erif Nouar que je souhaite apporter mes plus sinc`eres
remerciements. Durant ces trois ann´ees de th`ese, sa disponibilit´e a` toute ´epreuve, son soutien
ainsi que son envie de partager sa passion et ses connaissances m’ont permis d’avancer dans
un climat de grande confiance. Au-dela` de ce travail de th`ese, ma profonde gratitude et mon
amiti´e lui sont acquises.
Je remercie´egalement Jean-Pierre Brancher, Professeur `a l’ENSEM, pour son soutien, les
diff´erentes discussions scientifiques et amicales et ses, toujours, tr`es bons conseils. Merci a` lui
de m’avoir fait l’honneur de pr´esider mon jury de th`ese.
Jetiensa`remercierIanFrigaard,Professeurassoci´edel’Universit´edeColombieBritanique
(Canada) pour les discussions chaleureuses et enrichissantes ainsi que les collaborations sur
des parties de ma Recherche. J’associe a` ces remerciements Philippe Carri`ere, Charg´e de
Recherche CNRS au Laboratoire de M´ecanique des Fluides et d’Acoustique de Lyon, tous
deux m’ayant fait l’honneur de rapporter mon travail.
Je tiens `a exprimer toute ma gratitude `a Cathy Castelain, Charg´ee de Recherche au
Laboratoire de Thermocin´etique de Nantes, pour les diff´erentes discussions et collaborations,
ainsi qu’a` Franc¸ois Charru, qui ont accept´e tous deux de faire partie de mon jury de th`ese.
Un chaleureux remerciement aussi a` Emmanuel Plaut, Maˆıtre de Conf´erence a` l’ENSEM
pour sa disponibilit´e lors de mes diff´erentes questions et pour m’avoir toujours indiqu´e le bon
chemin pour sortir de certaines impasses. Je le remercie aussi a` travers son poly de cours, sa
relecture attentive de mon m´emoire et sa participation a` la soutenance en tant qu’invit´e.
Merci a` Ren´ee Gatignol pour m’avoir aid´ee et conseill´ee dans le choix du laboratoire d’ac-
cueil de th`ese et pour ses diff´erentes recommandations au cours de la th`ese.
Jeremercielessecr´etaires,informaticiensettechniciensdulaboratoirepourleurgentillesse
et leur disponibilit´e. Je tiens a` exprimer toute ma reconnaissance aux membres du LEMTA
pour l’accueil chaleureux qu’ils m’ont r´eserv´e.
Dans ces remerciements, je ne voudrais pas oublier les doctorants, ex-doctorants et per-
manents pour leur bonne humeur, nombreuses discussions et aides bien pr´ecieuses!!! Je pense
particuli`erement a` Ghania, Thomas, Mihai, Fadil, Yannick, Olivier, Michel G, J´eroˆme, aux
Fabiens et Michel B. Il y a aussi le groupe d’amis rencontr´e en tout d´ebut de th`ese: l’Anti-
diaspora, groupe de scientifiques en tout genre avec lequel les soir´ees sont toujours agr´eables
et anim´ees. Je n’oublie pas non plus mes amis de plus longue date qui savent toujours m’ap-
porter joie, bonne humeur, soutien, ´ecoute, partage..., il s’agit d’Elodie et Nicolas, Marianne,
iVincent et Rachel (ma jumelle), Raph, ma petite Pauline.
Un grand merci a` Jean-Paul qui a pris l’aventure en marche et m’a accompagn´ee jusqu’`a
son terme. Je lui suis reconnaissante de ce qu’il m’a appport´e, de son soutien jusqu’au dernier
moment, de sa confiance dans mon travail...
Je terminerai par mes proches: la famille Henry au grand complet pour leur int´erˆet et
leur regard affectueux; L´eo, Fanny, Steph, ma soeur Laetitia et mes parents, pour leur soutien
sans faille, inconditionnel et ´eternel.
MERCI.
ii`TABLE DES MATIERES
Table des mati`eres
Table des figures vi
Liste des tableaux x
Nomenclature xi
Nomenclature xiii
Introduction g´en´erale xiii
Introduction g´en´erale xvii
1 Description du probl`eme de stabilit´e de type Poiseuille Rayleigh-B´enard
pour un fluide `a seuil 1
1.1 Description du comportement rh´eologique des fluides a` seuil . . . . . . . . . . . 1
1.2 Concepts li´es aux probl`emes de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Stabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Stabilit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Stabilit´e monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Stabilit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Revue bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Probl`eme de stabilit´e pour des fluides `a seuil . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Stabilit´e de l’´ecoulement de type Poiseuille Rayleigh-B´enard pour un
fluide Newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 D´emarche et Objectifs de la th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Convection mixte `a faibles valeurs de nombre de Reynolds - Analyse de
stabilit´e lin´eaire 13
2.1 Description du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Equations gouvernant le probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Autres hypoth`eses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Analyse dimensionelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Grandeurs de r´ef´erence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Equations sans dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii`TABLE DES MATIERES
2.5 D´etermination de l’´ecoulement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Cas ou` la viscosit´e plastique, , est non thermo-d´ependante . . . . . . 18p
2.5.2 Viscosit´e plastique, , d´ependant de la temp´erature . . . . . . . . . . . 21p
2.6 Analyse lin´eaire de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 Probl`eme aux valeurs propres, modes propres, normalisation des modes 31
2.7 R´esolution num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.1 Cas ou` la viscosit´e plastique est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8.2 Cas ou` la viscosit´e plastique d´epend de la temp´erature . . . . . . . . . . 39
2.9 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Analyse faiblement non lin´eaire de stabilit´e 49
3.1 Notation et mise en ´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 Equation de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.3 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Hypoth`eses de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Proc´edure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Mode 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Mode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Probl`eme adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Equation de l’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8 R´esolution num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9.1 Mode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9.2 Mode 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9.3 Evolution de l’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Approche ´energ´etique de la stabilit´e de l’´ecoulement 75
4.1 Identit´es ´energie de la perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 Identit´es ´energie dans les zones cisaill´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Identit´es ´energie dans la zone non cisaill´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.3 Identit´e ´energie pour l’ensemble du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Conditions suffisantes de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.1 Probl`eme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2 Equations d’Euler-Lagrange correspondantes . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Conditions suffisantes de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 R´esolution num´erique et r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Approche analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.1 Comportement asymptotique lorsque B→0 . . . . . . . . . . . . . . . . 90
iv`TABLE DES MATIERES
4.4.2 Comportement asymptotique lorsque B→∞ . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Analyse non lin´eaire de stabilit´e 93
5.1 Evolution temporelle de l’´energie totale de la perturbation . . . . . . . . . . . . 94
dEλ
5.2 Approximation des diff´erents termes de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
dt
5.3 Condition suffisante de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4 Calcul de la valeur de Re (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103EN
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Conclusions et perspectives 107
6 Conclusions et perspectives 109
A Stabilit´e lin´eaire de l’´ecoulement de Poiseuille Rayleigh-B´enard pour une
perturbation 1D 113
B Facteurs li´es aux sch´emas de discr´etisation 115
C Calculs des contraintes de part et d’autre la zone bouchon 117
D Termes non lin´eaires du tenseur des contraintes 119
D.1 Viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
D.2 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
D.3 Expression des termes quadratiques et cubiques de l’´equation du mouvement . 120
E Bilan de quantit´e de mouvement sur un ´el´ement de la zone bouchon: re-
cherche de conditions suppl´ementaires pour le mode 0 123
E.1 Projection suivante : cas i =1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126x
E.1.1 Calcul de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261
E.1.2 Calcul de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292
E.1.3 Calcul de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303
E.1.4 Bilan projet´e sure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130x
E.2 Projection suivante : cas i=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131y
E.2.1 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311
E.2.2 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322
E.2.3 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333
E.2.4 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364
E.2.5 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375
E.2.6 Calcul de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376
E.2.7 Bilan projet´e sure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138y
v`TABLE DES MATIERES
F Op´erateur adjoint 139
F.1 Calcul de l’op´erateur adjoint deL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139R
†F.1.1 Calcul deL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391

F.1.2 Calcul deL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413
†F.2 Calcul deD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
G Approche ´energ´etique bas´ee sur les ´echelles caract´eristiques du Chapitre 2143
H D´etermination de la valeur optimale de λ 147
I Calcul de la valeur de δ , lorsque B→∞ 149mαβ
J Troisi`eme approche: en laissant libre le nombre de Reynolds 151
Bibliographie 153
viTABLE DES FIGURES
Table des figures
1 Probl`eme de Rayleigh-B´enard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
2 Repr´esentation des structures thermoconvectives dans le cas Newtonien . . . . xix
1.1 Essais de fluage pour une solution de Carbopol 940 `a 0.2%. (a) Evolution de
γ(t) pour des contraintes appliqu´ees de 0.5,1,2,4,6,8et16Pa. (b) Evolution
simultan´ee de γ(t) et|γ˙(t)| pour l’essai de fluage `a 8 Pa. . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Evolutiondelacontrainteenfonctiondutauxdecisaillementpourunfluidede
type Herschel-Bulkley (Carbopol), pour un fluide Newtonien (sirop de glucose)
et pour un fluide de Cross (solution de Carboxy-m´ethyl-cellulose). Les courbes
ont ´et´e obtenues `a l’aide d’un rh´eom`etre AR2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
◦ ◦1.3 Evolution de τ , K et n en fonction de la temp´erature T (10 C < T < 85 C)0
pour du Carbopol a` 0.2% en masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Sch´ema repr´esentant les diff´erentes concepts de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Repr´esentation sch´ematique du probl`eme de Rayleigh-B´enard. . . . . . . . . . . 8
2.1 Repr´esentation sch´ematique du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Profils de vitesse pour diff´erentes valeurs de y . La zone bouchon centrale est0
d´elimit´ee par les traits pointill´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Evolution de y en fonction de B (: comportements asymptotiques) . . . 210
2.4 Evolutiondelaviscosit´eeffectivedanslapartiecisaill´eeinf´erieure,pourdiff´erentes
valeursdey .((−−−−−:y = 0.005);(---:y =0.105);(−−−:y = 0.305);0 0 0 0
(−−−: y = 0.405)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.5 Profils de vitesse axiale pour diff´erentes valeurs de k et pour y = 0.125. Les0
diff´erentes zones bouchon sont d´elimit´ees par les traits pointill´es . . . . . . . . 23
2.6 Evolution de la viscosit´e effective en ´echelle logarithmique pour diff´erentes va-
leurs de k et pour y = 0.125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2.7 Evolution de la zone bouchon en fonction du nombre de Pearson poury =0.125 240
2.8 Evolutiondud´ebitvolumiquelorsquelaviscosit´eplastiqueestThermod´ependante
(Th),rapport´e`asavaleurmaximaleobtenuedanslecasNonThermod´ependant
(NTh), en fonction du nombre de Pearson (−−−: y = 0.125; - - - -:0
y =0.075;−−−−: y = 0.003125) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 0
2.9 Evolution de la vitesse axiale maximale rapport´ee a` sa valeur obtenue dans le
cas non thermo-d´ependant, en fonction du nombre de Pearson pour y =0.125 240
2.10 Domaine de discr´etisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
vii6
TABLE DES FIGURES
2.11 Spectre des plus grandes valeurs propres dans le cas Re = 5, Pr = 10 et
y = 0,105. La plus grande valeur est indiqu´ee par une fl`eche. Cette partie du0
spectre n’est pas modifi´ee lorsque N augmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 Courbe marginale dans le casRe =5,Pr =10,Ra = 108272.56,y = 0.105 et0
α =6.1 et dy = 0.005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.13 Modescritiquesdelaperturbation:temp´erature(`agauche)etfonctioncourant
(`a droite) (: θ , f ); ( - - -: θ , f ); (−−−: θ , f ) . . . . . . . . . . 41m m r r i i
2.14 Modescritiquesdelaperturbation:temp´erature(`agauche)etfonctioncourant
(`a droite) pour diff´erentes valeurs de y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
2.15 Param`etres critiques en fonction de l’´epaisseur de la zone bouchon pour Re =
0,1,Pr = 10 (carr´es: “B = 0” dans les termes de l’´equation d’Orr-Sommerfeld,
cercles: B = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.16 Param`etres critiques en fonction de l’´epaisseur de la zone bouchon pour Re =f0,1,Pr = 10 (Triangles noirs: Ra ,αe , Symboles nabla: Ra ) . . . . . . . . . . 43c c c
2.17 Nombre de Rayleigh critique pour diff´erents nombres de Reynolds: fluide de
−2 −3Bingham avecB =1.2×10 (y = 3×10 ) (◦ ); fluide Newtonien, r´esultats0
donn´es par Ref. Nicolas et al. (2000) (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.18 Profils de temp´erature et de vitesse pour le mode le moins stable ( : θ ,m
f ); ( - - - : θ , f ); (−−−: θ , f ): R´esultats num´eriques. . . . . . . . . . 44m r r i i
2.19 Perturbation de la position des interfaces sup´erieure et inf´erieure (cas Re =
0,1, Pr = 10, y = 0,055: −−−−−, y = 0,155: − − −− et y = 0,255:0 0 0
−− − −− − −− −) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.20 Iso-valeurs de la fonction courant de perturbations et zone bouchon perturb´ee.
Cas Re = 0.1, Pr = 10, y = 0.105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
2.21 Param`etres critiques en fonction du nombre de Pearson pour Re = 1,Pr = 10
(Symboles nabla:y =0.25, triangles noirs:y =0.125, carr´es noirs:y = 0.075) 460 0 0
2.22 Modescritiquesdelaperturbation:temp´erature(`agauche)etfonctioncourant
(`a droite) (: θ , f ); ( - - -: θ , f ); (−−−: θ , f ) . . . . . . . . . . 47m m r r i i
2.23 Modescritiquesdelaperturbation:temp´erature(`agauche)etfonctioncourant
(`a droite). La zone bouchon de l’´ecoulement de base non perturb´e est d´elimit´ee
en pointill´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1 Perturbation en terme de fonction courant pour les modes 1 et 2: R´esultats
num´eriques pour le cas y = 0.1, Re = 0.1 et Pr = 10. (Pointill´es: Parties0
r´eelles); (Traits mixtes: Parties imaginaires). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Perturbation en temp´erature en terme de modes 1 et 2: R´esultats num´eriques
pour le cas y = 0.1, Re = 0.1 et Pr = 10. (Pointill´es: Parties r´eelles); (Traits0
mixtes: Parties imaginaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Modes 2 (gauche) et 1 (droite) de la fonction courant de perturbation dans le
plan (x,y): R´esultats num´eriques pour le cas y = 0.1, Re = 0.1 et Pr = 10.0
Les traits pointill´es d´elimitent la zone bouchon de l’´ecoulement de base. . . . . 68
viiiTABLE DES FIGURES
3.4 Modes 2 (gauche) et 1 (droite) de la temp´erature de perturbation dans le plan
(x,y): R´esultats num´eriques pour le cas y = 0.1, Re = 0.1 et Pr = 10. Les0
traits pointill´es d´elimitent la zone bouchon de l’´ecoulement de base. . . . . . . 68
+ 23.5 Perturbationdesinterfacescorrespondantaumode2.Repr´esentationdeY E2
− +2 2et de −Y E . Cas Re = 0.1, Pr = 10, y = 0.105 ( ( - - -: Y E ); ( −−−:02 2
− 2−Y E ): R´esultats num´eriques). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
3.6 Vitesse de la perturbation pour le mode 0 et vitesse de l’´ecoulement de base:
R´esultats num´eriques pour le cas y = 0.1, Re =0.1 et Pr = 10. . . . . . . . . 690
3.7 Temp´erature de la perturbation pour le mode 0 et temp´erature de l’´ecoulement
de base: R´esultats num´eriques pour le cas y = 0.1, Re = 0.1 et Pr = 10. . . . 700
+ −3.8 Perturbation des interfaces via le mode 0. Repr´esentation de Y et de −Y .0 0
Cas Re = 0.1, Pr = 10, y = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700
3.9 Evolutiondel’amplitudeenfonctiondutempsjusteapr`esleseuil.y = 0.01,Re=0
0.1,Pr = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.10 Evolutionducoefficientg enfonctiondey pourdiff´erentesvaleursdunombre1 0
de P´eclet. (△ : Pe =2;• : Pe =1.3; : Pe= 0.5; : Pe= 0.1) . . . . . . 72
3.11 Repr´esentation sch´ematique de l’´evolution de l’amplitude en fonction deǫ pour
diff´erentes valeurs de g . (Traits pointill´es: Bifurcation sous critique (g < 0);1 1
Traits continus: Bifurcation surcritique (g >0)) . . . . . . . . . . . . . . . . . 731
4.1 Conditions suffisantes de stabilit´e d’un ´ecoulement de convection mixte plan
pour un fluide de Bingham. Diagramme de stabilit´e dans le plan (Ra,Re). Cas
ou` Pr = 10 (triangles noirs:B =1.662 (y = 0.12)), (carr´es noirs:B = 0.61980
(y = 0.06)), (cercles noirs: B =0.494 (y = 0.05)) . . . . . . . . . . . . . . . . 840 0
4.2 Comparaison des nombres de Rayleigh critiques obtenus par les m´ethodes
lin´eaire modale et ´energ´etique respectivement, en fonction du nombre de Rey-
nolds pour B = 1.662 (y = 0.12) et Pr = 10 (Symboles △: Ra ), (Symboles0 E
∇: Ra ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85L
5.1 Repr´esentation sch´ematique des diff´erentes zones cisaill´ees et non cisaill´ees qui
peuventexisterlorsquel’´ecoulementestsoumisa`uneperturbationd’amplitude
finie.Traitspointill´es:Fronti`eresdelazonebouchonpourl’´ecoulementdebase.
Zones hachur´ees: zones non cisaill´ees pouvant apparaˆıtre. . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Stabilit´e de l’´ecoulement de type Poiseuille Rayleigh-B´enard pour un fluide a`
seuilvisa`visdeperturbationsd’amplitudefinie.R´egionI:Stabilit´emonotone,
R´egion II: Croissance transitoire ou Instabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Stabilit´e de l’´ecoulement de type Poiseuille Rayleigh-B´enard pour un fluide `a
seuilvis`avisdeperturbationsd’amplitudefinie.R´egionI:Stabilit´emonotone,
R´egion II: Croissance transitoire ou Instabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Stabilit´e de l’´ecoulement de type Poiseuille Rayleigh-B´enard pour un fluide a`
seuilvisa`visdeperturbationsd’amplitudefinie.R´egionI:Stabilit´emonotone,
R´egion II: Croissance transitoire ou Instabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ix

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