Modélisation multi-échelle des matériaux viscoélastiques hétérogènes : application à l'identification et à l'estimation du fluage propre de bétons d'enceintes de centrales nucléaires, Multiscale modeling of viscoelastic heterogeneous materials : application to the identification and estimation of the basic creep of concrete of containment vessels of nuclear power plants

De
Publié par

Sous la direction de Qi-Chang He
Thèse soutenue le 15 janvier 2008: Paris Est
Le béton se présente comme un matériau constitué de granulats, jouant le rôle d'inclusions, enchâssés dans une matrice correspondant à la pâte de ciment hydraté. A l'échelle de la pâte, l'hydratation du ciment génère un milieu multiphasique, constitué d'un squelette solide et de pores remplis ou partiellement remplis d'eau selon leur taille. Le composant principal du squelette solide est le gel de C-S-H, les autres composants étant de nature cristalline. La qualification de gel du composant C-S-H est liée à sa nanostructure dont la schématisation la plus admise consiste en une phase aqueuse adsorbée, en sandwich avec des feuillets solides de nature cristalline. Il est bien admis que la structure du C-S-H est à l'origine de son comportement viscoélastique et donc de celui du béton. Ce comportement viscoélastique peut s'expliquer par un réarrangement de sa nanostructure sous l'effet des contraintes mécaniques appliquées à l'échelle macroscopique. La modélisation macroscopique du fluage du béton ne permet pas d'expliquer la variabilité du fluage d'une formulation de béton à une autre. En effet, les paramètres des modèles macroscopiques ne peuvent être identifiés que par l'analyse de résultats expérimentaux obtenus par des essais réalisés sur des éprouvettes de béton. Ces paramètres ne sont valables que pour une formulation donnée. L'identification de ces paramètres conduit donc à des programmes expérimentaux très coûteux et ne fournit pas suffisamment d'informations sur la sensibilité des paramètres macroscopiques à la variabilité des caractéristiques mécaniques et morphologies des constituants. Dans ce travail, on suppose qu'il existe une échelle microscopique à laquelle les mécanismes moteurs du fluage ne sont pas impactés par la formulation du béton. A cette échelle, celle du C-S-H, les propriétés viscoélastiques peuvent être considérées avoir un caractère intrinsèque. L'influence de la formulation ne concerne alors que les concentrations des différents hydrates. Trois approches, analytiques, semi-analytiques et numériques sont alors proposées pour estimer, par une homogénéisation multi-échelle, les propriétés viscoélastiques macroscopiques du béton à partir des propriétés de ses constituants ainsi qu'à partir de sa microstructure. Ces approches sont basées sur l'extension des schémas d'homogénéisation élastique au cas viscoélastique au moyen du principe de correspondance qui utilise la transformée de Laplace-Carson. Les propriétés effectives sont alors déterminées directement dans l'espace de Carson. Par la suite, celles dans l'espace temporel sont obtenues par la transformée inverse. Les approches proposées apportent des solutions aussi bien dans un cadre général que sous certaines hypothèses restrictives : coefficient de Poisson viscoélastique microscopique ou macroscopique constant, module de compressibilité constant. Sur le plan théorique, deux schémas d'homogénéisation ont été étudiés : le schéma de Mori-Tanaka, basé sur le problème de l'inclusion d'Eshelby, et le schéma auto-cohérente généralisé basé sur la neutralité énergique de l'inclusion. Les résultats obtenus montrent que sous ces hypothèses restrictives, le spectre macroscopique se présente comme une famille de sous ensembles de temps caractéristiques bornés par les temps caractéristiques microscopiques. Par ailleurs, les propriétés thermodynamiques, de croissance monotone et de concavité, des fonctions de retard macroscopiques ne sont préservées par l'homogénéisation que sous certaines conditions de compatibilité des spectres microscopiques. Sur le plan pratique, les méthodes développées ont été appliquées pour construire la complaisance de fluage propre macroscopique du béton en connaissant les données communes de toutes sortes de bétons et celles correspondant à une formulation donnée. Les résultats expérimentaux disponibles sont alors exploités pour analyser le caractère intrinsèque des propriétés viscoélastiques à l'origine du fluage du béton
-Homogénéisation
-Changement d'échelle
-Viscoélasticité
-Fluage propre
-Béton
-C-S-H
-Schéma de Mori-Tanaka
-Schéma autocohérent généralisé
Concrete can be considered as a multiscale heterogeneous material in which elastic inclusions, i.e., aggregates, are embedded in a viscoelastic matrix which corresponds to the hardened cement paste. At the cement paste scale, the hydration process leads to a partially saturated porous multiphase medium whose solid skeleton is mainly constituted of the C-S-H gel, the other hydrates being crystalline solids. The gel-like properties of the C-S-H are essentially related to the existence of strongly adsorbed structural water in the interlayer nanospace. It is well admitted that this feature is the microscopic origin of the creep mechanism of C-S-H and therefore of concrete at the macroscale. This viscoelastic behavior can be explained by a rearrangement of the nanostructure of the C-S-H component due to a macroscopically applied loading. Therefore, the macroscopic modeling of concrete creep does not allow explaining the variability of creep with respect to the concrete mix. Indeed, the identi?cation of the viscoelastic parameters of macroscopic models requires performing creep tests at the concrete scale. Thus, the validity of the identi?ed parameters is limited to the concrete mix under consideration and the identi?cation process does not permit to carry out the influence of the microstructure and the mechanical constituent properties on the macroscopic creep. In this work, we assume that there exists a microscopic scale at which the driving creep mechanisms are not affected by the concrete mix. At this scale, the C-S-H one, the viscoelastic properties can be considered to be intrinsic. The concrete mix will essentially influence the volume fraction of the hydrates. Analytical, semi-analytical and numerical approaches are developed in order to derive, by multi-scale homogenization, the macroscopic viscoelastic properties of concrete on the basis of the knowledge of the microscopic properties, of the constituents together with the knowledge of the mix-dependent microstructure. These approaches consist in extending results of elastic homogenization schemes to viscoelasticity with the help of the correspondence principle using the Laplace-Carson transform. Therefore, the effective properties are obtained in a straightforward manner in the Carson transform space, which requires the transform inversion in order to determine the time evolution of these properties. The proposed models permit to answer to this requirement, both under some restrictive assumptions (constant Poisson's ratio at either microscopic or macroscopic scale, constant bulk microscopic modulus) and in a general way. At the theoretical level, two homogenization schemes are investigated : the Mori-Tanaka scheme based on the Eshelby solution and the Generalized Self Consistent scheme, based on the energetic neutrality condition of the inclusion. The obtained results show that under the aforementioned restrictive conditions, the macroscopic creep spectrum presents as a family of sets of retardation times which are bounded by two successive microscopic characteristic times. Furthermore, the monotonically increasing and concavity features of the macroscopic creep compliance, which derive from thermodynamic considerations, are not always preserved, except if some compatibility conditions are ful?lled by the microscopic spectrums. From the practical point of view, these methods developed are used to establish the complaisance creep function of concrete from the knowledge of the common data of all types of concrete, as well as the other parameters that characterize a given formulation. Hence, by a back-analysis of creep tests obtained on cement paste or on concrete, the intrinsic basic creep properties of the gel C-S-H are estimated
-Homogenization
-Upscaling technique
-Viscoelasticity
-Laplace-Carson transform
-Basic creep
-Concrete
-C-S-H
-Mori-Tanaka scheme
-Generalized self-consistent scheme
Source: http://www.theses.fr/2008PEST0268/document
Publié le : jeudi 27 octobre 2011
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Nombre de pages : 257
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UNIVERSITÉ PARIS-EST
ANNÉE 2008
TH¨SE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS-EST
Discipline : GÉNIE CIVIL
prØsentØe par
Quoc Viet LE
Titre :
MODÉLISATION MULTI-ÉCHELLE DES MATÉRIAUX VISCOÉLASTIQUES
HÉTÉROG¨NES.
APPLICATION À L’IDENTIFICATION ET À L’ESTIMATION
DU FLUAGE PROPRE DE BÉTON D’ENCEINTES
DE CENTRALES NUCLÉAIRES
soutenue le 15 janvier 2008 devant le jury composØ de :
M. Gilles PIJAUDIER-CABOT PrØsident
M. Noel CHALLAMEL Rapporteur
M. Issam DOGHRI Rapporteur
M. Ignacio CAROL Examinateur
M. Yann LE-PAPEr
M. Fekri MEFTAH Examinateur
M. Jean-Michel TORRENTIr
M. Qi-Chang HE Directeur de thŁse
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tel-00468616, version 1 - 31 Mar 2010Quoc Viet LE, ThŁse de Doctorat 3
Remerciements
Ce travail de thŁse a ØtØ e⁄ectuØ au sein du Laboratoire de MØcanique (LAM) de Unl iversitØ
Paris-Est, en collaboration avec le DØpartement MatØriaux et MØcanique des Composants (MMC) de
la Division Recherche et DØveloppement du site des RenardiŁres d’EDF.
J exprimetoutesmesprofondesreconnaissancesàmesencadrantsFØkriMEFTAH,Ma tredeConfØ-
rences(HDR)àUnl iversitØParis-Est,QiChangHE,Professeuràl’UniversitØParis-EstPT,etYannLE
PAPE, IngØnieur de recherche à MMC, pour le temps qu’ils m’ont consacrØ et les conseils scienti ques
qu ils m ont fait partager, pendant ces trois annØes.
Je tiens à remercier Charles TOULEMONDE, le chef du groupe T25 du dØpartement MMC, et
Guy Bonnet, le directeur du LAM, pour m’avoir bien accueilli dans leurs laboratoires et crØØ de bonnes
conditions pour mon travail de thŁse.
Je remercie trŁs chaleureusement Issam DOGHRI, Professeur à l UniversitØ Catholique de Louvain,
et Noel CHALLAMEL, Ma tre de ConfØrences (HDR) à INSl A de Rennes, pour avoir accompli la
lourde t che de rapporter ce travail.
Je tiens Øgalement à remercier Gilles PIJAUDIER-CABOT, Professeur à l’UniversitØ de Pau et
des Pays de l Adour, pour m avoir fait l honneur de prØsider le jury. Je remercie Øgalement Ignacio
CAROL, Professeur au Technical University of Catalonia et Jean-Michel TORRENTI, Directeur de
recherche d’LCPC, pour avoir examinØ ce travail.
Mes remerciements vont Øgalement à tous les membres du LAM et du MMC avec qui j’ai eu des
souvenirs inoubliables à la fois sur le plan scienti que et sur le plan amical.
Je suis en…n trŁs reconnaissant envers ma famille, en particulier ma mŁre, qui a su me donner sans
cesse son soutien et son amour, et qui m a encouragØ pour …nir ce travail de thŁse.
Paris, au 1 DØcembre 2007
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tel-00468616, version 1 - 31 Mar 2010Quoc Viet LE, ThŁse de Doctorat 5
RØsumØ
Le bØton se prØsente comme un matØriau constituØ de granulats, jouant le r le d inclusions, ench s-
sØs dans une matrice correspondant à la p te de ciment hydratØ. A l Øchelle de la p te, l’hydratation du
ciment gØnŁre un milieu multiphasique, constituØ d un squelette solide et de pores remplis ou partiel-
lement remplis d’eau selon leur taille. Le composant principal du squelette solide est le gel de C S H,
les autres composants Øtant de nature cristalline. La quali cation de gel du composant C-S-H est liØe
à sa nanostructure dont la schØmatisation la plus admise consiste en une phase aqueuse adsorbØe, en
sandwich avec des feuillets solides de nature cristalline. Il est bien admis que la structure du C S–H est
à l’origine de son comportement viscoØlastique et donc de celui du bØton. Ce comportement viscoØlas-
tique peut s expliquer par un rØarrangement de sa nanostructure sous l’e⁄et des contraintes mØcaniques
appliquØes à l’Øchelle macroscopique.
LamodØlisationmacroscopiquedu‡uagedubØtonnepermetpasd’expliquerlavariabilitØdu‡uage
d uneformulationdebØtonàuneautre.Ene⁄et,lesparamŁtresdesmodŁlesmacroscopiquesnepeuvent
Œtreidenti…Øsqueparl’analysederØsultatsexpØrimentauxobtenuspardesessaisrØalisØssurdesØprou-
vettes de bØton. Ces paramŁtres ne sont valables que pour une formulation donnØe. L identi cation de
ces paramŁtres conduit donc à des programmes expØrimentaux trŁs coßteux et ne fournit pas su¢ sam-
mentd informationssurlasensibilitØdesparamŁtresmacroscopiquesàlavariabilitØdescaractØristiques
mØcaniques et morphologies des constituants.
Dans ce travail, on suppose qu il existe une Øchelle microscopique à laquelle les mØcanismes moteurs
du‡uagenesontpasimpactØsparlaformulationdubØton.AcetteØchelle,celleduC-S-H,lespropriØtØs
viscoØlastiques peuvent Œtre considØrØes avoir un caractŁre intrinsŁque. L in‡uence de la formulation ne
concerne alors que les concentrations des diگrents hydrates.
Trois approches, analytiques, semi-analytiques et numØriques sont alors proposØes pour estimer, par
une homogØnØisation multi-Øchelle, les propriØtØs viscoØlastiques macroscopiques du bØton à partir des
propriØtØs de ses constituants ainsi qu à partir de sa microstructure. Ces approches sont basØes sur
l extension des schØmas d homogØnØisation Ølastique au cas viscoØlastique au moyen du principe de
correspondance qui utilise la transformØe de Laplace-Carson. Les propriØtØs e⁄ectives sont alors dØter-
minØes directement dans l’espace de Carson. Par la suite, celles dans l espace temporel sont obtenues
par la transformØe inverse. Les approches proposØes apportent des solutions aussi bien dans un cadre
gØnØral que sous certaines hypothŁses restrictives : coe¢ cient de Poisson viscoØlastique microscopique
ou macroscopique constant, module de compressibilitØ constant.
Sur le plan thØorique, deux schØmas d’homogØnØisation ont ØtØ ØtudiØs : le schØma de Mori-Tanaka,
basØ sur le problŁme de l’inclusion d’Eshelby, et le schØma auto-cohØrente gØnØralisØ basØ sur la neu-
tralitØ Ønergique de l inclusion. Les rØsultats obtenus montrent que sous ces hypothŁses restrictives,
le spectre macroscopique se prØsente comme une famille de sous ensembles de temps caractØristiques
bornØs par les temps caractØristiques microscopiques. Par ailleurs, les propriØtØs thermodynamiques,
de croissance monotone et de concavitØ, des fonctions de retard macroscopiques ne sont prØservØes par
l homogØnØisation que sous certaines conditions de compatibilitØ des spectres microscopiques.
Sur le plan pratique, les mØthodes dØveloppØes ont ØtØ appliquØes pour construire la complaisance
de ‡uage propre macroscopique du bØton en connaissant les donnØes communes de toutes sortes de
bØtons et celles correspondant à une formulation donnØe. Les rØsultats expØrimentaux disponibles sont
alors exploitØs pour analyser le caractŁre intrinsŁque des propriØtØs viscoØlastiques à origl ine du ‡uage
du bØton.
Mots-clØs:homogØnØisation,changementd Øchelle,viscoØlasticitØ,transformØedeLaplace-Carson,
‡uage propre, bØton,
C-S-H, schØma de Mori-Tanaka, schØma autocohØrent gØnØralisØ.
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tel-00468616, version 1 - 31 Mar 2010Quoc Viet LE, ThŁse de Doctorat 7
Abstract
Concrete can be considered as a multiscale heterogeneous material in which elastic inclusions, i.e.,
aggregates, are embedded in a viscoelastic matrix which corresponds to the hardened cement paste.
At the cement paste scale, the hydration process leads to a partially saturated porous multiphase
mediumwhosesolidskeletonismainlyconstitutedoftheC-S-Hgel,theotherhydratesbeingcrystalline
solids. The gel-like properties of the C-S-H are essentially related to the existence of strongly adsorbed
structural water in the interlayer nanospace. It is well admitted that this feature is the microscopic
origin of the creep mechanism of C-S-H and therefore of concrete at the macroscale. This viscoelastic
behavior can be explained by a rearrangement of the nanostructure of the C-S-H component due to a
macroscopically applied loading.
Therefore, the macroscopic modeling of concrete creep does not allow explaining the variability
of creep with respect to the concrete mix. Indeed, the identi cation of the viscoelastic parameters
of macroscopic models requires performing creep tests at the concrete scale. Thus, the validity of
the identi ed parameters is limited to the concrete mix under consideration and the identi…cation
process does not permit to carry out the in uence of the microstructure and the mechanical constituent
properties on the macroscopic creep.
In this work, we assume that there exists a microscopic scale at which the driving creep mechanisms
are not a⁄ected by the concrete mix. At this scale, the C-S-H one, the viscoelastic properties can be
consideredtobeintrinsic.Theconcretemixwillessentiallyin‡uencethevolumefractionofthehydrates.
Analytical, semi-analytical and numerical approaches are developed in order to derive, by multi-
scale homogenization, the macroscopic viscoelastic properties of concrete on the basis of the knowledge
of the microscopic properties, of the constituents together with the knowledge of the mix-dependent
microstructure. These approaches consist in extending results of elastic homogenization schemes to
viscoelasticity with the help of the correspondence principle using the Laplace-Carson transform. The-
refore, the e⁄ective properties are obtained in a straightforward manner in the Carson transform space,
which requires the transform inversion in order to determine the time evolution of these properties.
The proposed models permit to answer to this requirement, both under some restrictive assumptions
(constantPoisson sratioateithermicroscopicormacroscopicscale,constantbulkmicroscopicmodulus)
and in a general way.
At the theoretical level, two homogenization schemes are investigated : the Mori-Tanaka scheme
based on the Eshelby solution and the Generalized Self Consistent scheme, based on the energetic neu-
trality condition of the inclusion. The obtained results show that under the aforementioned restrictive
conditions, the macroscopic creep spectrum presents as a family of sets of retardation times which are
bounded by two successive microscopic characteristic times. Furthermore, the monotonically increa-
sing and concavity features of the macroscopic creep compliance, which derive from thermodynamic
considerations, are not always preserved, except if some compatibility conditions are ful…lled by the
microscopic spectrums.
From the practical point of view, these methods developed are used to establish the complaisance
creep function of concrete from the knowledge of the common data of all types of concrete, as well as
the other parameters that characterize a given formulation. Hence, by a back-analysis of creep tests
obtained on cement paste or on concrete, the intrinsic basic creep properties of the gel C-S-H are
estimated.
Keywords : homogenization, upscaling technique, viscoelasticity, Laplace-Carson transform, basic
creep, concrete,
C-S-H, Mori-Tanaka scheme, generalized self-consistent scheme.
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Table des matiŁres
Remerciements 3
RØsumØ 5
Abstract 7
Introduction et problØmatique 15
Notations 19
I ElØments de base de la viscoØlasticitØ linØaire et de la micromØcanique 21
Introduction 23
1 ViscoØlasticitØ et principe de correspondance 25
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 Comportement unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.1 Comportement linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2nt non vieillissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3 ReprØsentation fonctionnelle du comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4 Principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Comportement tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 HomogØnØisation Ølastique et viscoØlastique 33
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Moyennes spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Conditions aux limites homogŁnes en contrainte et en dØformation . . . . . . . . 33
2.2.2 Lemme de Hill-Mandel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Comportement Ølastique homogØnØisØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Approche ØnergØtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 PropriØtØs des tenseurs d ØlasticitØ homogØnØisØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4 Moyenne par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 SchØmas d homogØnØisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Approches basØes sur l’estimation par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Approches basØes sur le concept d inclusion composite neutre . . . . . . . . . . . 42
2.4.3 Comparaison des schØmas d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Encadrement des propriØtØs homogØnØisØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Bornes de Voigt et de Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2s de Hashin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3 Bornes de Hashin-Shtrikman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.4 Comparaison des bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 HomogØnØisation en viscoØlasticitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.1 Comportement viscoØlastique homogØnØisØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6.2 Principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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II Construction des propriØtØs viscoØlastiques macroscopiques 59
Introduction 61
3 MØthodes numØriques 63
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 DØ…nition de la transformØe de Laplace et de Carson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 TransformØe inverse de Laplace et formule de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 UnicitØ de la transformØe inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Formule de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Inverse numØrique de la transformØe de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 SØries approchant la formule de Bromwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Techniques d’accØlØration de la convergence d’une sØrie entiŁre . . . . . . . . . . 71
3.4.3 MØthode de Post-Widder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 MØthode semi-analytique 81
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Comportement viscoØlastique microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 ModŁle gØnØralisØ de Kelvin (ou Mawxell) non bornØ . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 ModŁle gØnØralisØ de Kelvin (ou Mawxell) bornØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Comportement viscoØlastique macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 DØmarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2 SchØma de Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3 SchØma autocohØrent gØnØralisØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 MØthode analytique approchØe 117
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Quatre paramŁtres de la fonction de ‡uage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.1 Fonction de ‡uage microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.2 Fonction de ‡uage macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 ModŁle macroscopique Øquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 SchØma de Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.1 Fonction composØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4.2 Limites des fonctions u(s) et v(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.3 Fluage e⁄ectif instantanØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.4 Vitesse de ‡uage instantanØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.5e de ‡uage à long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.6 OrdonnØe à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 SchØma autocohØrent gØnØralisØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.1 Vitesse de ‡uage à long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.5.2 OrdonnØe à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
III Analyse comparative et application au ‡uage des bØtons 135
Introduction 137
tel-00468616, version 1 - 31 Mar 2010

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