Pénalisations, pseudo-inverses et peacocks dans un cadre markovien, Penalizations, pseudo-inverses and peacocks in a Markovian set-up

Christophe Profeta

Description

Sous la direction de Pierre Vallois
Thèse soutenue le 12 novembre 2010: Nancy 1
Comme son titre l'indique, cette thèse comporte 3 parties.- La première partie est consacrée à la pénalisation de diffusions linéaires régulières récurrentes. Plus précisément, nous étudions, dans un premier temps, la pénalisation de diffusions récurrentes nulles, et nous présentons une large classe de fonctionnelles pour lesquelles le principe de pénalisation est satisfait. Cette étude repose sur la construction d'une mesure sigma-finie W similaire à celle de Najnudel-Roynette-Yor. Nous traitons également, dans un second temps, le cas de la pénalisation d'une diffusion récurrente positive réfléchie sur un intervalle par une fonction exponentielle de son temps local en 0. Les résultats obtenus dans ce cadre se démarquent nettement de ceux du cas récurrent nul, et l'on voit apparaître un phénomène nouveau de composition des pénalisations.- Dans la deuxième partie, nous étendons la notion de pseudo-inverses (introduite à l'origine par Madan-Roynette-Yor dans le cadre des processus de Bessel) à des diffusions plus générales. Nous montrons en particulier que l'on peut réaliser la famille de pseudo-inverses associée à une diffusion à valeurs positives issue de 0 comme les derniers temps de passage d'une autre diffusion obtenue grâce à la transformation de Biane.- La dernière partie de cette thèse traite de peacocks, i.e. de processus croissants pour l'ordre convexe. Un théorème dû à Kellerer affirme que l'on peut associer à tout peacock une martingale ayant les mêmes marginales unidimensionnelles. Guidé par ce théorème, nous exhibons, dans un premier temps, de larges familles de peacocks, construites essentiellement à partir de processus dit conditionnellement monotones, puis nous associons à certains de ces peacocks des martingales via les plongements de Skorokhod de Hall-Breiman, Bass et Azéma-Yor
-Processus de diffusions
-Ordres stochastiques
-Pénalisations
-Peacocks
-Pseudo-inverses
As suggested by the title, this thesis comprises three parts.- The first part is dedicated to the penalization of regular recurrent linear diffusions. More precisely, we start by examining null recurrent diffusions, and we exhibit a large class of functionals for which the penalization principle is satisfied. This study relies on the construction of a sigma-finite measure W similar to that of Najnudel-Roynette-Yor. We then deal with the case of the penalization of a positively recurrent diffusion (reflected on an interval) with an exponential function of its local time at 0. The results we obtain in this set-up are quite different from the null recurrent framework, and we see a new phenomena of composition of penalizations.- In the second part, we extend the notion of pseudo-inverses (a notion recently introduced by Madan-Roynette-Yor in the framework of Bessel processes) to more general diffusions. We show in particular that we may realize the family of pseudo-inverses associated to a diffusion started from 0 and taking positive values as the last passage times of another diffusion, constructed thanks to Biane's transform.- The last part of this thesis deals with peacocks, i.e. with processes which are increasing in the convex order. A theorem due to Kellerer states that to every peacock, one can associate a martingale which has the same one-dimensional marginals. Guided by this theorem, we first exhibit large families of peacocks, essentially constructed from conditionally monotone processes, and we then associate martingales to some of these peacocks thanks to the Skorokhod embeddings of Hall-Breiman, Bass and Azéma-Yor
Source: http://www.theses.fr/2010NAN10088/document

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

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École Doctorale IAE + M
Université Henri Poincaré - Nancy I
D.F.D. Mathématiques
Thèse présentée par
Christophe Profeta
pour l’obtention du
Doctorat de l’Université Henri Poincaré
Spécialité : Mathématiques
Pénalisations, pseudo-inverses et peacocks dans
un cadre markovien
Composition du jury :
Michel Émery Rapporteur Directeur de Recherche CNRS, Strasbourg
Francis Hirsch Examinateur Professeur émérite, Université d’Évry
Paavo Salminen Rapporteur Professeur, Université d’Åbo
Pierre Vallois Directeur de thèse Université Nancy I
Marc Yor Examinateur Professeur, Université Paris VI
Institut Élie Cartan Nancyi
Remerciements
Mes premières pensées sont adressées à Bernard Roynette qui a accepté de m’encadrer
depuis le DEA. Sa gentillesse, sa constante disponibilité et son inégalable enthousiasme ma-
thématique m’ont guidé pendant ces trois années et je l’en remercie sincèrement.
Pierre Vallois a accepté d’être mon directeur de thèse, tâche qui n’est pas des plus aisées.
Je n’ai pas vraiment pris le temps, en trois ans, de réfléchir à toutes les problématiques qu’il
a pu me soumettre, mais il est grand temps que je m’y mette à présent, et j’espère que sa
patience en sera récompensée!
Un grand merci à Michel Émery d’avoir accepté de rapporter cette thèse, malgré un em-
ploi du temps très chargé. J’ai été également très flatté que Paavo Salminen accepte d’être
rapporteur, malgré la barrière de la langue. Ses travaux ont eu beaucoup d’influence sur ce
manuscrit, et je lui suis vraiment très reconnaissant d’avoir fait le déplacement pour la sou-
tenance.
J’ai pu, au cours des ces trois années, côtoyer deux mathématiciens d’exception, que sont
Francis Hirsch et Marc Yor. Leur rigueur mathématique et leur ouverture d’esprit sont pour
moi des exemples, et je les remercie d’avoir accepté de faire partie de ce jury.
Il y a quelques années, alors jeune étudiant en école d’ingénieur, j’ai fait la connaissance
de trois enseignants qui m’ont, au travers de leur passion pour ce métier, ouvert les yeux
sur le monde de l’enseignement et de la recherche : Antoine Henrot, Samuel Herrmann et
Céline Lacaux. C’est en partie grâce à eux que ce manuscrit existe, et ces trois années à ensei-
gneràleurscôtés(del’autrecôtédelabarrière!)m’ontconvaincuquej’avaisfaitlebonchoix.
Un grand merci également à tous les membres de notre coin-coin des doctorants : en par-
ticulier mon co-bureau et camaraaaade Nicu, Juju le rouquin complexé du bureau d’à-côté,
Aurélien notre pessimiste invétéré, Fernando, Bertrand, Pau, Jo et tous ceux qui sont arrivés
par la suite. Cela aura été un véritable plaisir de passer ces 3 années à vos côtés!
Et finalement, une dernière pensée, mais non des moindres, pour mes deux boulets et
mes parents, qui m’ont toujours supporté même s’ils "n’y comprennent rien à ces trucs de
maths"...iiTable des matières
Introduction vii
Partie 1 : Pénalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Partie 2 : Pseudo-inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Partie 3 : Peacocks et martingales associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
I Pénalisations 1
1 Pénalisation d’une diffusion récurrente nulle 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Cadre et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Généralités sur la théorie de Krein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Enoncé simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

( ;a )
1.2 La famille de probabilités P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8x
x; ;a 0
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Quelques lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
( ;a )
1.2.4 Représentation intégrale deP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14x
1.3 La mesureW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Définition deW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Un générateur de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Un théorème général de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Estimation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Un théorème de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3 Retour sur quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Extension àR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Tableau comparatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rt
1.5.2 Pénalisation par ( 1 du;t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29fX >0gu0
2 Pénalisation d’une diffusion récurrente positive 39
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Enoncé des principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Etude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iiiiv TABLE DES MATIÈRES
2.3 Démonstrations des résultats annoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Une famille de martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Démonstration du théorème de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.3 Etude de la diffusion pénalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
L t2.3.4 Quelques remarques à propos de la pénalisation par (e ;t 0) . . 55
L t2.3.5 Rapide preuve de la pénalisation par (e ;t 0) . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Le principe d’itération des pénalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
( ) Lt2.4.1 Pénalisation deP par e ;t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58x
( ) Lt2.4.2 P deP par e ;t 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59x
2.5 Application aux processus de Bessel de dimension 2]0; 2[ réfléchis en 1 . . . 60
2.5.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2 Le mouvement brownien réfléchi sur [0; 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 63
II Pseudo-inverses 67
3 Existence de pseudo-inverses pour des diffusions 69
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Ordre stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Pseudo-inverses pour un mouvement brownien avec dérive . . . . . . . . . . . 73
() +3.3 Etude d’une famille (X ) de diffusions à valeurs dansR . . . . . . . . 780
3.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Une relation d’entrelacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3 Existence d’un pseudo-inverse croissant lorsque = 0 . . . . . . . . . 84
+3.4 Existence de pseudo-inverses pour une diffusion à valeurs dans R issue de 0 87
3.4.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.2 La transformation de Biane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.3 Existence de pseudo-inver