Optimisation de forme d'une pompe générique de fond de puits, Shape optimization of a submerged pump for oil

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Sous la direction de Antoine Henrot
Thèse soutenue le 24 septembre 2007: Nancy 1
L'objectif de l'optimisation de forme d'une pompe générique de fond de puits est de maximiser le gain de pression par unité de longueur de la pompe, en redessinant ses aubes et son moyeu, tout en respectant un certain nombre de contraintes géométriques. On génère la représentation de la géométrie 3D de la pompe grâce à des B-splines paramétriques cubiques 2D. Pour l'optimisation on utilise une méthode de gradient classique. On emploie Fluent, un logiciel de modélisation de mécanique des fluides boîte noire et on procède par conséquent à un calcul de gradient incomplet de la fonction coût. Pour cela on écrit l'expression analytique exacte du gradient à l'aide d'une formule d'intégration sur les bords variables puis on ne prend en compte que les termes que l'on peut calculer ou déterminer numériquement. Les termes généralement écartés sont les dérivées des solutions de l'équation d'état par rapport au déplacement d'un point de contrôle. On a d'abord développé un code d'optimisation pour le moyeu de la pompe seul, sans aubages, et on présente les résultats obtenus. On utilise une méthode d'optimisation sans contrainte et on prend en compte par réduction du problème des contraintes d'égalité linéaires. On constate qu'après une première phase de décroissance, la fonction coût ne converge pas vers un minimum. On propose alors quelques tests de façon à analyser ce résultat. Parmi ceux-là, l'emploi des différences finies confirme que le gradient incomplet n'est pas systématiquement une direction de descente. Enfin quelques pistes sont évoquées pour l'expliquer.
-Méthodes de gradient
The aim of the optimization of a well-pump is to maximize the pressure gain per length unit in the pump by designing its blades and hub, while taking into account some geometrical constraints. The 3D representation of the geometry of the pump is generated thanks to 2D parametric and cubic B-splines. We lead the optimization with a classical gradient method. Fluent, a computational fluid dynamics (CFD) black box software, is used and therefore we chose to compute an incomplete gradient of the cost function. We calculate the exact analytical expression of the gradient thanks to an integration formula on variable boundaries. Only the terms we can calculate or compute numerically are then kept. The terms we generally omit are the derivatives of the solutions of the state equations with respect to the displacement of the control points. An optimization program for the single hub of the pump has first been developed and we present its results. We use an optimization method without constraints though linear equality constraints are taken into account by reducing the problem. After a first decreasing phase, the cost function does not converge to a minimum value. We suggest some tests so as to analyze this result. Among these, the use of finite differences confirms that the incomplete gradient is not systematically a descent direction. Some ideas are finally given in order to explain this phenomenon.
Source: http://www.theses.fr/2007NAN10104/document
Publié le : mardi 25 octobre 2011
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´EcoleDoctoraleIAEMLorraine
D.F.D.Mathematiques´
encollaborationavec
´INSTITUTFRANC¸AISDUPETROLE
DirectionTechnologie,InformatiqueetMathematiques´ Appliquees´
These` deDoctoratde
Mathematiques´
Present´ ee´ etsoutenuepar
Sev´ erineBAILLET
OPTIMISATIONDEFORME
´ ´D’UNEPOMPEGENERIQUEDEFONDDEPUITS
These` publiquesoutenuele24septembre2007
Jury:
M.Franc¸oisJOUVE ProfesseurLaboratoireJ.L.Lions,Universite´ Paris7 President´
´ ´M.Jean AntoineD ESIDERI DirecteurderechercheINRIASophiaAntipolis Rapporteur
M.OlivierPIRONNEAU ProfesseurLaboratoireJ.L.Lions,Universite´ Paris6
etAcademie´ desSciences
M.JeanBRAC Ingenieur´ derechercheIFP Examinateur
M.AntoineHENROT ProfesseurInstitutElieCartan,NancyUniversite´ INPL
M.JanSOKOLOWSKIElieNancyUniversite´ UHP
´ ´M.JeanFALCIMAIGNE IngenieurderechercheIFP MembreinviteRemerciements
JesouhaiteremercierAntoineHenrotpouravoirdirige´ mathese,` ainsiquepoursadisponibilite,´ son
aideetsonecoute´ pendantcestroisannees.´ Jeremercieeg´ alementJeanBracpouravoirencadre´ lathese`
a` l’IFPetpourlesenseignementsquej’aiputirerdemontravailaveclui.
Je remercie Jean Antoine D esid´ eri´ et Olivier Pironneau qui ont eu l’amabilite´ de rapporter sur ma
these,` ainsiqueFranc¸oisJouveetJanSokolowskiquiontaccepte´ d’etreˆ membresdemonjurydethese.`
Je voudrais aussi remercier Veronique´ Henriot pour avoir facilite´ mon integration´ dans son projet et
pour l’attention qu’elle a accordee´ a` mon travail. Merci aussi a` Jean Falcimaigne pour son aide et ses
conseils avises,´ ainsi que pour sa participation a` mon jury de these.` Enfin merci a` Delphine Sinoquet
pourl’inter´ etˆ qu’elleapretˆ e´ a` mestravauxetpoursessuggestions.
Mercia` tousceuxquiontpartage´ lesmomentsagreables´ etlesplusdifficilesavecmoia` l’IFPetdont
je suis fiere` d’etreˆ devenue l’amie. Zakia, pour les longues discussions que nous avons eues, qui m’ont
si souvent aidee´ a` avancer et a` ne jamais renoncer, et encore pour tant d’autres choses. Carole, pour sa
gentillesse infinie, son sourire vivifiant et son efficacite´ redoutable. Gabriela, que je considere` comme
` ´magrandesœurdel’IFP,pourletempsqu’elleabienvouluconsacreramefairepartagersonexperience
etpourcelui,toutaussiimportant,dupapotage.ElodieetGregorypourleurpatienceavecmoi,pourtous
les bons moments et toutes nos discussions, passees´ et a` venir, autour d’un cafe.´ Enfin merci a` ceux qui
n’ont et´ e´ que de passage mais qui ont eg´ aye´ le quotidien avec leur humour et leur bonne humeur, par
ordred’apparition:Toufik,HenrietStephane.´
Je tiens a` remercier $ylvain et Nico pour leur ecoute´ indefectible´ et leurs encouragements, ainsi que
Pierre,sansquilessoirees´ passees´ a` Nancyauraientet´ e´ bienmornes.
Enfin un merci tout particulier a` ceux qui m’ont prodigue´ leur amour et leur bienveillance pendant
ces trois annees,´ et sans qui je ne serais peut etreˆ pas allee´ si loin : Sylvain, qui m’a apporte´ un soutien
` `constant,monfrere,avecsasagessededocteur,etmesparents,aquijedoistout.`Tabledesmatieres
Introduction 13
I Modelisation´ duprobleme` 29
1 Parametrisation´ etpropriet´ es´ delageom´ etrie´ 31
1.1 Quelquespropriet´ es´ desB splinescubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.1 Definitions´ etpremieres` propriet´ es´ desB splinescubiques . . . . . . . . . . . . 31
1.1.2 Propriet´ e´ demonotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.3 Conditionsuffisantepourqu’uneB splinen’aitpasdepointd’inflexion . . . . . 34
1.2 Quelquespropriet´ es´ geom´ etriques´ del’intradosdelapompe . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.1 Comportementlocaldel’intradosa` l’attaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
`1.2.2localdealafuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Recherched’unnombreraisonnabledepointsdecontroleˆ deB splinepourapprocherla
geom´ etrie´ deref´ erence´ delapompedefonddepuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.2 Grandeslignesdelamethode´ retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.3 Methode´ desmoindrescarres´ pourdeterminer´ Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.4 Listedescontraintesa` prendreencomptepourlesaubages . . . . . . . . . . . . 41
1.3.5 Miseenœuvrenumerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.6 Resultats´ numeriques´ pourl’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.7 R´ num´ pourlacambrure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Resolution´ numerique´ desequations´ deNavier Stokes 47
2.1 Lelogicielde Computational Fluid Dynamics(CFD)Fluent . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Presentation´ gen´ erale´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 Methode´ deresolution´ numerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Modelisation´ d’unecoulement´ degasoildanslapompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Creation´ etmaillagedelageom´ etrie´ dansGambit . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Specifications´ delasimulationnumerique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Modelisation´ d’unecoulement´ basique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.4 Mod´ d’un´ dansundomainemobile . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.5 Modeles` deturbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Resultats´ de convergence pour un probleme` semi lin eair´ e et un probleme` de Stokes dans
unegeom´ etrie´ periodique´ 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Semilinearproblemsin N dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 TheStokesproblemwithNavierslipboundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 61`TABLEDESMATIERES
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II Evaluationdugradient 67
4 Calculd’ungradientincompletdelafonctioncoutˆ 69
4.1 Formulesd’integration´ surdesbordsvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Calculincompletdegradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Z
4.2.1 Deri´ vationdel’integrale´ surleborddudomaine: J = pn . . . . . . . . . . 711 z
∂ΩZ
4.2.2 Deri´ vationdel’integrale´ surlespartiesdeform´ ees´ : J = pn . . . . . . . . . 732 z
D
4.2.3 Expressionfinaledugradientincomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Extensionsduvecteurnormaletduvecteurchampdedeformation´ . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Deri´ vationparrapportaudomainedel’extensiondelanormale . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.1 Resultat´ utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 Premiersel´ ements´ decalcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
04.4.3 CalculdutermeN =−∇(V.N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.4delacourburemoyenne H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Calculduchampdedef´ ormationinduitparledeplacement´ d’unpointdecontroleˆ 81
5.1 Theor´ eme` desfonctionsimplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ del’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Champdedeformation´ induita` l’e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2ded´ induita` l’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ delacambrure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
´ `5.3.1 Champdedeformationinduitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.2ded´ induita` l’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Deplacement´ d’unpointdecontroleˆ dumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Champdedeformation´ induitaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 Ecrituredesvecteursendimension3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.1 Champdedeformation´ a` l’extradosdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.2ded´ a` l’intradosdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5.3 Champdedeformation´ normalaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Cas particulier du champ de deformation´ sur les surfaces d’entree´ et de sortie de l’etage´
depompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Deri´ vee´ del’extensiondelanormale 91
6.1 Calculsrelatifsaumoyeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2gen´ eraux´ relatifsa` uneaube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Distinctionentrel’intradosetl’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 L’extrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.2 L’intrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III Optimisationdumoyeu 101
7 Miseenœuvredel’optimisation 103
7.1 Aproposdel’existenced’unminimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6Tabledesmatier` es
7.2 Deroulement´ del’algorithmed’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Evaluationnumerique´ delafonctioncoutˆ etdugradientincomplet . . . . . . . . . . . . 106
7.4 Calculdesderi´ vees´ desvariablesd’etat´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.1 LesmacrosdeFluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
´ ´ ´7.4.2 Schemanumeriquealternatifpourlecalculdesvariablesd’etataucentredesfaces109
7.4.3 Schema´ num´ pourlecalculdesderi´ vees´ aucentredesfaces . . . . . . . . 112
7.4.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5 Algorithmesd’optimisationsanscontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.1 Methodes´ degradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.2 M´ deNewtonetdequasi Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.6 Priseencomptedescontraintesgeom´ etriques´ pourleprobleme` dumoyeu . . . . . . . . 117
7.6.1 Positionduprobleme` specifique´ d’optimisationdumoyeu . . . . . . . . . . . . 117
7.6.2 Recensementdescontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.6.3 Reduction´ duprobleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.6.4 Choixdelageom´ etrie´ initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Analysecritiquedelamethode´ degradientincomplet 121
8.1 Resultats´ numeriques´ pourlamethode´ degradientincomplet . . . . . . . . . . . . . . . 121
08.1.1 Contraintesdecontinuite´C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
18.1.2surlecaractere` C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.3 Perspectivespourunnombrededegres´ deliberte´ superieur´ . . . . . . . . . . . . 125
8.2 Comparaisonaveclesresultats´ desdifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.1 Calculdugradientpardifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.2.2 Comparaisondel’angleentregradientincompletetgradientcalcule´pardifferences´
finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.2.3 Resultats´ numeriques´ parlesdifferences´ finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3 Qualite´ dugradientincompletetcasdumoyeucylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.1 Gradientpourunmoyeucderayonfixe´ . . . . . . . . . . . 131
8.3.2incompletpourunmoyeucylindriquederayonvariable . . . . . . . . 133
8.4 Bien fond e´ delamethode´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4.1 Justificationparl’experience´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4.2 Etudedesderi´ vees´ elimin´ ees´ lorsducalculdugradientincomplet . . . . . . . . 136
8.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.1 Optimisationdesaubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.5.2 Solutionsenvisageablespourl’amelioration´ del’algorithmed’optimisation . . . 138
Conclusion 141
Bibliographie 145
7Glossaire
0E =(0,e ,e ,e ) repere` cartesien´ lie´ a` lapompe1 2 3
A longueuraxialed’uneaubeaurotorr
Aaxialed’uneaubeaustators
C bordsdeΩnondeform´ es´ aucoursdel’optimisation
c contraintei
D bordsdeΩdeform´ es´ aucoursdel’optimisation
D(.) matricejacobienne
2D (.)hessienne
D diametre` minimaldumoyeu1
D diametre` maximaldumoyeu2
D diametre` ducartert
d directiondedescentek
∂Ω borddeΩ
E faced’entree´ d’unetage´ depompe
e epaisseur´ d’uneaube
ε pasdesdifferences´ finies
Γ surfaced’uneaubea
Γ surfacedumoyeum
H courburemoyenne
J fonctioncoutˆ
jeu jeuaxial
L longueuraxialed’unetage´ depompe
Laxialedurotorr
L longueuraxialedustators
M pointdelacambrurec
M pointdel’extradose
m nombredecontraintes
μ viscosite´ dynamique

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