Measurements in Quantum Optics [Elektronische Ressource] / Uwe Schilling. Betreuer: Joachim von Zanthier

Universit at Erlangen-Nurn bergMeasurements in Quantum OpticsDer Naturwissenschaftlichen Fakult atder Friedrich-Alexander-Universit at Erlangen-Nurn bergzurErlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.vorgelegt vonUwe Schillingaus Nurn bergAls Dissertation genehmigt vonder Naturwissenschaftlichen Fakult atder Friedrich-Alexander-Universit at Erlangen-Nurn bergTag der mundlic hen Prufung: 29.07.2011Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Rainer FinkErstberichterstatter: Prof. Dr. Joachim von ZanthierZweitberich Prof. Girish S. Agarwal, FRS, DSc. (h.c.)ivZusammenfassungDiese Arbeit untersucht die M¨oglichkeiten und Grenzen von Messungen in der Quan-tenoptik. Nach einer kurzen Einleitung zu den Grundlagen des quantenmechanischenMessprozesses pr¨asentiert sie drei unterschiedliche Anwendungen in der Quantenoptik,bei denenjeweilsverschiedeneAspektequantenmechanischerMessungen eineSchlussel-¨rolle spielen.Erstens kann die Messung von Erwartungswerten von Operatoren, welche inter-essante Gr¨oßen beschreiben, trotz einer theoretisch einfachen Struktur experimentellherausfordernd sein. Diese Situation liegt in Kapitel 2 vor, welches die Messungenvon quantenstatistischen Eigenschaften eines Lichtstrahls behandelt. Im Gegensatz zurklassischen Optik wird die Quantenstatistik eines Feldes nicht allein durch die Korre-lationsfunktionen erster und zweiter Ordnung beschrieben.
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Universit at Erlangen-Nurn berg
Measurements in Quantum Optics
Der Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Friedrich-Alexander-Universit at Erlangen-Nurn berg
zur
Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.
vorgelegt von
Uwe Schilling
aus Nurn bergAls Dissertation genehmigt von
der Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Friedrich-Alexander-Universit at Erlangen-Nurn berg
Tag der mundlic hen Prufung: 29.07.2011
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Rainer Fink
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Joachim von Zanthier
Zweitberich Prof. Girish S. Agarwal, FRS, DSc. (h.c.)iv
Zusammenfassung
Diese Arbeit untersucht die M¨oglichkeiten und Grenzen von Messungen in der Quan-
tenoptik. Nach einer kurzen Einleitung zu den Grundlagen des quantenmechanischen
Messprozesses pr¨asentiert sie drei unterschiedliche Anwendungen in der Quantenoptik,
bei denenjeweilsverschiedeneAspektequantenmechanischerMessungen eineSchlussel-¨
rolle spielen.
Erstens kann die Messung von Erwartungswerten von Operatoren, welche inter-
essante Gr¨oßen beschreiben, trotz einer theoretisch einfachen Struktur experimentell
herausfordernd sein. Diese Situation liegt in Kapitel 2 vor, welches die Messungen
von quantenstatistischen Eigenschaften eines Lichtstrahls behandelt. Im Gegensatz zur
klassischen Optik wird die Quantenstatistik eines Feldes nicht allein durch die Korre-
lationsfunktionen erster und zweiter Ordnung beschrieben. Statt dessen sind Korre- h¨oherer Ordnung, normalerweise dargestellt durch nicht-hermitesche
Operatoren,notwendig,umdenQuantenzustanddesLichtstrahlsvollst¨andigzucharak-
terisieren. EinbesondersinteressantesBeispielistderPhotonenzahlzustandmitN Pho-
tonen, fur¨ welchen Korrelationsmessungen Nter Ordnung eine vollst¨andige Tomogra-
phieerm¨oglichen. Wirpr¨asentierenhiereineneueM¨oglichkeit,einewichtigeKlassevon
Korrelationsfunktionen Nter Ordnung fur¨ beliebige N mit verh¨altnism¨aßig geringem
experimentellen Aufwand durchzufuhren.¨
Auch der zweite Teil der Arbeit besch¨aftigt sich mit der Realisierung bestimmter
Messoperatoren fur¨ Photonenkorrelationsmessungen. Im Gegensatz zum vorherigen
Kapitel ist jedoch nicht die Bestimmung einer Meßgr¨oße das Ziel der Untersuchung,
sondern die Messung dient dazu, einen bestimmten Quantenzustand als Resultat des
Messprozesseszuerzeugen: DurchgeschickteMessungderPhotonen,dievonN Atomen
gestreut werden, k¨onnen die streuenden Atome in einen langlebigen verschr¨ankten Zu-
stand gebracht werden. Wir zeigen, dass es mit dieser Methode m¨oglich ist, zwei
atomareZweiniveausysteme,sogenannteatomareQuantenbits,zueinembeliebigenund
wohldefinierten Grad miteinander zu verschr¨anken. Des Weiteren erm¨oglicht dieses
Vorgehen, zwei umfangreiche Familien von Quantenzust¨anden in N atomaren Quanten-
bits zu erzeugen; einerseits die Familie der – symmetrischen und nichtsymmetrischen –
Eigenzust¨ande des Gesamtdrehimpulses und andererseits eine Familie von sogenannten
Clusterzust¨anden. In einem verallgemeinerten Ansatz wird anschließend systematisch
ausgelotet, ob es m¨oglich ist, mit dieser Methode der projektiven Messungen jeden
beliebigen Quantenzustand in N Quantenbits zu erzeugen. Es zeigt sich, dass dies
fur¨ N ≥ 7 sicher nicht m¨oglich ist, w¨ahrend fur¨ die F¨alle N = 2;3 explizite L¨osun-
gen erarbeitet werden. Abschließend wird eine Vorgehensweise entwickelt, wie sich mit
¨einigenAnderungenimVersuchsaufbaudiegleichenZust¨andeauchindenPolarisations-
freiheitsgraden der gestreuten Photonen statt den sie emittierenden Atomen erzeugen
lassen.v
Der letzte Teil untersucht die Menge an Information, die ub¨ er ein Quantensys-
tem mit einer Messung gewonnen werden kann, anhand eines Teilchens, welches ein
Zwei-Wege-Interferometerdurchl¨auft. DarinzeigtsicheineDualit¨atzwischenderSicht-
barkeitdesInterferenzmusters,dasdasTeilchennachdemDurchlaufendesInterferome-
ters erzeugt und der Information ub¨ er den Weg, den das Teilchen innerhalb des Inter-
ferometers genommen hat. Wir zeigen erstmalig, dass zwischen der Welcher-Weg In-
formation und der Phasendifferenz, die das Teilchen auf den zwei Wegen akkumuliert,
Korrelationen existieren. Auf diese Weise wird die Welcher-Weg Information phasen-
abh¨angig. Insbesondere ergibt sich, dass fur¨ bestimmte Werte der Phasendifferenz die
aus dem Welcher-Weg Detektor extrahierbare Welcher-Weg Information gr¨oßer sein
kann, als dies fur¨ eine phasendifferenzunabh¨angige Gr¨oße erlaubt w¨are. Diese Eigen-
schaftwirdausgenutztumeinevonderPhasendifferenzabh¨angigeoptimaleObservable
zu finden. Dadurch kann aus dem Welcher-Weg Detektor mehr Welcher-Weg Informa-
tion gewonnen werden, als bisher fur¨ m¨oglich gehalten wurde.vi
Abstract
Thisthesisfathomsthepossibilitiesandlimitationsofmeasurementsinquantumoptics.
After a short introduction to the general aspects ofts in quantum mechan-
ics, it presents three examples of a measurement process in concrete applications to
quantum optics.
For one, while operators describing quantities of interest might have a simple theo-
retical form, it is often hard to actually implement a measurement of their expectation
values experimentally. This situation is encountered in Chapter 2 which is devoted
to the measurement of quantum statistical properties of a light beam. In contrast
to classical optics, these statistics are not fully determined by first- and second-order
correlations. Instead, higher-order correlations, usually described by non-Hermitian
operators, are necessary to characterize the quantum state completely. A particular
example is the N-photon Fock state, for which only a measurement of the Nth-order
correlations allows for a full characterization. Here, we present a new method how to
measurean importantclass ofNth-ordercorrelationsfor arbitraryN ina single spatial
mode with two polarizations with limited experimental resources.
The second part is again centered around the realization of specific measurement
operators for photon correlation measurements. However, in contrast to the previous
chapter, these measurements are not an end in their own, but are designed to create
specific quantum states as a consequence of the measurement process: A suitable mea-
surement of photons emitted by a number of atoms allows to transfer the atoms into
long-lived entangled states. We find that with this method it is possible to entangle
two remote atomic qubits to an arbitrary and well-defined degree. Furthermore, we
show how to generate two families of quantum states in an arbitrary number of remote
atomicqubits: onefamilyconsistsofall–symmetricandnon-symmetric–totalangular
momentum eigenstates inN remote qubits, the other is a family of cluster states. It is
also systematically investigated whether the technique of quantum state engineering by
projective measurements allows for the creation of any arbitrary state. We find explicit
solutions for the case of two and three qubits, while it is shown that no solution exist
for N ≥ 7. We conclude the section by proving that with some changes in the setup,
thismeasurement-basedquantumstateengineeringtechniqueallowstocreatethesame
states among the scattered photons themselves rather than among the emitting atoms.
The last part is devoted to the amount of information one is able to gain about a
givensystemwhenperformingameasurement. Thecorrespondinglimitsofinformation
are investigated at the example of the duality that arises in a two-way interferometer
between the visibility of the interference pattern and the knowledge about the path
of the interfering object. We show that there exist correlations between the phase
difference the interfering object acquires on its way through the interferometer and the
amountofwhich-wayinformationretrievablefromcertainobservablesofthewhich-wayvii
detector. In this way, the which-way information becomes a phase-dependent quantity.
Inparticular,wefindthatforcertainvaluesofthephaseshift,theamountofextractable
which-way information can be larger than allowed by phase-independent measurement.
This property is put to use to find the optimal observable for the which-way detector
readout in dependence on the phase of the interfering object. Following this strategy,
we are able to gain more which-way information than previously thought possible.viiiContents
1 Introduction 1
2 Correlation Measurements: Higher-Order Correlations in a Single
Light Beam 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Setup for Measuring Correlations in a Single Light Beam . . . . . . . . 10
2.4 Measuring First- and Second-Order Correlations in a Single Light Beam 11
2.4.1 Measuring First-Order Correlation Functions . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Second-Order F . . . . . . . . . . 13
2.5 Measuring Nth-Order Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2 Finding Parameters for the Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Projective Measurements: Quantum State Engineering 21
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Tool Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 The Λ-level System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Atom-Photon Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Projective Measurements of Entangled Systems . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Measuring Photons from more than one Atom . . . . . . . . . . 25
3.2.5 The Detection Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Heralded Entanglement of Arbitrary Degree in Remote Qubits . . . . . 28
3.3.1 The Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.2 Quantifying the Entanglement: A Malus’ Law for the Concurrence 30
3.3.3 Experimental Feasibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Generation of Total Angular Momentum Eigenstates in Remote Qubits 36
ixx CONTENTS
3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 Total Angular Momentum Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.3 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.4 Measurement-based Preparation of Total Angular Momentum
Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Generation of Cluster States in Remote Qubits . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.2 A Proposal for Cluster States Generation by Xia et al. . . . . . . 44
3.5.3 Translating the Proposal into a Fiber-based Setup . . . . . . . . 47
3.5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Generation of Arbitrary States: The Anystate? . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.2 Physical Realization of an Arbitrary Detection Operator . . . . . 52
3.6.3 Generating the Anystate N=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.4 the Anystate for N=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Interchanging the Roles of Atoms and Photons: A Versatile Source . . . 58
3.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.2 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7.3 Generation of Photonic Quantum States . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Complementary Measurements: Wave-Particle Duality 65
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Basic Concepts of Quantitative Wave-Particle Duality . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Quantitative Interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Quantitative Which-Way Knowledge . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Interferometer Formalisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Phase-dependent Wave-Particle Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 The Two-Atom interferometer: WW Information in First-Order
Interference Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 TheTwo-Atominterferometer: WWInformationinSecond-Order
Interference Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.3 General Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.4 Physical Interpretation of Phase-dependent WW information . . 81
4.4 Improving the WW Knowledge by a Delayed Choice of the WWD Ob-
servable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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