Modèle macroscopique de la dispersion diphasique en milieux poreux et fracturés, Hydrodynamic mixing in two-phase flow through heterogeneous and fractured porous media

De
Publié par

Sous la direction de Mikhail Panfilov
Thèse soutenue le 27 octobre 2006: INPL
L’objectif est de construire le modèle homogénéisé d’un écoulement diphasique en milieu poreux et fracturé, en mettant en évidence le phénomène de mélange dynamique (mixing) entre les phases, provoqué par l’hétérogénéité du milieu. L’attention est concentrée sur l’influence de la capillarité. L’homogénéisation à double échelle a été appliquée. Le mixing se manifeste sous forme de la dispersion hydrodynamique et de l’advection renormalisée. Le tenseur de dispersion, déterminé à travers le problème cellulaire, est une fonction non linéaire de la saturation, vitesse d’écoulement, rapport de viscosité et du nombre capillaire. Pour les milieux fracturés, une méthode streamline configurations a été avancée pour le cas diphasique. Elle permet d’obtenir la dispersion et la perméabilité effective sous forme analytique pour des réseaux de fracture périodiques, ou semi-analytique pour des réseaux aléatoires. La simulation d’un déplacement diphasique à la base du nouveau modèle a été réalisée
-Dispersion hydrodynamique
-Vitesse d'écoulement
-Ecoulement diphasique
-Diffusion capillaire
The objective of the thesis is to develop the homogenized model of a two-phase flow through a porous and fractured medium by highlighting the dynamic mixing between the phases, caused by the medium heterogeneity. Attention is focused on the influence of the capillarity. The two-scale homogenization is applied. The mixing is manifested in form of the hydrodynamic dispersion and renormalized advection. The dispersion tensor, determined by the cell problem, is a nonlinear function of saturation, flow velocity, viscosity ratio and capillary number. For a fractured medium the method of streamline configurations was advanced for a two- phase case. This method enables to obtain the dispersion tensor and the effective permeability in analytical form for periodic fractured networks or in semi-analytical form for random networks. The simulation of two- phase displacement based on the new model is performed
-Porous media
-Capillarity
-Homogenization
Source: http://www.theses.fr/2006INPL064N/document
Publié le : lundi 24 octobre 2011
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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Ecole Nationale Sup´erieure de G´eologie de Nancy
Laboratoire Environnement, G´eom´ecanique et Ouvrages
Ecole Doctorale RP2E
THESE
Pr´esent´ee en vue de l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’I.N.P.L.
Sp´ecialit´e :
G´enie civil - Hydrosyst`emes - G´eotechnique
par
Sergey SKACHKOV
Mod`ele macroscopique de la
dispersion diphasique en milieux
poreux et fractur´es
Composition du juri :
Jean-Louis AURIAULT Rapporteur
Christopher FARMER Examinateur
Mouaouia FIRDAOUSS Rapporteur
Christian MOYNE Pr´esident
Mikhail PANFILOV Directeur de th`ese
Alexandre SHANDRYGIN Invit´e
La date de soutenance : le 27 octobre 2006A tous mes proches et mes amis
J’ai consacr´e toute ma vie!
Mais dans le temps qu’ils m’ont laiss´e
J’ai essay´e de bien bosser ...
Archie
Ce que ne nous tue pas nous rend plus fort
Ma deviseRemerciements
Je tiens `a remercier Monsieur Mikhail Panfilov d’avoir dirig´e cette th`ese
et de m’avoir aid´e a` d´evelopper mes capacit´es scientifiques.
JeremercievivementMonsieurChristianMoynedem’avoirfaitl’honneur
de pr´esider mon jury de th`ese. Je remercie ´egalement Messieurs Jean-Louis
Auriault et Mouaouia Firdaouss, mes rapporteurs, ainsi que Monsieur Chris-
topher Farmer d’avoir bien voulu examiner ce travail.
Jetiens`aremercierleCentreTechnologiquedeSchlumbergera`Abingdon
pour le financement de ma th`ese.
Jeremercieenfinmesamisetcoll`egues,quim’ontbeaucoupaid´ependant
ces trois ans de th`ese.Qualit´es des membres du jury
Professeur des Universit´es
Jean-Louis AURIAULT
Domaine universitaire BP 53
Rapporteur
38041 Grenoble cedex 9, France
Professor, Oxford University,
Scientific Advisor of Schlumberger
Christopher FARMER
Abingdon Technology Center, Lambourn Court,
Examinateur Wyndyke Furlong, Abingdon Business Park,
Abingdon, Oxfordshire, OX14 1UJ, UK.
Maˆıtre de conf´erences Paris VI, HDR
Mouaouia FIRDAOUSS
LIMSI-CNRS BP133 F-91403 ORSAY, France
Rapporteur
Sp´ecialit´e : m´ecanique des fluides, milieux poreux
Professeur,
LEMTA, BP 160, 2 avenue de la Forˆet de Haye,Christian MOYNE
54504 Vandoeuvre, FRANCEPr´esident
Sp´ecialit´e : m´ecanique des fluides
Professeur,
L’Institut National Polytechnique de Lorraine,
Mikhail PANFILOV
ENSG,LEMTA,BP160,2avenuedelaForetdeHaye,
Directeur de th`ese 54502,Vandoeuvre-l`es-Nancy, France.
Sp´ecialit´e : M´ecanique, G´enie m´ecanique, G´enie civil
Scientific Advisor of Schlumberger,
Alexandre SHANDRYGIN
9, Taganskaya str. Moscow, Russia
Invit´e Sp´ecialit´e : hydrodynamique souterraine
4Table des mati`eres
1 Probl`eme de la dispersion hydrodynamique 11
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Etat de l’art et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 A propos de la th´eorie actuelle de dispersion hydrody-
namique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Etude th´eorique du m´elange diphasique . . . . . . . . . 15
1.1.4 Dispersion diphasique comme une fonction de la satu-
ration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 M´ethode de l’homog´en´eisation . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Probl`eme de l’´ecoulement diphasique en milieu h´et´erog`ene . . 19
1.2.1 Equations de l’´ecoulement diphasique . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Conditions aux limites et conditions initiales . . . . . . 20
1.2.3 Formulation sous la forme de pression moyenne . . . . 22
2 Homog´en´eisation du premier ordre de l’´ecoulement dipha-
sique 23
2.1 Homog´en´eisationdupremierordredel’´ecoulementdiphasique
sans forces capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Particularit´e de probl`eme sans forces capillaires . . . . 24
2.1.2 Homog´en´eisation. Algorithme g´en´eral . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Formulation `a deux ´echelles . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 A propos de l’ordre du mod`ele macroscopique . . . . . 26
2.1.5 Equations moyennes non ferm´ees . . . . . . . . . . . . 26
2.1.6 Fonctions oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.7 Mod`ele homog´en´eis´e : d´erivations . . . . . . . . . . . . 28
2.1.8 Equation g´en´erale homog´en´eis´ee de transport . . . . . 28
2.1.9 Conditions homog´en´eis´ees aux limites et initiales . . . 29
2.2 Homog´en´eisation de l’´ecoulement diphasique avec les forces
capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Formulation a` deux ´echelles . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Expansions asymptotiques a` deux ´echelles . . . . . . . 31
52.2.3 Fonctions oscillantes. Probl`emes cellulaires. . . . . . . . 31
2.2.4 Mod`ele macroscopique ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Mod`ele homog´en´eis´e avec dispersion . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Mod`ele d’´ecoulement effectif dans le cas g´en´eral . . . . 33
2.3.2 Perm´eabilit´e absolue effective . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.3 Tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.4 S´eparation des variables rapides et lentes dans les pro-
bl`emes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5 Trois probl`emes basiques avec les variables rapides s´e-
par´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.6 Equivalence entre la dispersion et la pression capillaire
renormalis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Analyse du tenseur de dispersion diphasique 40
3.1 Propri´et´es basiques du tenseur de dispersion diphasique . . . . 41
3.1.1 Asym´etrie du tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 A propos de la d´efinition positive du tenseur de diffu-
sion capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Simulationdutenseurdedispersiondansunmilieubi-perm´eable 45
3.2.1 Description de cas examin´e. . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Simulation de perm´eabilit´e effective . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Simu des probl`emes cellulaires pour la dispersion 47
3.2.4 Calcul du tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.5 Tenseur de dispersion en fonction de la saturation . . . 49
3.2.6 Comparaison avec les donn´ees connues . . . . . . . . . 49
3.3 Simulation du tenseur de dispersion sous la forme de la pres-
sion capillaire renormalis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Description du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Simulations de la pression capillaire renormalis´ee . . . 52
4 Dispersion en milieu fractur´e 56
4.1 Probl`emes cellulaires pour le tenseur de dispersion en milieu
fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 La propri´et´e non locale du probl`eme cellulaire pour le
tenseur de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Structure du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.3 Cas limite des fractures minces . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Probl`eme cellulaire pour la perm´eabilit´e effective en milieu
fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 La forme limite du probl`eme cellulaire . . . . . . . . . 61
64.2.2 Solution pour un probl`eme cellulaire de perm´eabilit´e
effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.3 Tenseur de perm´eabilit´e effective . . . . . . . . . . . . 63
4.2.4 D´etermination de la vitesse de transport . . . . . . . . 63
5 M´ethode de ”Stream configuration” 65
5.1 Ph´enom`ene de d´eg´en´erescence de la ”stream configuration” . . 66
5.1.1 Formulation ´equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 Non-unicit´e du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 R´egularisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Restriction g´en´erale pour les configurations des flux . . 70
5.2.2 S´election des configurations des flux ind´ependants . . . 71
5.2.3 Conditions des configurations . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Solution pour le probl`eme cellulaire . . . . . . . . . . . 73
5.3 Comportement du tenseur de dispersion. Dispersion singuli`ere 74
5.3.1 Solution pour le tenseur de dispersivit´e . . . . . . . . . 74
5.3.2 Simulation de la dispersivit´e . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.3 Effet de la dispersion singuli`ere . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.4 Comparaison avec les autres r´esultats . . . . . . . . . . 78
5.3.5 Conclusion pour le chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Upscaling du milieu fractur´e d´esordonn´e 82
6.1 Approche semi-analytique de l’upscaling de la perm´eabilit´e en
milieu poreux fractur´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.1 Homog´en´eisation et upscaling . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1.2 Perm´eabilit´e en milieu poreux fractur´e . . . . . . . . . 84
6.1.3 D´ecomposition de la contribution de la matrice et des
fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Calcul de la perm´eabilit´e ´equivalente des fractures . . . . . . . 87
6.2.1 Structure du r´eseau des fractures . . . . . . . . . . . . 87
6.2.2 Forme limite du probl`eme cellulaire pour la perm´eabilit´e 88
6.2.3 Solution pour le probl`eme cellulaire . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Solution pour la perm´eabilit´e ´equivalente . . . . . . . . 89
6.2.5 Existence et unicit´e de solution . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.6 D´emonstration de l’existence et de l’unicit´e d’une so-
lution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2.7 Simulations num´eriques de la perm´eabilit´e ´equivalente 93
6.2.8 Upscaling avec ”bordering” . . . . . . . . . . . . . . . . 95
77 D´eplacement diphasique avec dispersion 97
7.1 Simulation de d´eplacement immiscible ”huile-eau” . . . . . . . 98
7.1.1 Description physique du test num´erique. . . . . . . . . 98
7.1.2tion math´ematique pour le cas I . . . . . . . . . 99
7.1.3 Description math´e pour les cas II et III . . . . 101
7.1.4 R´esultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Dispersion dans le mod`ele ”black-oil” . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.1 Mod`ele classique ”black-oil” pour un d´eplacement
”huile-gaz” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.2 Principe d’insertion de l’effet de la dispersion dans le
mod`ele black-oil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2.3 Transformation dans l’´equation de transport pour la
saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2.4 Introduction directe de la dispersion dans le mod`ele
black-oil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.5 Introduction de la dispersion par la renormalisation de
la pression capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8Table des figures
2.1 Fonction Φ(S) et pression capillaire renormalis´eP (S) sous lac
forme adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Cellule unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Solutions du probl`eme pour la perm´eabilit´e effective,ψ (y) et1
ψ (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
3.3 Comportement caract´eristique de la fonctionC(s) . . . . . . . 47
3.4 Solution du probl`eme cellulaire pour le tenseur de dispersion,
ϕ (y),pourlesdiff´erentesdirectionsd’´ecoulementmacroscopique 481
3.5 Solution du probl`eme cellulaire pour le tenseur de dispersion,
ϕ (y), pour les diff´erentes directions d’´ecoulement macrosco-2
pique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 D´ependance de la dispersion longitudinale et ses parties
convectiveetcapillaireenfonctiondelasaturationpourl’´ecou-
−6 2lement macroscopique horizontal,×10 m /s . . . . . . . . . 50
3.7 Dispersion longitudinale en fonction de la saturation pour les
−6 2diff´erentes directions d’´ecoulement,×10 m /s . . . . . . . . 50
3.8 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopiquec,ik
orient´e selon l’axe x (cas 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
3.9 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopique
c,ik
orient´e selon l’axe x (cas 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
3.10 Quatre composantes de la pression capillaire tensorielle re-
f˜normalis´ee, P (s) [KPa], pour l’´ecoulement macroscopiquec,ik
orient´e selon 40˚par rapport a` l’axe.x (cas 3) . . . . . . . . . 541
4.1 Structure du milieu fractur´e (a) et une cellule (b) . . . . . . . 58
4.2 Sch´ema pour obtenir la loi de conservation dans un nœud . . . 62
9

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