Modélisation et simulation du comportement mécanique des milieux plastiques mous : mousses liquides, émulsions

Sylvain Bénito

Description

Sous la direction de Thierry Colin, Charles-Henri Bruneau
Thèse soutenue le 03 novembre 2009: Bordeaux 1
Ce travail traite de la modélisation du comportement mécanique de matériaux mous, tels que les mousses liquides et les émulsions. La description de la réponse mécanique de tels milieux nécessite la prise en compte de caractéristiques complexes: élasticité aux grandes déformations, écoulement plastique se produisant au delà d'un certain seuil de contrainte. Nous proposons un nouveau modèle mécanique incluant ces caractéristiques. Une analyse mathématique du couplage entre l'équation constitutive obtenue et l'hydrodynamique est proposée. Le travail s'achève avec une étude numérique du système dans un contexte d'écoulement bidimensionnel. Les simulations reproduisent certains phénomènes observés expérimentalement, tel que la formation de bandes de cisaillement.
-Mousses liquides
-Emulsions
-Fluides non newtoniens
-Rhéologie
-Elasticité
-Plasticité
-Grandes déformations
-Bandes de cisaillement
Abstract
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13858/document

Sujets

• Émulsion
• Rhéologie
• Élasticité
• Plasticité

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Mod´elisation et simulation du comportement
m´ecanique des milieux plastiques mous:
mousses liquides, ´emulsions
´BENITO Sylvain.
13 octobre 2009.Table des mati`eres
1 Description du mod`ele 8
1.1 Quelques ´el´ements de rh´eophysique des mousses . . . . . . . . 8
1.1.1 Structure et comportement d’une mousse . . . . . . . 8
1.1.2 Mousses et localisation de l’´ecoulement . . . . . . . . . 10
1.2 Ingr´edients du mod`ele physique et mod`ele scalaire . . . . . . 11
1.2.1 Perte de m´emoire, cons´equences . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Quel mod`ele rh´eologique? . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Description tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 D´ecomposition de la d´eformation . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Loi ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Plasticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 R´ecapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Hi´erarchie de syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.1 Le syst`eme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.2 Formulation adimensionnelle, hi´erarchie des mod`eles . 40
2 Th´eor`emes d’existence 42
2.1 Notations, rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Existence de solutions r´eguli`eres pourS etS . . . . . . . . 431 2
2.2.1 R´esolution du probl`eme lin´earis´e . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Preuve de l’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Probl`emeS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
2.3.1 Formulation ´equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Un r´esultat d’ellipticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Sch´emas num´eriques pour l’´etude de quelques ´ecoulements
bidimensionnels 64
3.1 Quelques ´ecoulements bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.1 Forme bidimensionnelle du syst`eme . . . . . . . . . . . 64
´3.1.2 Ecoulement de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . 66
´3.1.3 Ecoulement dansuncanal avec des conditions d’injec-
tion en entr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Sch´ema num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13.2.1 Equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Equation sur B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.4 Semi-discr´etisation en temps . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.5 Convergence du sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 R´esultats num´eriques 82
4.1 Cisaillement impos´e, cas homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.1.1 Trajectoiresdelad´eformationetdelacontrainte´elastiques
pour un cisaillement homog`ene . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.2 Influence des param`etres du mod`ele . . . . . . . . . . 87
4.2 Cisaillement impos´e, cas h´et´erog`ene . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.1 H´et´erog´en´eit´e de l’´etat initial des contraintes selon y
uniquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.2 H´et´erog´en´eit´e de l’´etat initial des contraintes selon x
et y simultan´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3 Canal avec des conditions d’injection en entr´ee . . . . . . . . 148
Bibliographie 153
2Introduction
Probl´ematique physique
Couplage entre la structure et la r´eponse m´ecanique dans les
mat´eriaux complexes
Historiquement,ladescriptionmath´ematiquedesfluidessousformed’´equations
aux d´eriv´ees partielles a d´ebut´e par celle des fluides simples. En l’absence
de toute connaissance sur la structure microscopique de ces fluides, et en
identifiant simplement cette structure `a celle d’un continu parfaitement ho-
mog`ene, des bilans fondamentaux de conservation de la quantit´e de mati`ere
etd’´equilibreslocauxdesforcesont´et´e´ecrits,donnantnaissanceaux´equations
de l’hydrodynamique classique. La mˆeme d´emarche a ´egalement permis
d’´etudier avec succ`es les propri´et´es ´elastiques des mat´eriaux solides.
Avec l’´emergence de l’´etude des fluides complexes d’une part et celle
des propri´et´es plastiques des solides d’autre part, ces deux descriptions ini-
tiales ont montr´e leurs limites. D’une part, certains mat´eriaux pr´esentent
des inhomog´en´eit´es de structure a` diff´erentes ´echelles : un fluide dans le-
quel se trouvent des objets solides en suspension, un solide cristallin dont
la structure est d´esordonn´ee aux ´echelles interm´ediaires entre l’atome et
le macroscopique en sont des exemples. De telles h´et´erog´en´eit´es rendent
probl´ematique le choix d’une ´echelle pour faire une description continue
et peuvent se coupler de fac¸on tout `a fait non triviale aux processus de
d´eformations (pour un solide) ou aux ´ecoulements (pour un fluide). Il ap-
paraˆıt donc unprobl`eme d’´echelle de description ainsi quede couplage entre
la structure et la r´eponse m´ecanique du mat´eriau.
Maisl’existencedeces´echelles interm´ediaires(dites”m´esoscopiques”)de
structuration (ordonn´ee ou d´esordonn´ee) peut avoir une autre cons´equence
plus suprenante encore. L’opposition entre les mat´eriaux ´elastiques (qui
poss´edent une ”m´emoire” parfaite de leur ´etat de repos) et les mat´eriaux
visqueux (qui ne sont soumis a` aucune contrainte interne ´elastique de ce
genre) fait alors place a` tout un spectre de mat´eriaux `a la fois ´elastiques
et visqueux, ou a` la fois ´elastiques et plastiques, voire les trois a` la fois
(voir [28]). Comment construire alors un formalisme continu capable d’in-
clure une telle multiplicit´e de r´eponse m´ecanique? En particulier, quel est
3dans un tel formalisme la place d’un ´etat de r´ef´erence qui ne peut plus ˆetre
unique,maisquiau contrairepeut´evoluer avec les changements structuraux
du mat´eriau?
Le cas exemplaire des mousses
Les mousses constituent un exemple particuli`erement clair de l’ensemble
des questions ´enonc´ees au paragraphe pr´ec´edent (voir [21]). Pr´ecisons qu’ici
nous entendons par mousse un mat´eriau constitu´e de l’empilement plus ou
moins compact de bulles remplies de gaz, s´epar´ees par des parois liquides.
L’exempledesmoussesestembl´ematiquepuisquecesmat´eriauxpr´esentent
des h´et´erog´en´eit´es de structure associ´ees a` diff´erentes ´echelles spatiales :
• a` l’´echelle atomique : on se trouve soit dans la phase liquide (entre les
bulles) soit dans la phase gazeuse (dans les bulles), soit `a la limite
entre les deux. A cette ´echelle nous avons affaire `a des propri´et´es de
fluides simples, mais aussi des propri´et´es d’interfaces, essentielles et
tr`es subtiles `a d´ecrire (rappelons qu’une mousse est rendue possible
par des mol´ecules tensio-actives qui, incluses dans la phase liquide,
stabilisent ces interfaces et sans lesquelles ”c¸a ne mousse pas”!).
• `a l’´echelle de quelques microns : a` cette ´echelle nous avons par exemple
acc`es `a la description hydrodynamique des ´ecoulements de la phase
liquide dans les bords de Plateau, c’est-a`-dire les r´eseaux de canaux
d´elimit´es par trois bulles. De tels tranferts liquides au niveau des in-
terfaces peuvent avoir des effets tr`es importants.
• a` l’´echelle de la bulle (entour´ee de ses facettes, elles mˆemes limit´ees par
des arˆetes et des sommets) : la structure de la mousse, a` l’´echelle de
la bulle est le plus souvent d´esordonn´ee : des bulles de tailles tr`es
diff´erentes coexistent, dans des arrangements locaux variables.
En ce qui concerne la coexistence d’un comportement ´elastique et d’un
comportementvisqueux,lamousseestaussiunexemplemod`ele.Unemousse
s’´ecoulecommeunliquidetr`esvisqueuxsionlasolliciteassezfortm´ecaniquement.
Maispourdessollicitationsfaibles,ellesecomportecommeunsolide´elastique:
elle se d´eforme, puis revient `a l’´etat intitial lorsque la sollicitation cesse. Il
existe donc un seuil en dessous duquel la mousse ne coule pas : cette pro-
pri´et´e caract´erise la plasticit´e du mat´eriau.
Enfin, le couplage entre structure et ´ecoulement : la structure de la
mousse, microscopique ou m´esoscopique, influe bien suˆr directement sur ses
propri´et´es d’´ecoulement. Mais r´eciproquement, lors des ´ecoulements, les ar-
rangements locaux de bulles se modifient et la structure change!
Localisation de l’´ecoulement
Il s’agit d’un ph´enom`ene observ´e dans de nombreux syst`emes de fluides
visco-´elastiques tels que les micelles g´eantes (voir [8]) ou certaines solutions
4de polym`eres (voir [27