On the motion of rigid bodies submerged in incompressible fluids [Elektronische Ressource] / Eberhard J. Michel

Inaugural-Dissertationzur Erlangung der Doktorwur¨ de derNaturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultat¨ derRuprecht-Karls-Universitat,¨ Heidelbergvorgelegt vonDiplom-MathematikerEberhard J. Michelaus EberbachTag der mundlichen Prufung: 17. Juli 2008¨ ¨On the motion of rigid bodiessubmerged in incompressible fluidsEberhard J. MichelGutachter: Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Willi Jager¨Prof. Dr. Ben SchweizerDedicated to my familyZusammenfassungDie mathematische Behandlung der Interaktion von Fluiden und Festkorpern¨ istnoch voller ungeloster¨ Probleme. In dieser Arbeit wird die Bewegung einer beliebigenZahl von Korpern in einem beliebigen Fluid im drei-dimensionalen Raum untersucht¨(Partikelflusse¨ und grobe Suspensionen). Fur¨ dieses realistischen Szenario sind diehier erhaltenen Ergebnisse neu. Diese Arbeit liefert fast dieselben uberraschenden¨Ergebnisse fur¨ drei Dimensionen wie sie von San Mart´ın, Starovoitov, and Tucsnak(2003) in zwei bewiesen wurden. Im Einzelnen werden die folgendenFragen untersucht. Wie modelliert man den Transport von vielen Korpern¨ in einem inkompressi-blen Fluid moglichst¨ ezient? Wie modelliert man Kollisionen, und wie laufen diese ab? Wie konstruiert man ein Geschwindigkeitsfeld und die zugehorigen¨ Bewegun-gen der eingebetteten Korper?¨Im ersten Kapitel wird nachgewiesen, dass ebenfalls in drei Dimensionen die Be-dingung der Verzerrungsfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes einen starren Korper¨erhalt.
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Inaugural-Dissertation
zur Erlangung der Doktorwur¨ de der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultat¨ der
Ruprecht-Karls-Universitat,¨ Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker
Eberhard J. Michel
aus Eberbach
Tag der mundlichen Prufung: 17. Juli 2008¨ ¨On the motion of rigid bodies
submerged in incompressible fluids
Eberhard J. Michel
Gutachter: Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Willi Jager¨
Prof. Dr. Ben SchweizerDedicated to my familyZusammenfassung
Die mathematische Behandlung der Interaktion von Fluiden und Festkorpern¨ ist
noch voller ungeloster¨ Probleme. In dieser Arbeit wird die Bewegung einer beliebigen
Zahl von Korpern in einem beliebigen Fluid im drei-dimensionalen Raum untersucht¨
(Partikelflusse¨ und grobe Suspensionen). Fur¨ dieses realistischen Szenario sind die
hier erhaltenen Ergebnisse neu. Diese Arbeit liefert fast dieselben uberraschenden¨
Ergebnisse fur¨ drei Dimensionen wie sie von San Mart´ın, Starovoitov, and Tucsnak
(2003) in zwei bewiesen wurden. Im Einzelnen werden die folgenden
Fragen untersucht.
Wie modelliert man den Transport von vielen Korpern¨ in einem inkompressi-
blen Fluid moglichst¨ ezient?
Wie modelliert man Kollisionen, und wie laufen diese ab?
Wie konstruiert man ein Geschwindigkeitsfeld und die zugehorigen¨ Bewegun-
gen der eingebetteten Korper?¨
Im ersten Kapitel wird nachgewiesen, dass ebenfalls in drei Dimensionen die Be-
dingung der Verzerrungsfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes einen starren Korper¨
erhalt.¨ Dieses kann als unendliche Viskositat¨ starrer Korper¨ interpretiert werden.
Hierdurch ist es moglich,¨ ein einheitliches und globales Koordinatensystem zu ver-
wenden, welches sowohl im Fluid, als auch in den Korpern¨ verwendet werden
¨kann. Die Aquivalenz dieser Beschreibungen wird in Lemma 1.1.3 zusammenge-
fasst. Bisherige mathematische Beweise hierfur¨ haben uberraschenderweise¨ nur den
kommutativen zwei-dimensionalen Fall betrachtet.
Intuitiv erwartet man viele Kollisionen innerhalb eines Flusses voller Partikel. Da-
her uberrascht¨ ein Phanomen,¨ welches im zweiten Kapitel gezeigt wird (Lemma
2.1.8). Alleine die Inkompressibilitat¨ und recht geringe Regularitat¨ des Geschwin-
digkeitsfeldes lassen im Wesentlichen eine Kollision fast immer mit relativer Ge-
schwindigkeit Null ablaufen. Hierzu wird eine allgemeine Klasse von divergenz-
freien Geschwindigkeitsfeldern untersucht. Es wird gezeigt, dass die Taylorreihe
des Abstandes je zweier kollidierender Teilchen nur aus Nullen besteht soweit sie
existiert. Diese a-priori Abschatzung¨ gilt unabhangig¨ vom Modell, welches das umge-
bende Fluid beschreibt. Eine Interpretation ist, dass der Fluidfilm zwischen Teilchen
nicht abreißen kann. Eine Kraftubertragung¨ mittels einer Randschicht ist hierdurch
¨nicht ausgeschlossen. Uberdies ist diese Klasse so groß, dass selbst die im dritten Ka-
pitel konstruierte schwache Losung¨ der Navier-Stokes-Gleichungen in dieser liegt
(Theorem 2.2.1).
Im dritten Kapitel wird in drei Dimensionen eine Losung¨ des Models konstruiert,
welches die Bewegung einer beliebiger Zahl von Teilchen in einem viskosen Fluid
beschreibt (Theoreme 3.2.8 und 3.2.10). Dieses kommt ohne die ublichen¨ kunstliche¨
Randschichten um die Teilchen aus (Notation 3.3.1). Außerdem benotigt dieses Ap-¨
proximationsverfahren dank des ersten Kapitels keine Referenzkoordinaten. Das hier-
durch erhaltene Geschwindigkeitsfeld stellt eine globale Losung¨ dar, welche einen
im Wesentlichen kollisionsfreien Transport beschreibt. Hierdurch werden bisherige
Existenz-Resultate verallgemeinert. Diese lieferten die Existenz einer Losung¨ nur bis
hochstens¨ zum ersten Auftreten einer Kollision, oder mussten fur¨ die Konstruktion
einer Losung¨ diese kunstlich¨ nach einer Kollision fortsetzen. Die hier konstruierte
Losung¨ kann fur¨ kollidierende Korper¨ im Falle einer hoher¨ en Regularitat¨ auf die
Bewegung von Ballen¨ an Stocken¨ eingegrenzt werden.Abstract
Understanding the interaction of fluids and solids poses many unsolved and even
unchallenged questions. Here, the motion of an arbitrary number of bodies is consid-
ered, which are immersed in an arbitrary incompressible Fluid in three-dimensional
space (particulate flows and thick suspensions). The obtained results are new within
this realistic setting. The results almost match the surprising r of San Mart´ın,
Starovoitov, and Tucsnak (2003) obtained in two dimensions. This work considers
the following questions:
How can the transport of many submerged bodies within an incompressible
viscous fluid be modeled most eciently?
How can realistic collisions be incorporated into a model, and what happens
during a collision?
How can a particular velocity field and the associated transport of the bodies
be constructed?
In the first chapter it is proved that even in three dimensions a rigid body motion
is characterized by a vanishing symmetric gradient of the velocity field. This can
be imagined as infinitely high viscosity of a rigid body. Furthermore, it yields a
model for the mixture of solids and liquids that can be formulated without the use
of a reference set. Instead, the common coordinate system of fluid dynamics is
sucient. The equivalence of the approach of physics and the here used
one is proved in Lemma 1.1.3. Surprisingly, a mathematical proof of this observation
for the three-dimensional and therefore non-commutative case could not be found
in the literature.
Intuitively, many collisions are expected in a particulate flow. Therefore, a phe-
nomenon is observed in the second chapter which is surprising. Incompressibility
and rather mild regularity assumptions prevent powerful collisions. To show this, a
general class of incompressible velocity fields is considered. The main observation
is that the Taylor series of the distance function of two colliding bodies vanishes up
to an order that depends on the regularity of the velocity field. This a-priori estimate
does not assume a particular model for the fluid the bodies are submerged in. An
interpretation is that the fluid film does not break. A transmission of energy due to
a boundary layer is hereby not eected. Furthermore, even the weak solution which
is constructed in the third chapter is contained in this class (Theorem 2.2.1).
In the third chapter a procedure is presented to obtain a velocity field that describes
the motion of bodies within a Newtonian fluid (Theorems 3.2.8 and 3.2.10). The so-
lution is found without posing a security zone with artificial repellent forces around
the submerged bodies or the boundary (Notation 3.3.1). Furthermore, this approx-
imation scheme does not need reference coordinates. The hereby obtained global
solution describes the almost always collision-free motion of an arbitrary number of
submerged bodies. Previous existence results are generalized hereby. These results
considered existence at most up to the first occurrence of a collision, or constructed
a solution as artificial continuation in case of a collision. For solutions of higher reg-
ularity the here found velocity field can be narrowed to a motion of balls-on-sticks.There is a theory which states that if ever anyone discovers exactly what the
Universe is for and why it is here, it will instantly disappear and be replaced
by something even more bizarre and inexplicable.
There is another theory which states that this has already happened.
Douglas N. Adams (1998)

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