Modélisation de la fragmentation dynamique par la méthode des éléments discrets, Modeling of the dynamic fragmentation using a discrete element method

De
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Sous la direction de Arezou Modaressi, Jean-François Molinari
Thèse soutenue le 31 janvier 2011: Ecole centrale Paris
L'objectif de ce travail de thèse a été de modéliser avec une méthode aux éléments discrets la fracturation en tension, et plus particulièrement la fragmentation dynamique, sur des matériaux fragiles pour de hautes vitesses de déformation. La fragmentation est un phénomène irréversible, non linéaire et aléatoire. Elle intervient dans de nombreux domaines de la vie courante, quelque soit l'échelle considérée. La modélisation numérique de ce phénomène permettrait une prédiction de certains paramètres statistiques de la fragmentation, comme le nombre de fragments, la taille des fragments, la distribution de la taille des fragments, etc. Pour cette thèse, la Méthode des Éléments Discrets (DEM) s'est révélée être un excellent moyen pour simuler la fracturation en raison de sa nature discrète. Toutefois, une bonne méthode de simulation numérique ne suffit pas à elle seule pour modéliser la fragmentation dynamique. Un critère de rupture doit également être inséré, afin d'introduire un endommagement. Ce critère de rupture s'écrit au niveau d'un lien entre deux particules et il engendre un dommage, en faisant décroître la contrainte locale jusqu'à l'obtention d'une fissuration discrète. Dans un premier temps, un critère de rupture de Camacho-Ortiz |24| a été introduit dans une méthode aux éléments discrets. Ce critère se traduit par un endommagement en fonction d'une ouverture de fissure. Ce premier critère a donné de bons résultats comparé à ceux de |69, 88, 97, 143-147| sur la convergence des paramètres de la fragmentation sur des cas simples, mais nécessite un grand nombre de particules. Dans un second temps, afin d'envisager la modélisation de la fragmentation sur des cas plus complexes en trois dimensions à de hautes vitesses de déformation, un second critère de rupture a été introduit. Ce critère de rupture s'appuie sur une approche physique différente, qui prend en compte l'hétérogénéité des matériaux fragiles avec leurs défauts susceptibles d'évoluer et de provoquer une rupture locale. Pour cela, il fait intervenir une loi probabiliste de Weibull afin d'introduire des défauts par élément de volume. Ce critère a été développé par C. Denoual, P. Forquin et F. Hild |29, 33, 42-44|. Tout d'abord, ce second critère de rupture a été testé sur des cas simples en obtenant une convergence des paramètres statistiques de la fragmentation avec un nombre environ $10$ fois moins important de particules que pour la première méthode. Un cas plus complexe en trois dimensions de modélisation de barre d'Hopkinson en trois dimensions a permis de tester de manière « qualitative » la méthode.
-Méthode des éléments discrets
-Critère de rupture de Camacho-Ortiz
-Critère de rupture probabiliste de Weibull
The objective of this thesis work is to model the high-strain rate and dynamic fragmentation of brittle materials using the Discrete Element Method. Fragmentation is an irreversible, nonlinear and random phenomenon.It can be found in many practical applications in engineering and can take place at various length scales. This research work takes advantages of computer simulations to model this phenomenon and to predict a few statistical parameters related to fragmentation including number, size, and size distribution of fragments. To this effect, the Discrete Element Method was found to simulate efficiently fracturing, which is a discrete phenomenon by nature. However, an efficient computer simulation is not sufficient for representing fragmentation. It also needs to account for a rupture criterion and a damage criterion. This rupture criterion is defined at the contact points between particles where it generates a local damage that decreases the local stress until a discrete crack appears. In a first step, the rupture criterion of Camacho-Ortiz |24| has been introduced in the Discrete Element Method. This criterion expresses damage as a function of crack opening. When the local stress reaches a rupture threshold, it decreases linearly with the crack opening until the rupture is obtained. This first criterion gives good results on the convergence of fragmentation parameters in simple cases |69, 88, 97, 143-147|, but requires a great number of particles. In a second step, another rupture criterion has been introduced for simulating the fragmentation of more complex three-dimensional structures for high-strain rates. This rupture criterion is based on a different physical approach that accounts for heterogeneous brittle materials with defects. These defects can evolve and cause local failure. They are introduced per unit volume elementusing a Weibull probability distribution |29, 33, 42-44|. This distribution depends on the local stress until the local stress reaches an activation threshold. After that, the defects propagate and form areas of relaxation in which defect cannot evolve. The damage evolves as these areas of relaxation evolve. This second rupture criterion has been validated in simple cases by examining the convergence of the statistical parameters of fragmentation. Compared to the first criterion, the second criterion requires ten times fewer particles. After, a more complex three-dimensional case, dynamic tensile tests in Hopkinson bars, has been treated.
-Discrete element method
-Rupture criterion of Camacho-Ortiz
-Weibull probability rupture criterion
Source: http://www.theses.fr/2011ECAP0010/document
Publié le : mardi 1 novembre 2011
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w
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97,
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147],
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t
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particles.
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a
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It
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Camac
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[24]
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b
b
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y
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v
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tation.
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This
rst
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the
expresses
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particles.
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b
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stress
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threshold,
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Con
linearly
ergence
with
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k
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b
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Les
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Metho
7
1.1
1
.
In
description
tro
.
duction
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
dèles
.
.
.
.
.
discret
.
.
.
critère
.
.
.
.
.
de
.
.
.
.
.
la
.
the
.
.
.
.
.
the
.
.
.
.
.
.
.
.
7
.
2
Expression
La
w
fragmen
.
tation
.
et
.
ses
.
diéren
1.5
ts
.
mécanismes
.
ph
.
ysiques
45
asso
La
ciés
élémen
.
.
.
.
.
.
8
.
2.1
.
La
4.1
fragmen
.
tation
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
ts
.
ts
.
.
.
.
.
.
.
4.3
.
élémen
.
y
.
thèse
.
.
.
5
.
rupture
.
[24]
.
.
.
.
.
.
.
6
.
étude
.
.
8
.
2.2
.
Quelques
.
domaines
délisation
d'applications
tation
de
tation
la
Elemen
fragmen
.
tation
.
.
.
.
.
.
e
.
.
.
.
9
.
2.3
.
La
.
ph
.
ysique
1.2
de
the
la
.
rupture
.
.
.
.
43
.
forces
.
b
.
particles
.
.
.
1.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
.
3
.
Les
7
diéren
4
tes
métho
métho
des
des
ts
n
.
umériques
.
p
.
our
.
mo
.
déliser
.
la
.
fragmen
.
tation
.
dynamique
.
.
30
.
In
.
duction
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.2
.
diéren
.
mo
.
élémen
.
discrets
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
.
Le
.
dèle
.
t
.
emplo
18
é
3.1
cette
In
.
tro
.
duction
.
.
32
.
Le
.
de
.
de
.
ho-Ortiz
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
.
Conclusion
.
cette
.
bibliographique
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
.
Mo
.
de
.
fragmen
.
41
18
Presen
3.2
of
Les
Discrete
mo
t
dèles
d
énergétiques
.
[5,
.
60]
.
.
.
.
.
.
.
.
43
.
Shap
.
of
.
particles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
.
3.3
43
Les
Geometrical
métho
of
des
system

.
classiques
.
basées
.
sur
.
les
.
élémen
.
ts
.
nis
1.3
.
of
.
and
.
ts
.
et
22
een
3.4
.
Les
.
métho
.
des
44
non
Numerical
basées
heme
sur
.
les
.
élémen
.
ts
.
nis
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
.
Cohesiv
28
la
3.5
.
Mo
.
délisation
.
de
.
la
.
propagation
.
des
.
ondes
.
de
.
c
.
ho
.
c
.
[112]
.
.
.
.
.
.
T
tel-00601766, version 1 - 20 Jun 2011.
c
.
ABLE
.
DES
.
MA
.
TIÈRES
.
2
.
Dynamic
ts
fragmen
.
tation
.
of
.
a
du
Ceramic
.
b
eibull
eam
5
.
64
.
.
.
mécaniques
.
2.2
.
v
.
.
.
pro
.
.
.
.
.
défauts
.
.
.
de
.
.
.
ultiple
.
77
46
discrets
2.1
un
Problem
probabiliste
denition
.
.
.
.
2
.
collectif
.
.
.
rupture
.
2.3
.
.
.
.
.
Les
.
.
.
c
.
.
.
.
.
.
.
yp
.
70
.
P
.
.
.
la
.
72
.
.
.
.
.
73
.
délisation
46

2.2
.
Numerical
.
results
probabiliste
.
.
.
résultats
.
de
.
duction
.
de
.
In
.
.
.
.
.
.
.
.
.
défauts
.
66
.
.
.
.
.
.
.
con
.
.
.
.
.
helle
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
47
.
3
3
Conclusions
tation
.
de
.
.
.
.
.
.
.
La
.
eibull
.
.
.
70
.
dèle
.
faible
.
de
.
de
.
.
.
.
.
.
.
71
.
81
.
.
.
v
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
paramètres
.
.
.
de
.
dèle
.
ccultation
.
.
.
.
.
v
52
.
3
mo
Élémen
de
ts
.
discrets
.
en
.
deux
8
dimensions
de
a
ho-Ortiz
v
In
ec
mo
un
une
critère
élé-
de
65
rupture
duction
de
.
Camac
.
ho-Ortiz
.
53
.
1
.
In
.
tro
.
duction
.
.
des
.
les
.
matériau
.
Le
.
défauts
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ersion
.
tes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
eets
.
notion
.
eectif
.
eectiv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
.
tes
.
probabilistes
.
.
.
.
53
.
2
délisation
Mo
de
dèlisation
:
n
prob-
umérique
eibull
a
.
v
.
ec
.
un
.
critère
.
de
.
rupture
70
de
de
Camac
de
ho-Ortiz
.
in
.
tro
.
duit
.
dans
Les
des
du
élémen
princip
ts
le
discrets
.
d'une
Mo
plaque
ation
2D
une
en
bilité
traction
.
bi-
.
axiale
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Caractérisation
.
de
.
.
.
.
.
.
.
Inuence
.
et
.
v
.
olume
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Caractérisation
.
de
.
.
.
4
.
pro
.
tation
.

.
Denoual
.
dèle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
Caractérisation
2.1
d'endommagemen
Les
.
conditions
.
initiales
tation
.
d'endommagemen
.
le
.
élémen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
des
.
a
.
ec
.
critère
.
rupture
.
Camac
.
.
.
4
.
tro
.
d'un
.
dèle
.
dans
.
métho
.
aux
54
men
2.2
discrets
Les
1
paramètres
tro
du
.
matériau
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
.
Inuence
.

.
sur
.
propriétés
54
d'un
2.3
.
Les
2.1
diéren
rôle
ts
des
t
.
yp
.
es
.
de
.
maillages
.
utilisés
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
.
Disp
.
des
.
train
.
de
.
.
.
.
.
.
55
.
3
.
Résultats
.
.
.
.
67
.
Les
.
d'éc
.
:
.
de
.
olume
.
ou
.
surface
.
e
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.4
.
diéren
.
appro
.
hes
.
[84]
.
.
.
.
.
.
.
.
56
.
3.1
68
Étude
Mo
de
d'un
la
cessus
con
fragmen
v
simple
ergence
appro
des
he
diéren
abiliste
tes
W
énergies
[84]
en
.
fonction
.
du
.
nom
.
bre
.
de
.
particules
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.1
.
genèse
.
l'appro
.
he
.
W
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.2
.
h
56
othèses
3.2
mo
Les
:
fragmen
e
ts
lien
.
plus
.
.
.
.
.
3.3
.
délisation
.
l'activ
.
des
.
par
.
loi
.
proba-
.
de
.
oisson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3.4
.
de
58
densité
3.3
défauts
Impact
.
du
.
t
.
yp
.
e
.
de
.
maillage
3.5
sur
du
la
olume
fragmen
dénition
tation
la
.
ariable
.
v
.
eectif
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
.
3.4
.
Inuence
.
du
.
degré
.
de
.
disp
.
ersion
.
p
.
our
.
les
.
maillages
3.6
aléatoires
des
de
statistiques
V
W
oronoi
.
sur
.
les
75
résultats
Mo
.
d'un
.
cessus
.
fragmen
.
m
.
:
.
mo
.
de
.
ou
.
mo
.
d'o
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
4.1
3.5
d'une
Analyse
ariable
des
t
résultats
.
du
.
mo
.
dèle
80
2D
Implémen
.
du
.
dèle
.
t
.
dans
.
co
.
aux
.
ts
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
.
4
.
Syn
v
thèse
T
λ
Zeff
tel-00601766, version 1 - 20 Jun 2011p
.
Les
ABLE
.
DES
.
MA
.
TIÈRES
délisation
5.1
Conclusions
In
.
tro
.
duction
en
d'une
diéren
con
.
train
élémen
te
.
seuil
.
9
.
117
Applications
aléatoire
.
.
.
.
taux
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
d'Hopkinson
5.2
.
Dimensionnemen
.
t
les
du
.
problème
.
.
113
.
.
.
.
.
tro
.
.
.
.
.
.
.
.
.
les
.
es
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Barres
.
.
.
essais
83
.
5.3
.
Description
.
du
trois
c
par
hangemen
probabiliste
t
.
de
.
v
.
ariable
conditions
utilisé
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
98
5.4
1
In
.
tégration
.
formelle
.
de
.
la
.
loi
.
d'endommagemen
.
t
.
p
101
our
d'Hopkinson
l'expan-
exp
sion
quelques
de
ysiques
défauts
.

.
surfacique
.
(2D)
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1
.
tests
.
.
.
.
.
.
.
2.2
.
érimen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
84
umérique
5.5
de
In
traction
tégration
com
formelle
discrets/métho
de
Denoual
la
.
loi
.
d'endommagemen
.
t
.
p
.
our
.
l'expan-
3.1
sion
limites
de
des
défauts
105

c
v
.
olumique
.
(3D)
.
.
.
.
.
.
.
.
Conclusions
.
ectiv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
85
101
5.6
In
Calcul
duction
de
.
l'endommagemen
.
t
.
Bibliographie
.
à
.
c
.
haque
.
pas
.
de
.
temps
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
.
6
2
T
barres
ests
:
de
tests
v
érimen
alidation
et
de
princip
la
ph
loi
mis
.
jeux
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
.
Les
.
ts
.
de
.
d'Hopkinson
.
.
.
.
.
.
.
.
88
.
6.1
102
T
Les
est
exp
de
taux
traction
.
dynamique
.
sur
.
deux
.
particules
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
.
Mo
.
n
88
en
6.2
dimensions
T
barre
est
en
de
dynamique
traction
une
sur
binaison
une
ts
barre
de
en
de
une
.
dimension
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
.
6.3
.
T
.
raction
105
biaxiale
Les
sur
aux
une
et
plaque
paramètres
en
matériaux
céramique
.
.
4
.
du
.
hapitre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
96
.
7
.
Conclusions
.
du
.
c
.
hapitre
.
.
111
.
et
.
ersp
.
es
.
.
T
σk
D
tel-00601766, version 1 - 20 Jun 201110
MA
TIÈRES
ABLE
DES
T
tel-00601766, version 1 - 20 Jun 2011

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