Massey products in the Galois cohomology of number fields [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Denis Vogel

INAUGURAL-DISSERTATIONzurErlangung der Doktorwurde˜derNaturwissenschaftlich-MathematischenGesamtfakult˜atderRuprecht-Karls-Universit˜atHeidelbergvorgelegt vonDiplom-Mathematiker Denis Vogelaus Karl-Marx-StadtTag der mundlic˜ hen Prufung:˜ 10. Februar 2004Massey products in the Galoiscohomology of number fleldsGutachter: Prof. Dr. Kay WingbergPriv.-Doz. Dr. Alexander SchmidtInhaltsangabeIn dieser Arbeit untersuchen wir die Relationenstruktur der Galoisgruppe dermaximalausserhalbeinerendlichenPrimstellenmengeS unverzweigtenp-Erwei-terung Q (p) von Q sowie die der Galoisgruppe desp-Klassenk˜orperturms einesSquadratischen Zahlk˜orpers, wobei p eine Primzahl ist. Diese Gruppen k˜onnendurch S˜atze von Koch ub˜ er Erzeugende und Relationen angegeben werden. Beiden Relationen handelt es sich hierbei um Elemente der freien pro-p-Gruppe Fauf einem bestimmten minimalen Erzeugendensystem jener Galoisgruppen. Siek˜onnendurchKlassenk˜orpertheoriemodulodemdrittenSchrittderZassenhaus-Filtrierung F von F beschrieben werden.(3)Fur˜ den Fall, dass die Relationen in F liegen, besch˜aftigen wir uns mit der(3)Struktur der Relationen modulo dem vierten Schritt der Zassenhaus-FiltrierungF von F. Fur˜ p = 2 geben wir eine explizite Beschreibung derselben. Un-(4)˜sere Uberlegungen basieren darauf, dass die oben erw˜ahnten Galoisgruppen inihrer Struktur ˜ahnlich zu Gruppen von Verschlingungen aus der Knotentheo-rie sind.
Publié le : jeudi 1 janvier 2004
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INAUGURAL-DISSERTATION zur ErlangungderDoktorwu¨rde der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakulta¨t der Ruprecht-Karls-Universit¨at Heidelberg
vorgelegt von Diplom-Mathematiker Denis Vogel aus Karl-Marx-Stadt
Tagderm¨undlichenPr¨ufung:10.Februar2004
Massey products in the cohomology of number
Gutachter:
Prof.
Dr.
Kay Wingberg
Priv.-Doz. Dr. Alexander
Galois fields
Schmidt
Inhaltsangabe
In dieser Arbeit untersuchen wir die Relationenstruktur der Galoisgruppe der maximal ausserhalb einer endlichen PrimstellenmengeSunverzweigtenp-Erwei-terungQS(p) vonQsowie die der Galoisgruppe despsesaes-lKseinturmrpernk¨o quadratischenZahlk¨orpers,wobeipennonmiazlhsiieenrPruppenk¨t.DieseG durchS¨atzevonKochu¨berErzeugendeundRelationenangegebenwerden.Bei den Relationen handelt es sich hierbei um Elemente der freien pro-p-GruppeF auf einem bestimmten minimalen Erzeugendensystem jener Galoisgruppen. Sie ko¨nnendurchKlassenk¨orpertheoriemodulodemdrittenSchrittderZassenhaus-FiltrierungF(3)vonFbeschrieben werden. F¨urdenFall,dassdieRelationeninF(3)irungenwaftisch¨edrmstiegeieb,nl Struktur der Relationen modulo dem vierten Schritt der Zassenhaus-Filtrierung F(4)vonFu¨F.rp= 2 geben wir eine explizite Beschreibung derselben. Un-¨ sereUberlegungenbasierendarauf,dassdieobenerw¨ahntenGaloisgruppenin ihrerStruktur¨ahnlichzuGruppenvonVerschlingungenausderKnotentheo-riesind.Wir¨ubertragenTechnikenausderKnotentheorieinunsereSituation. Insbesonderebesch¨aftigenwirunsmitdemFox-Dierentialkalku¨lauffreienpro-p-Gruppen und Masseyprodukten in der Kohomologie von pro-p-Gruppen und gebeneinekohomologischeInterpretationjenesDierentialkalk¨uls.Diesstellt eine Verallgemeinerung des bekannten Zusammenhangs zwischen dem Cuppro-dukt in der Kohomologie einer pro-p-Gruppe und ihrer Relationenstruktur dar. Dadurchistesunsm¨oglich,einzahlentheoretischesAnalogondesSatzesvon Porter-Turaev aus der Knotentheorie zu zeigen. Es beschreibt einen Zusammen-hang zwischen bestimmten Massey-Produkten auf der Kohomologie der Galois-gruppe vonQS(p)/QInvariantenfeu¨rhetMnlion-rnMvoisortahingeinunedd auf jener Galoisgruppe. WirverallgemeinernMorishitasErgebnisseu¨berdieMilnor-Invariantenvon G(QS(2)/Q-enMasseyrdieafhcbinudgseu)dngidna¨tserhcseBeenlthaerllvoneei produktes auf der GaloiskohomologiegruppeH1(G(QS(2)/Q)Z/2Z) und damit der Relationenstruktur vonG(QS(2)/Q) moduloF(4). W¨ahrenddieRelationenstrukturmoduloF(3)nach Koch eng mit dem Legen-dresymbol auf der PrimstellenmengeS-knenourtszusnh¨aammesidtgn,taliteieR tur moduloF(4)deitogmsm´RdeieS-nenatnneymbolaufSseneJ.tfpverkn¨u Dreier-Symbol wurde in den dreissiger Jahren des vergangenen Jahrhunderts vonR´edeieigefu¨hrt. Wir benutzen die Ergebni ¨ber die Galoisgruppe vonQS(2)/Q, um mit Hilfe sse u einesAbstiegsverfahrensInformationenu¨berdieGaloisgruppedes2-Klassen-ko¨rperturmseinesquadratischenZahlko¨rperszuerhalten.Wirgebeneinepar-tielle Beschreibung der gesuchten Relationenstruktur und zeigen, dass diese eng mitdemRe´dei-SymbolaufderMengederPrimteilerderDiskriminantedes quadratischenZahlk¨orpersverbundenist.
Abstract
In this thesis we study the relation structure of the Galois group of the maximal outside a given setSunramifiedp-extensionQS(p) ofQand of the Galois group of thep-class field tower of a quadratic number field, wherepis a prime number. These groups can be presented in terms of generators and relations by theorems due to Koch. Here the relations are elements of the free pro-p-groupFon a certain minimal system of generators of the above Galois groups. They can be described by class field theory modulo the third stepF(3)of the Zassenhaus filtration ofF. We assume that the relations lie insideF(3)and study the structure of the rela-tions modulo the fourth stepF(4)of the Zassenhaus filtration ofF. Forp= 2 we give an explicit description of these relations. Our approach is based on the observation that the above Galois groups have a similar structure as groups of links occuring in knot theory. We carry over techniques of knot theory to our situation. In particular we study the Fox differential calculus on free pro-p-groups and Massey products in the cohomology of pro-p-groups, and we give a cohomological interpretation of this differential calculus. This is a generaliza-tion of the well-known relationship between the cup product in the cohomology of a pro-p-group and its relation structure. Therefore we are able to show a number theoretic analogue of the theorem of Porter-Turaev from knot theory. It describes a connection between certain Massey products in the cohomology of the Galois group ofQS(p)/Qand the Milnor invariants of this group introduced by Morishita. We generalize Morishita’s results on the Milnor invariants forQS(2) and obtain a complete description of the triple Massey product on the cohomology group H1(G(QS(2)/Q)Z/2Zand thereby of the relation structure of), G(QS(2)/Q) moduloF(4). While the relation structure moduloF(3)is closely linked to the Legendre symbol by Koch’s results, the relation structure moduloF(4)is intimately connected to theso-calledR´edeisymbolonS triple symbol was introduced in the. This thirtiesofthelastcenturybyRe´dei. We use the results on the Galois group ofQS(2)/Qin order to deduce informa-tion on the Galois group of the 2-class field tower of a quadratic number field by means of a descent procedure. We give a partial description of the sought-after relationstructureandshowthatiscloselyconnectedtotheR´edeisymbolon the set of prime divisors of the discriminant of the quadratic number field.
Contents
Introduction
I Algebraic part §1 The Fox differential calculus on free pro-p-groups . . . . . . . . . §2 Massey products in the cohomology of pro-p . . . . . .-groups . § . . . . . . . . . . . calculations of the relation structure3 Explicit
II Arithmetic part § maximal1 Thep-extension with restricted ramification . . . . . . . § . . . . . . . . 2-class field tower of a quadratic number field2 The §3 Thep-class field tower of a quadratic number field . . . . . . . .
A Link theory
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CONTENTS
Introduction
Algebraic number theory takes inspirations from many fields, including analy-sis, geometry, group theory and algebraic topology. Over the last years it has been realized that several concepts of algebraic number theory bear a certain structural resemblance to parts of knot theory. This has led both number the-orists and topologists to the new field of so-called arithmetic topology, which is dedicated to geometric analogies between knots and primes, between Galois groups of number fields and fundamental groups of three-manifolds and between Alexander and Iwasawa theory. The objective of this thesis is the study of relations in certain Galois groups, namely the Galois group of the maximalp-extension ofQunramified outside a set of primesSfield tower of quadratic number fields.and the 2-class  These Galois groups will turn out to be quite similar to certain groups of links. In link theory, relations can be studied by means of the Fox differential calculus. This gives rise to the Milnorµ¯-invariants of links, which are intimately connected to Massey products in the cohomology of the link complement via the theorem of Porter-Turaev. For a more detailed view of this, we refer the reader to the appendix. We take up the link theoretical point of view and study the Fox differential calculus on free pro-p prove a result which gives a-groups. We cohomological interpretation of the Fox differential calculus in terms of Massey products in the cohomology of pro-p results are then applied to-groups. These the above mentioned Galois groups. We will explain all that now in more detail. We fix a primepand consider the Galois groupGS(p) of the maximal pro-p-extensionQS(p) ofQwhich is unramified outside a set of primesSwhich is given by S={l1 . . .  ln∞} li1 modp i= 1 . . .  n. Letlibe a fixed extension oflitoQS(p)/Q 1. Forinletσibe an element inG=GS(p) with the following properties: (a)σia lift of the Frobenius automorphism ofis li, (b) the restriction ofσito the maximal abelian subextensionQS(p)(2)/Qof QS(p)/Qis equal to (λiQS(p)(2))/Q), whereλihtse`diedtoneewelseho li-component equalsliand all other components are 1. For 1inletτidenote an element ofGS(p) such that 11
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