Metric renormalization in general relativity [Elektronische Ressource] / presented by Juliane Behrend

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematicsof the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDiplom-Physikerin Juliane Behrendborn in Lu¨beck, GermanyOral examination: April 23, 2008Metric Renormalizationin General RelativityReferees: Prof. Dr. Otto NachtmannProf. Dr. Iring BenderRenormierung von Metriken¨in der Allgemeinen RelativitatstheorieZusammenfassungDas Mittelungsproblem in der Allgemeinen Relativit¨atstheorie besteht in der DefinitioneineswohldefiniertenMittelsu¨berTensorgr¨oßenundwirbeleuchtendiesesProblemvonver-schiedenenSeiten. Zun¨achstgehenwiraufdiekosmologischeRu¨ckreaktionein,diedadurchverursachtwird,dassdergemittelteEinstein-TensornichtidentischzudemEinstein-Tensorder gemittelten Metrik ist. Es gibt Vermutungen, nach denen diese Ru¨ckreaktion dieErkl¨arung fu¨r Dunkle Energie sein soll. Wir zeigen numerisch, dass im Buchert Formalis-−5mus die Korrekturen von (quasi)linearen St¨orungen nur von der Gr¨oßenordnung 10 sindund die Eigenschaften von Dunkler Materie aufweisen. Anschließend besch¨aftigen wir unsmit der Formulierung eines allgemein kovarianten Mittelungsprozesses, der die Metrik inVielbeine zerlegt und diese mit Hilfe eines relativistischen Wegner-Wilson Operators aneinen gemeinsamen Punkt parallelverschiebt, wo sie anschließend gemittelt werden.
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom-Physikerin Juliane Behrend
born in Lu¨beck, Germany
Oral examination: April 23, 2008Metric Renormalization
in General Relativity
Referees: Prof. Dr. Otto Nachtmann
Prof. Dr. Iring BenderRenormierung von Metriken
¨in der Allgemeinen Relativitatstheorie
Zusammenfassung
Das Mittelungsproblem in der Allgemeinen Relativit¨atstheorie besteht in der Definition
eineswohldefiniertenMittelsu¨berTensorgr¨oßenundwirbeleuchtendiesesProblemvonver-
schiedenenSeiten. Zun¨achstgehenwiraufdiekosmologischeRu¨ckreaktionein,diedadurch
verursachtwird,dassdergemittelteEinstein-TensornichtidentischzudemEinstein-Tensor
der gemittelten Metrik ist. Es gibt Vermutungen, nach denen diese Ru¨ckreaktion die
Erkl¨arung fu¨r Dunkle Energie sein soll. Wir zeigen numerisch, dass im Buchert Formalis-
−5mus die Korrekturen von (quasi)linearen St¨orungen nur von der Gr¨oßenordnung 10 sind
und die Eigenschaften von Dunkler Materie aufweisen. Anschließend besch¨aftigen wir uns
mit der Formulierung eines allgemein kovarianten Mittelungsprozesses, der die Metrik in
Vielbeine zerlegt und diese mit Hilfe eines relativistischen Wegner-Wilson Operators an
einen gemeinsamen Punkt parallelverschiebt, wo sie anschließend gemittelt werden. Fu¨r
die Festlegung des entsprechenden Vielbeinfeldes wird der Lagrange-Formalismus verwen-
det. Die Funktionsweise des Mittelungsprozesses wird an speziellen Beispielen in zwei
und drei Raumdimensionen verdeutlicht. Dazu werden partielle Differentialgleichungen
numerisch mit dem Simulationspaket Gascoigne gel¨ost.
Metric Renormalization in General Relativity
Abstract
The averaging problem in general relativity concerns the difficulty of defining meaningful
averages of tensor quantities and we consider various aspects of the problem. We first
address cosmological backreaction which arises because the averaged Einstein tensor is
not the same as the Einstein tensor of the averaged metric. It has been suggested that
backreaction might account for the dark energy. We show numerically in the Buchert
formalism that the corrections from (quasi)linear perturbations are only of the order of
−510 and act as a dark matter. We then focus on constructing averaged metrics and
presentagenerallycovariantaveragingprocesswhich decomposesthemetricintoVielbeins
and parallel transports them with a relativistic Wegner-Wilson operator to a single point
where they can then be averaged. The Vielbeins are chosen in a Lagrangian formalism.
The functionality of the process is demonstrated in specific examples in two and three
space dimensions. This involves the numerical solution of partial differential equations by
the aid of the simulation toolkit Gascoigne.to my father
Volkmar Behrend
Jan 20, 1930 - Aug 28, 2004CONTENTS
1 Introduction 1
2 The Backreaction Problem 5
2.1 The Standard Model of Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 The Friedmann-Lemaˆıtre-Robertson-Walker Model . . . . . . . . . 5
2.1.2 Cosmological Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 The ΛCDM model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 The Averaging Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 The Buchert Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Einstein’s Equation in 3+1 Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 The Buchert Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 The Lemaˆıtre-Tolmann-Bondi and Swiss Cheese Models . . . . . . . . . . . 25
2.5 Super-Hubble Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Macroscopic Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Cosmological Backreaction from Perturbations 31
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 The Buchert Formalism in Newtonian Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 The Connection with Linear Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Ergodic Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Corrections to the FLRW Picture from Linear Perturbations . . . . . . . . 39
3.6 Corrections to the FLRW Picture from Quasilinear Perturbations . . . . . 43
3.7 Discussion and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 A Generally Covariant Averaging Process 47
4.1 Constituents of the Averaging Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 Wegner-Wilson Lines in General Relativity . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.2 Transformation Law for the Connector . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ix4.1.3 Effect on Tensor Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.4 The Tetrad Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 The Averaging Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Averaging Constant Curvature Spaces in Two Dimensions 57
5.1 Averaging the Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 The Metric from Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.2 The Geodesics and the Connector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.3 The Maximally Smooth Dyad Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.4 The Result of the Averaging Process . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.5 The Coordinate Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.6 The M¨obius Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.7 The Metric Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Averaging the Hyperbolic Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.1 The Stereographic Projection of the Hyperbolic Plane . . . . . . . . 69
5.2.2 The Result of the Averaging Process . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Averaging the Flat Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 The Perturbed Two-Sphere 77
6.1 The Perturbed Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 The Perturbed Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 The Maximally Smooth Dyad Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 The Perturbed Connector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Alternative Computation of the Parallel Transport. . . . . . . . . . . . . . 86
6.6 The Averaging Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.7 The Average Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.8 The Coordinate Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Averaging the Three-Sphere 93
7.1 The Metric from Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 The Geodesics and the Connector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 The Maximally Smooth Triad Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 The Result of the Averaging Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 Averaging the Perturbed Three-Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5.1 The Metric from Stereographic Projection . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5.2 The Geodesics and the Connector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5.3 The Maximally Smooth Triad Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8 The Gaussian shaped Perturbation 105
8.1 Finite Element Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Approximation of curved boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 The Perturbed Two-Sphere Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

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