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Soutenue le 15/06/2009
Num´erodordre:3803
Th`esepr´esent´ee`alUniversit´edeBordeaux1
Ecole Doctorale de Math´ematiques et Informatique de Bordeaux
par MOREAU Pierre
Pour obtenir le grade de de Docteur de Math´ematiques
espaces
g´eome´triedes hypercyclicit´e
Notions de petitesse, de Banach et
The`sedirig´eeparESTERLEJeanetMATHERONEtienne
Jury : DEVILLE Robert, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Bordeaux 1 ESTERLEJean,ProfesseurdUniversit´e,Universite´deBordeaux1 KUPINStanislav,MaˆıtredeConfe´rences,Universit´eAix-Marseille1 LANCIENGilles,ProfesseurdUniversit´e,Universite´deFranche-Comt´e LEFEVRE Pascal, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois MATHERON Etienne, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois
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Haar-ne´gligeabilite´etbasesdeSchauder 3.1 Rappels sur les Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Coˆnecontenantuntranslat´edetoutcompact............... 3.3Haar-n´egligeabilite´ducoˆnepositifassoci´ea`unebasedeSchauder.... 3.3.1 Condition su!r-aaegnntsaeHede´ti....egilliba......... ´ 3.3.2 Conditions n´ecessaires de non-Haar n´egligeabilit´e, application aux bases sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3c0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -saturation . 3.3.4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Structure des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Mesures gaussiennes et cˆones positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Notions de petitesse et Hypercyclicit´e 4.1 Hypercyclicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . a po s n 4.2 Shifts ` id on!-poreux hypercycliques 4.3 Un crit`ere de!orop-...e´tis....... 4.4 Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . .
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Le 2.1 2.2
theore`medeMatouskova-Stegall ´ Preuve de (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve de (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 70 72 75 79
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Notions de petitesse 1.1Haar-ne´gligeabilit´e................... 1.2 Bor´eliens non Haar-n´egligeables et non compactivores 1.3Gauss-ne´gligeabiliteet!-po..........isor.e´t ´ 1.3.1 Gauss-n´egli bilit´ gea e . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2! . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-porosit´e . 1.4 Complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1Ge´ne´ralit´es................... 1.4.2Complexit´edesferme´sGauss-n´egligeables..
matieres `
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Table
des
Introduction
Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse, la plus classique d’entre ellese´tantlapetitesseausensdeBaire:unepartieestpetiteausensdeBairesielleest incluse dans le compl´ementaire d’unG!dense. Cette notion caract´erise un comportement global, elle ne permet pas de quantifier la taille des ensembles. Ceci peut ˆetre accompli en dimensionniegraˆcea`lamesuredeLebesgueetpeuts´etendreauxespaceslocalement compactsgrˆaceauxmesuresdeHaar,cest`adirelesmesuresbor´eliennesinvariantes par translation ; “ˆetre de mesure de Haar nulle” est donc une autre notion naturelle de petitesse. Dans un espace qui n’est pas localement compact, l’absence de mesure de Haar ne permet pas d’utiliser cette notion. En I972, Christensen a introduit ([C]) la notion de Haar-n´egligeabilit´e dans les groupes ab´elienspolonais(compl`etementm´etrisablesets´eparables):unepartiebor´eliennedun tel groupe est dite Haar-n´egligeable s’il existe une mesure de probabilit´e qui s’annule sur cette partie et sur tous ses translat´es. On dit alors d’une telle mesure qu’elle est une me-sure test pour la partie. Cette notion co¨ıncide, quand le groupe est localement compact, aveccelledemesuredeHaarnulle.LaHaar-n´egligeabilite´aservidansl´etudedela di"acitnooncnalssiienneeteipschitzitcnlsnode´tofseabtilili´eneredsecapesesedirean´lin-Banach, on trouvera dans les chapitres 6 et 7 de [BL] beaucoup d’informations `a ce sujet.
Ilestpluse´tonnantdevoirquelaHaar-n´egligeabilit´epermetdobtenirdesinforma-tionssurlage´ome´triedesespacesdeBanach.Ondoitcetteapproche`aMatouskovaet Stegallqui,danslesarticles[MS]et[M3],ontli´elar´eexivit´edunespacedeBanacha ` laHaar-ne´gligeabilit´edesespartiesconvexes,ferm´eesetdinte´rieurvide.Lesprincipaux ´sultatssurcesujetpeuventˆetreregroup´esdansle´nonce´suivant: re Soit X un espace de Banach s´eparable. 1.SiXestr´eexifalorstoutepartieconvexe,ferm´eeetdinte´rieurvidedeXest Haar-ne´gligeable. 2. Si X est non r´eflexif, il existe une partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur vide de X qui contient un translat´e de toute partie compacte de X.
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` TABLE DES MATIERES
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En particulier, X est r´eflexif si et seulement si toute partie convexe, ferm ee et d’int´erieur ´ vide de X est Haar-n´egligeable.
Lepremierchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lapre´sentationg´ene´raledecer-tainesnotionsdepetitesse.Danslasection1.1,ondonneraunepr´esentationde´taille´e de la Haar-n´egligeabilit´e, notamment du fait que contenir un translat´e de tout compact entraˆınelanonHaar-n´egligeabilite´,etondiscuteradelar´eciproquedanslasection1.2. Danslasection1.3,onpr´esenterabrie`vementdeuxautresnotionsdepetitesse:la!-porosit´eetlaGauss-n´egligeabilite´.Enn,nousmontreronsdans1.4quedansunespace deBanachse´parableXegn´gelileabsedecapseseitrapsl,egbageil.i.eel(s´eesferms-n´Gaus pourtoutemesureGausiennenon-d´eg´ene´r´eesurX) est une partie non-bor´elienne dans l’espace des parties fermees deX. ´
Lesecondchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lad´emonstrationduth´eor`emede Matouskova et Stegall. Il y a dans cette d´emonstration un type particulier de convexe ferme´etdinte´rieurvidequijoueunrˆoleclef:lecoˆnepositifassoci´ea`unebasede Schauder.IlestalorsnatureldesedemanderquellessontlesbasesdeSchauder`acoˆne Haar-n´egligeable et ce que cela entraˆıne pour la structure de l’espace de Banach. Ces questions seront trait´ees dans le troisi`eme chapitre.
Avant de commencer ` traiter ces questions, nous donne rons dans 3.1 les principales a de´nitionsetpropri´et´esdesbasesdeSchauder,ainsiquelalistedesr´esultatsde´j`aconnus surlaHaar-ne´gligeabilite´ducˆone,notammentquelecˆonepositifdelabasecanonique delpaelbpeuon-e´lggiestHaarrp!silare´.3snadset2etnorne´gatluesstesscesr´1ou.T ´ 3.3. Il y a deux approches pour tester la Haar-n´egligeabilit´e d’une partie : soit mon-trer qu’elle contient un translat´e de tout compact et dans ce cas cette partie n’est pas H´ligeable,soitconstruireunemesuretest,cequiimpliquelaHaar-n´egligeabilite´ aar-neg de cette partie ; c’est ce qui sera fait respectivement dans 3.2 et 3.3.
Nous´etablironsdans3.2uneconditionn´ecessaireetsu!sante pour que le c one ˆ contienne un translat´e de tout compact, condition qui implique que la base canonique dec0silamronltnodee´ioitndcoetleelnnedcSabesreniahdueseuletlaseitntnoˆceocen un translat´e de tout compact. Il existe n´eanmoins d’autres bases, non inconditionnelles, quiv´erientcecietnousenverronsunexemple.Cer´esultat,danslecasdesbasesincon-ditionnelles,nelaissequedeuxpossibilit´espourlaHaar-n´egligeabilite´ducoˆne:soitla basecanoniqueestlaseulebasedeSchauderinconditionnelleetnormalis´eedontlecoˆne n’est pas Haar-n´egligeable, soit il existe une base de Schauder inconditionnelle et nor-malise´edontlecˆonenestpasHaar-n´egligeablemaisquinecontientpasuntranslat´ede toutcompact.Cesdeuxpossibilit´esontleurinterˆet:lapremie`reparcequelledonnerait ´ une caract´erisation surprenante de la base canonique dec0, ce que les r´esultats suivants