Modélisation et étude numérique de quelques écoulements de fluides complexes en micro-fluidique

Julien Dambrine

Description

Sous la direction de Thierry Colin, Mathieu Colin
Thèse soutenue le 07 décembre 2009: Bordeaux 1
Ce document est consacré à l’étude de quelques écoulements de ?uides complexes appliquée à la micro-?uidique. Deux études indépendantes sont e?ectuées : d’une part l’étude des mélanges de ?uides Newtoniens dans des micro-canaux ?ns, et d’autre part l’étude d’écoulements de Micelles géantes (?uides non-Newtoniens). Dans chaque étude on traite tout d’abord des modèles en détail, puis on e?ectue une étude numérique des modèles en question. Dans la première partie nous traiterons de l’hydrodynamique de mélanges de ?uides de di?érentes viscosités en régime de Stokes. Nous dériverons alors un modèle réduit de type Reynolds à partir du modèle complet de Stokes. Cette réduction de modèle est particulièrement adaptée à des écoulements dans des micro-canaux dont le rapport d’aspect largeur/hauteur est important. Les modèles obtenus au ?nal peuvent être 2D ou bien 2.5D (2D pour la pression 3D pour le mélange) selon que l’on souhaite ou non prendre en compte les variations de viscosité dans la direction ”?ne”. De plus, les conditions aux limites en haut et au fond du canal pour le modèle complet (canal à reliefs, motifs de matériaux glissants) apparaissent dans le modèle réduit comme de simples coe?cients de résistance à l’écoulement. Un résultat d’existence de solution est donné pour le modèle 2D. Une méthode numérique est alors donnée pour approcher ces modèles. Cette méthode numérique est basée sur une discrétisation des équations sur une grille cartésienne, ce qui permet une résolution rapide des systèmes linéaires obtenus après discrétisation. Deux études numériques sont alors menées, tout d’abord une étude de l’inter-di?usion de deux ?uides dont les viscosités sont différentes dans des expériences dites de ”co-?ow”, puis une autre étude sur des écoulements mono-?uides pour des canaux à reliefs et à surfaces glissantes utilisant des modèles 2.5D adaptées. La deuxième partie de ce document est consacrée à l’étude d’éecoulements micro-?uidiques de micelles géantes en solution. Ce type particulier de ?uide a tendance à former spontanément dans l’écoulement des phases dont les propriétés mécaniques peuvent être très di?érentes. (...) Cette étude a permis en particulier de déterminer le rôle exact de la di?usion dans le modèle. Une deuxième étude concernant des écoulements 3D dans des jonctions micro-?uidiques en T a permis de mieux comprendre les phénomènes étranges observés sur la répartition des débits dans les branches de sortie de ces jonctions.
-Modélisation mathématique
-Calcul scientifique
-Micro-fluidique
-Mélanges
-Domaines fins
-Micelles géantes
Abstract
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13918/document

Sujets

• Calcul (mathématiques)

Informations

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Extrait

N˚d’ordre : 3918
`THESE
´ ´PRESENTEE A
´L’UNIVERSITE BORDEAUX 1
´ ´ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE
Par DAMBRINE, Julien
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
´ ´SPECIALITE : Math´ematiques Appliqu´ees et Calcul Scientifique
´ ´ ´MODELISATION ET ETUDE NUMERIQUE DE
´QUELQUES ECOULEMENTS DE FLUIDES
COMPLEXES EN MICRO-FLUIDIQUE
Th`ese dirig´ee par COLIN, Thierry et COLIN, Mathieu
Soutenue le : 07/12/09
Apr`es avis de :
M. BOYER, Franck, Universit´e Paul C´esanne (Aix Marseille III), Professeur
`M. LAGOUTIERE, Fr´ed´eric, Universit´e Paris-Sud 11, Professeur
Devant la commission d’examen form´ee de :
M. BOYER, Franck, Universit´e Aix-Marseille III, Professeur (rapporteur)
M. COLIN, Mathieu, Universit´e Bordeaux 1, Maˆıtre de conf´erences (directeur de th`ese)
M. COLIN, Thierry, Universit´e Bordeaux 1, Professeur (directeur de th`ese)
M. IOLLO, Angelo, Universit´e Bordeaux 1, Professeur (examinateur)
`M. LAGOUTIERE, Fr´ed´eric, Universit´e Paris-Sud 11, Professeur (rapporteur)
M. MIRANVILLE, Alain, Universit´e de Poitiers, Professeur (pr´esident du jury)
M. SALMON, Jean-Baptiste, CNRS, charg´e de recherches (invit´e)23
R´esum´e
Ce document est consacr´e `a l’´etude de quelques ´ecoulements de fluides complexes appliqu´ee a` la
micro-fluidique.Deux´etudesind´ependantessonteffectu´ees :d’unepartl’´etude desm´elanges defluides
Newtoniens dans des micro-canaux fins, et d’autre part l’´etude d’´ecoulements de Micelles g´eantes
(fluides non-Newtoniens). Dans chaque ´etude on traite tout d’abord des mod`eles en d´etail, puis on
effectue une ´etude num´erique des mod`eles en question.
Dans la premi`ere partie nous traiterons de l’hydrodynamique de m´elanges de fluides de diff´erentes
viscosit´es en r´egime de Stokes. Nous d´eriverons alors un mod`ele r´eduit de type Reynolds a` partir
mod`ele complet de Stokes. Cette r´eduction de mod`ele est particuli`erement adapt´ee `a des ´ecoulements
dans des micro-canaux dont le rapport d’aspect largeur/hauteur est important. Les mod`eles obtenus
au final peuvent ˆetre 2D ou bien 2.5D (2D pour la pression 3D pour le m´elange) selon que l’on
souhaite ou non prendre en compte les variations de viscosit´e dans la direction ”fine”. De plus, les
conditions aux limites en haut et au fond du canal pour le mod`ele complet (canal `a reliefs, motifs de
mat´eriaux glissants) apparaissent dans le mod`ele r´eduit comme de simples coefficients de r´esistance a`
l’´ecoulement.Unr´esultatd’existencedesolutionestdonn´epourlemod`ele2D.Unem´ethodenum´erique
estalorsdonn´eepourapprochercesmod`eles.Cettem´ethodenum´eriqueestbas´eesurunediscr´etisation
des ´equations sur une grille cart´esienne, ce qui permet une r´esolution rapide des syst`emes lin´eaires
obtenus apr`es discr´etisation. Deux ´etudes num´eriques sont alors men´ees, tout d’abord une ´etude de
l’inter-diffusion de deux fluides dont les viscosit´es sont diff´erentes dans des exp´eriences dites de ”co-
flow”, puis une autre ´etude sur des ´ecoulements mono-fluides pour des canaux a` reliefs et a` surfaces
glissantes utilisant des mod`eles 2.5D adapt´es.
La deuxi`eme partie de ce document est consacr´ee a` l’´etude d’´ecoulements micro-fluidiques de
micelles g´eantes en solution. Ce type particulier de fluide a tendance a` former spontan´ement dans
l’´ecoulement des phases dont les propri´et´es m´ecaniques peuvent ˆetre tr`es diff´erentes. Ces phases sont
appel´ees commun´ement ”bandes de cisaillement”, et l’origine de la formation de ces bandes de ci-
saillement tient dans les diff´erentes conformations (conformation align´ee, conformation enchevˆetr´ee)
possiblespourles micro-structuresformant ces fluides.Un mod`ele particulier a´et´e ´etudi´e pourd´ecrire
de tels ´ecoulements : le mod`ele de Johnson-Segalman diffusif. Ce dernier permet de rendre compte
de la transition entre phase align´ee et phase enchevˆetr´ee lorsque l’´ecoulement est cisaill´e. Toutefois,
ce mod`ele a un comportement instable dans un ´ecoulement poss´edant un composante d’´elongation
suffisamment forte. Il est donc n´ecessaire de modifier le mod`ele par l’ajout d’une non-lin´earit´e (qua-
dratique)danslaloidecomportement.Unem´ethodenum´eriqueaensuite´et´e d´evelopp´ee afind’´etudier
le mod`ele dans diverses situations. Deux probl`emes ont ´et´e mis en lumi`ere dans l’analyse num´erique
des ´equations : un probl`eme de stabilit´e li´e au couplage n´ecessaire entre la loi de comportement du
fluide et la loi de conservation de la quantit´e de mouvement, et un probl`eme d’oscillations parasites
sur la contrainte. Le premier probl`eme peut ˆetre r´esolu par la d´etermination d’une nouvelle condition
de stabilit´e sur le syst`eme, et le deuxi`eme par l’ajout syst´ematique d’un terme de diffusion dans les
´equations. Une premi`ere ´etude concernant la formation de bandes de cisaillement dans un canal droit
a alors ´et´e men´ee. Cette ´etude a permis en particulier de d´eterminer le roˆle exact de la diffusion dans
le mod`ele. Une deuxi`eme ´etude concernant des´ecoulements 3D dans des jonctions micro-fluidiques en
T a permis de mieux comprendre les ph´enom`enes ´etranges observ´es sur la r´epartition des d´ebits dans
les branches de sortie de ces jonctions.45
Table des mati`eres
Introduction 9
1) La micro-fluidique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
La micro-fluidique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2) Les probl`emes de m´elange dans l’approximation de lubrification . . . . . . . . . . . . . 12
Les probl`emes d’inter-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3) Les ´ecoulements de solutions de micelles g´eantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Les ´ecoulements de solutions de micelles g´eantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I M´elanges Newtoniens dans des domaines fins, mod`ele de Reynolds 23
1 Hydrodynamique d’un m´elange 27
1.1 Le suivi d’un m´elange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Mod`ele de Stokes pour un m´elange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.1 Construction sur la vitesse ”volumique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.2 Construction sur la vitesse ”massique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Approximation de Hele-Shaw 33
2.1 Mod`ele initial et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Adimensionnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 R´eduction du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Approximation de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1.1 Conditions d’adh´erence sur un canal a` reliefs . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1.2 Conditions de glissement sur un canal canal plat . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Mise en forme des ´equations surV et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Equation surφ, mod`eles 2D et 2.5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Mod`eles complets et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Mod`eles 2.5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Mod`eles 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Un r´esultat d’existence sur le mod`ele 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 M´ethodes num´eriques 49
3.1 Discr´etisation en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Traitement des probl`emes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1.1 Discr´etisation de l’´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53`6 TABLE DES MATIERES
3.2.1.3 Validation du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Calcul des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2.1 Discr´etisation de la loi de Darcy : calcul deu et v . . . . . . . . . . . 57
3.2.2.2 Int´egration num´erique : calcul des coefficients K et K . . . . . . . . . 571 2
3.2.2.3 Calcul des vitesses w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Traitement du transport . . . . . . . . .