On colours, keys, and correlations [Elektronische Ressource] : multimode parametric downconversion in the photon number basis / vorgelegt von Wolfgang Mauerer

O n Colou r s , K e y s , and Cor rel a tions :M ulti mo de P ar ame tr icD o w ncon ver sioni n the Photon N u mb er B a si sD er N a t ur w i ss ens c haf t lic hen F akult ä tder F r ie dr ic h-Ale xander -U niversit ä t Er l angen-N ür nb er gzurEr l ang ung de s D okt or g rade svor ge le g t vonW   M   a u s Re gens bur gAl s Di ss er t a tion gene hmig t von der N a t ur w i ss ens c haf t lic hen F akult ä tder U niversit ä t Er l angen-N ür nb er gT ag der m ündlic hen Pr üf ung: . J uli V orsitzender der Pr omotions k ommi ssion: Pr of. Dr . E b er har d B äns c hErst b er ic h t erst a t t er : PD Dr . C hr i stine Silb er hor nZ weit b er ic h t erst a t t er : Pr of. Dr . Mar tin B. P lenioContents1 Introduction 1. P hot ons in F o c k S p ac e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. L ig h t Q u an t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. T ime-M ultiple x e d D e t e c tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nonline ar O ptic al Eff e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. P arame tr ic D ow nc on version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. F ie ld Pr op ag a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q u an t um K e y Di str ibution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. B a sic Conc e pt s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
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O n Colou r s , K e y s , and Cor rel a tions :
M ulti mo de P ar ame tr ic
D o w ncon ver sion
i n the Photon N u mb er B a si s
D er N a t ur w i ss ens c haf t lic hen F akult ä t
der F r ie dr ic h-Ale xander -U niversit ä t Er l angen-N ür nb er g
zur
Er l ang ung de s D okt or g rade s
vor ge le g t von
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a u s Re gens bur gAl s Di ss er t a tion gene hmig t von der N a t ur w i ss ens c haf t lic hen F akult ä t
der U niversit ä t Er l angen-N ür nb er g
T ag der m ündlic hen Pr üf ung: . J uli 
V orsitzender der Pr omotions k ommi ssion: Pr of. Dr . E b er har d B äns c h
Erst b er ic h t erst a t t er : PD Dr . C hr i stine Silb er hor n
Z weit b er ic h t erst a t t er : Pr of. Dr . Mar tin B. P lenioContents
1 Introduction 1
. P hot ons in F o c k S p ac e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. L ig h t Q u an t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. T ime-M ultiple x e d D e t e c tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Nonline ar O ptic al Eff e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. P arame tr ic D ow nc on version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. F ie ld Pr op ag a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Q u an t um K e y Di str ibution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. B a sic Conc e pt s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. e B enne t t -Bra ssar d S c heme (BB) . . . . . . . . . . . . . . 
2 Fundamentals and Building Blocks 13
. T ime-M ultiple x e d D e t e c tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. A v al anc he P hot o Dio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Pr inc iple of O p era tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Com p ar i s on of In version M e t ho d s . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Er r or Q u an tific a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. M ultimo de D e s c r iption of Q u an t um S y st ems . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Q u an tif y ing En t ang lemen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. En tr opy of en t ang lemen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. S c hmidt N umb er , Conc ur r enc e, and T ang le . . . . . . . . . . . 
. Blo c h-M e ssi ah-D e c om p o sition and S que ez ing . . . . . . . . . . . . . . . . 
3 Nonclassical Properties of Parametric Downconversion 33
. e P arame tr ic D ow nc on version Pr o c e ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I I Pr o c e ss e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I Pr o c e ss e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Analy tic al A ppr o xima tions f or PD C S t a t e Analy si s . . . . . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I Pr o c e ss e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I I Pr o c e ss e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. N umer ic al D e c om p o sition of PD C S t a t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
i.. Couple d In t e g ral Equ a tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Or t ho gonal P oly nomi al E x p ansion . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Sing ul ar V alue D e c om p o sition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Conne c tion b e twe en t he A ppr o ac he s . . . . . . . . . . . . . . . 
.. A N umer ic al T o olb o x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Com p ar i s on b e twe en Analy tic al and N umer ic al S olutions . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. T y p e-I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. S t a ti stic al Pr op er tie s of M ulti-M o de PD C S y st ems . . . . . . . . . . . . . . 
.. In tr o duc tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. D e c om p o sition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Com puting S t a ti stic al Di str ibutions . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Com p ar i s on w it h E x p er imen t al D a t a . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Conc lu sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
4 Quantum Mechanical Propagation in Nonlinear Dielectrics 73
. P h y sic al M o de l s and F ie ld Q u an ti sa tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. F ie ld Q u an ti sa tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. W a ve P ac k e t s and B a sic Comm ut a t ors . . . . . . . . . . . . . . 
.. Pum p D e s c r iption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. H amilt oni ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. S emic l a ssic al M e t ho d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. F ull Q u an t um M o de l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. M ono c hr oma tic C W Pum p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Pul s e d L a s er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Com p ar i s on of S olutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Pr op ag a tion Equ a tions f or t he B o goliub ov T ransf or ma tion Co effic ien t s . . 
.. e M ultimo de C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. e M ono c hr oma tic C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. N umer ic al S olution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Com p ar i s on w it h ot her A ppr o ac he s . . . . . . . . . . . . . . . 
.. E x plic it I t era tion/Re c ursion S c heme . . . . . . . . . . . . . . . 
. N umer ic al Re sult s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. P o sitive Cor r e l a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Ne g a tive Cor r e l a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. A Ne ar ly S e p ara ble C a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. Conc lu sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5 Quantum Key Distribution with PDC Sources 119
. e D e c oy S t a t e M e t ho d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
ii. P a ssive D e c oy Pr ot o c ol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Pr op o s e d S e t up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. D e c oy G enera tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. S t a ti stic s Enhanc emen t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. N umer ic al Sim ul a tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Conc lu sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. M ulti-M o de Eff e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. V ac uum and W e ak D e c oy M e t ho d . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. e M ultimo de S t a t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
( s).. Ne w B ound onY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1
( s)
.. Ne w B ound one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
1
.. N umer ic al Sim ul a tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Conc lu sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
6 Conclusions 145
A Analytical Decomposition of the Double-Gaussian SDF 149
B Remarks on the Numerical Solution of the Bogoliubov Propagation Equa-
tions 153
C Alternative Complex Propagation Equations 157
C . F o c k S p ac e Re pr e s en t a tion of O p era t ors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C .. O p era t or Re pr e s en t a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C .. Pr op ag a tion Equ a tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C .. Initi al Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C . U sing Q u a sipr ob a bility Di str ibutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C .. e Q Re pr e s en t a tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
C .. U niquene ss and V alidity of t he Re pr e s en t a tion . . . . . . . . . 
C .. Q Re pr e s en t a tion f or M ulti-M o de O p era t ors . . . . . . . . . . 
C .. D er iv ing Com ple x Pr op ag a tion Equ a tions . . . . . . . . . . . . 
D Universal Simulation of QKD 169
iiiSummary
e optic al r e volution initi a t e d by t he adven t of t he l a s er in t he si x tie s , ac c om p anie d
by a r o ar ing de ve lopmen t of t he t he or e tic al f ound a tions of qu an t um optic s , made c o-
her en t st a t e s t he st and ar d t o ol w it h whic h t o r e a s on a b out qu an t um me c hanic al phe-
nomena in optic al s y st ems . While t hi s r e pr e s en t a tion i s r o ot e d in t he c l a ssic al pic t ur e,
t he mo st f und amen t al de s c r iption i s pr ov ide d by t he phot on n umb er b a si s . i s t he si s
i s c en tr e d ar ound t he que stion of how hig hly non-c l a ssic al qu an t um st a t e s and eff e c t s
c an b e de s c r ib e d, underst o o d, and utili s e d in t hi s b a si s .
C ha pt er  pr e s en t s a br ief sur ve y of time-m ultiple x e d de t e c tion ( T MD) w it h st a ti s -
tic al phot on n umb er r e s olution, an over v ie w a b out fie ld qu an ti sa tion and nonline ar
optic al eff e c t s w it h a sp e c i al em pha si s on p arame tr ic dow nc on version (PD C ), and an
in tr o duc tion t o qu an t um k e y di str ibution (QK D).
M or e de t ail s f ollow in C ha pt er , wher e we di s c u ss ne w a ppr o ac he s t o r e c onstr uc t
pr op er tie s of t he pr ob e d qu an t um st a t e s f r om d a t a obt aine d by t he T MD , and c om p ar e
t hem w it h e st a bli s he d t e c hnique s . A dditionally , we in tr o duc e a c on venien t not a tion
t o r e a s on a b out m ultimo de eff e c t s in qu an t um s y st ems (publi s he d in Ref. []), and
r e v ie w how t o qu an tif y en t ang lemen t in suc h s y st ems .
e me t ho d s f or en t ang lemen t qu an tific a tion r e ly on c er t ain ma t hema tic al de c om-
p o sitions of t he s y st ems under in ve stig a tion. e y ar e c halleng ing t o obt ain when t he
s y st em dimension g r ow s , and analy tic al s olutions ar e only a v ail a ble in sp e c i al c a s e s .
C ha pt er  in tr o duc e s ne w , e xac t n umer ic al t e c hnique s t o de al w it h l ar ge dimensional
s y st ems (publi s he d in Ref. []) and c om p ar e s t hem w it h a ppr o xima t e t he or e tic al s o-
lutions . W e al s o in tr o duc e and di s c u ss analy tic al s olutions f or sp e c ific dow nc on ver -
sion s e t up s . e s e c ond p ar t of t he c ha pt er de al s w it h t he phot on st a ti stic s of PD C .
M otiv a t e d by r e c en t e x p er imen t s (publi s he d in Ref. []) t ha t ob s er ve st a ti stic al di str i-
butions t ha t c onflic t w it h t he pr e dic tions of st and ar d t he or y , we de v i s e a ne w mo de l
(publi s he d in Ref. []) t ha t allow s u s t o e x pl ain t he ob s er v a tions f r om a pur e ly ph y s -
ic al analy si s w it hout , unlik e e ar lier a ppr o ac he s , r e s or ting t o eff e c tive p arame t ers .
C ha pt er  in ve stig a t e s t he PD C pr o c e ss f r om a mor e f und amen t al p oin t of v ie w .
While pr e v iou s tr e a tmen t s ha ve f o c u s e d on a first or der p er t urb a tive tr e a tmen t , we
der ive op era t or v alue d sp a ti al pr op ag a tion e qu a tions t ha t ar e we ll ad a pt e d t o t he e x -
p er imen t al sit u a tion and allow f or a r igor ou s tr e a tmen t of t he pr oblem. e sim plerfirst or der de s c r iption ar i s e s a s sp e c i al c a s e of t he r igor ou s e qu a tions . Aide d by t he B o-
goliub ov transf or ma tion, we der ive c om ple x pr op ag a tion e qu a tions f r om t he op era t or
v alue d de s c r iption. A dditionally , we de v i s e me t ho d s t o s olve t he r e sulting c ouple d p ar -
ti al in t e g r o-diff er en ti al e qu a tions w it h n umer ic al fi x e d p oin t t e c hnique s . Sim ul a tions
and c om p ar i s ons t o first or der s olutions analy s e v ar iou s c a s e s of in t er e st .
In a s lig h t s hif t of f o c u s , C ha pt er  t ur ns t o an a pplic a tion of PD C s our c e s w it h T MD
on QK D . W e de s c r ib e a ne w c omm unic a tion pr ot o c ol (publi s he d in Ref. []) t ha t
e limina t e s t he pr oblem of pr o duc ing indi sting ui s ha ble st a t e s r e quir e d f or t he p ower f ul
de c oy me t ho d, and al s o allow s u s t o inc r e a s e t he ma ximal transmi ssion di st anc e s c om-
p ar e d t o pr e v iou s pr op o sal s . A dditionally , we in ve stig a t e how t he sp e c tral sub str uc t ur e
of PD C st a t e s influenc e s s e c ur ity c onsidera tions f or QK D . W e e ven t u ally c onc lude in
C ha pt er , and pr ov ide an out lo ok f or f ur t her r e s e ar c h.
e A pp endic e s A, B, and C c on t ain v ar iou s longer , supp or ting c alc ul a tions , and
s ome r emar k s on t he n umer ic al t e c hnique s . A pp endi x D br iefly de s c r ib e s a t o ol (pub-
li s he d in Ref. []) t ha t pr ov ide s a me ans of p er f or ming n umer ic al c alc ul a tions not
only f or t he QK D pr ot o c ol s in tr o duc e d in t hi s t he si s , but al s o f or st and ar d pr op o sal s
di s c u ss e d in t he lit era t ur e.Zusammenfassung
D ur c h die mit der Er findung de s L a s ers in den er J ahr en einge l äut e t e opti s c he Re vo-
lution, b e g leit e t von einer st ür mi s c hen En tw ic k lung der t he or e ti s c hen Gr undl agen der
Q u an t enoptik , w ur den k ohär en t e Zu st ände al s S t and ar dmit t e l zur Analy s e qu an t en-
me c hani s c her V or g änge in opti s c hen S y st emen e t a blier t . W ähr end die s e D arst e llung
no c h einige k l a ssi s c he W ur ze ln en t hält , er l a ubt die P hot onenz ahlb a si s eine s e hr f un-
d amen t ale qu an t enme c hani s c he B e s c hr eibung , die a uf s olc hen R üc k halt ver z ic h t e t . In
der vor lie genden Arb eit wer den Pr oblemst e llungen un t ersuc h t , die sic h a u s der zen tra-
len F rage en tw ic k e ln, w ie ho c hg radig nic h t k l a ssi s c he Q u an t eneff e kt e und - zu st ände in
der P hot onenz ahlb a si s b e s c hr ie b en, verst anden und n utzbr ingend einge s e tzt wer den
k önnen.
Ka pit e l  st e llt d a s K onze pt der zeit a ufge löst en M e hr k analde t e ktion (Z MD , ti me
m u lti ple x e d dete ction ) mit st a ti sti s c her P hot onenz ahl a uflösung vor , und g ibt einen
k na pp en Üb erblic k zu F e ldqu an ti sier ung und nic h t line ar en opti s c hen Eff e kt en un t er
b e s onder er B er üc k sic h tig ung p arame tr i s c her Flour e szenz (PF Z , p a r a metr ic dow ncon-
ver s ion ). Zu sä tzlic h wer den Gr undb e g r iff e der Q u an t ens c hlüss e lver t eilung (Q S V , qu a n-
tu m k e y d i str i bution ) er l äut er t .
W eit er ge hende D e t ail s finden sic h in Ka pit e l , wo ne ue Ansätze zur Re k onstr uk -
tion der Q u an t eneigens c haf t en von Zu st änden, die mit t e l s Z MD ver me ss en w ur den,
di s kutier t und mit bi s her igen e t a blier t en T e c hnik en ver g lic hen wer den. E b enf all s w ir d
eine n ützlic he Not a tion eingef ühr t , die die B e s c hr eibung von M e hr mo deneff e kt en in
Q u an t ens y st emen er leic h t er t (publi z ier t in Ref. []), und die F rage nac h M ög lic h-
k eit en zur V ers c hränkung s qu an ti sier ung in derar tigen S y st emen üb erblic k s wei s e a uf -
ge g r iff en.
Die M e t ho den zur V ers c hränkung s qu an ti sier ung f ußen a uf ma t hema ti s c hen Z er -
le g ungen de s b e trac h t e t en S y st ems . Sie wer den mit w ac hs ender S y st emg r öße immer
s c h w ier iger zu er mit t e ln, und analy ti s c he L ösungen sind n ur in S p ez i alf ällen zug äng-
lic h. Ka pit e l  f ühr t ne ue, e xakt e n umer i s c he H eransge hens wei s en ein, um die Analy s e
ho c hdimensionaler S y st eme zu er mög lic hen (publi z ier t in Ref. []), und ver g leic h t
die Re sult a t e mit nähr ung s wei s en t he or e ti s c hen L ösungen. F ör der hin w ir d eine ana-
ly ti s c he L ösung f ür einen sp ez ifi s c hen PF Z- T y p vor ge st e llt . Im z weit en A b s c hnit t de s
Ka pit e l s w ir d die F rage nac h der P hot onenst a ti stik von PF Z a ufge g r iff en. Ange tr ie b envon unl äng st dur c hgef ühr t en E x p er imen t en (ver öff en t lic h t in Ref. []), in denen ei-
ne st a ti sti s c he V er t eilung b e ob ac h t e t w ir d, die im W iderspr uc h zur S t and ar dt he or ie
st e h t , w ir d ein ne ue s M o de ll (publi z ier t in Ref. []) eingef ühr t , d a s die B e ob ac h t un-
gen zu b e g r ünden ver mag , ohne w ie f r üher e D e ut ung s versuc he a uf eff e ktive P arame t er
zur üc k zug r eif en.
Ka pit e l  un t ersuc h t den PF Z- V or g ang un t er Einnahme eine s f und amen t aler en S t and-
punkt s . W ähr end sic h bi s her ige Analy s en a uf eine p er t urb a tive B e trac h t ung in erst er
Or dn ung k onzen tr ier t en, wer den op era t or wer tige, räumlic he Pr op ag a tionsg leic h un-
gen a b ge leit e t , der en S tr ukt ur g ut mit der e x p er imen t e llen Sit u a tion har monier t und
die eine r igor o s e Analy s e de s Pr oblems er l a ub en. Die p er t urb a tiven Re sult a t e ge hen
al s Gr enz f älle der r igor o s en M e t ho den her vor . U n t er Zuhilf enahme der B o goliub ov -
T ransf or ma tion wer den k om ple xwer tige Pr op ag a tionsg leic h ungen a u s der op era t or -
wer tigen B e s c hr eibung a b ge leit e t . Zu sätzlic h wer den M e t ho den a u sge arb eit e t , um L ö-
sung smög lic hk eit en f ür die r e sultier enden ge k opp e lt en p ar tie llen In t e g r o-Diff er en ti al-
g leic h ungen dur c h n umer i s c he F i x punkt t e c hnik en b er eitzu st e llen. D ur c h Sim ul a tio-
nen und V er g leic he mit den p er t urb a tiven Re sult a t en wer den vers c hie dene in t er e ssan-
t e F älle analy sier t .
V erbunden mit einer ger ing f üg igen Änder ung der Blic k r ic h t ung wende t sic h Ka-
pit e l  einer An wendung von PF Z-Q ue llen mit Z MD a uf Q S V zu. Ein ne ue s K om-
m unik a tionspr ot ok oll (ver öff en t lic h t in Ref. []), d a s d a s Pr oblem der Er ze ug ung
un un t ers c heidb ar er Zu st ände e liminier t , die al s B a si s der lei st ung sf ähigen K öder zu-
st and sme t ho de vonnöt en sind, w ir d vor ge st e llt . Zu sätzlic h er l a ubt d a s Pr ot ok oll ei-
ne V er g r ößer ung der ma ximalen Üb er trag ung s di st anz im V er g leic h zu bi s her igen An-
sätzen. Eine weit er e Analy s e st e llt sic h der F rage, w ie die sp e ktrale U n t erstr ukt ur von
PF Z- Zu st änden die Sic her heit süb er le g ungen f ür Q S V b e einflu sst . A b s c hließend w ir d
in Ka pit e l  eine Zu sammenf a ssung präs en tier t , s ow ie mög lic he Z ie le weit er ge hender
F ors c h ung sarb eit en ange s c hnit t en.
Die Anhänge A, B und C en t halt en divers e umf ang r eic her e Re c hn ungen und einige
B emer kungen zu n umer i s c hen T e c hnik en, die in der Arb eit V er wendung gef unden ha-
b en. In Anhang D w ir d a uf k na pp em R a um ein W er k ze ug (publi z ier t in Ref. []) vor -
ge st e llt , d a s Mit t e l zur D ur c hf ühr ung n umer i s c her Re c hn ungen f ür Q S V -Pr ot ok olle
b er eit st e llt , die nic h t n ur a uf die in der vor lie genden Arb eit eingef ühr t en Pr ot ok ol-
le, s onder n a uc h a uf vers c hie dene V ors c hl äge a u s der L it era t ur ange wende t wer den
k önnen.

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