Quantum billiards in reduced phase space [Elektronische Ressource] / Silke Fürstberger

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ECOD · ODNEICS · MLU TÄTAbteilung Theoretische Physik, Universit¨ at UlmLeiter: Prof. Dr. F. SteinerQuantum BilliardsinReduced Phase SpaceDissertationzur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.der Fakult¨ at fur¨ Naturwissenschaftenan der Universit¨ at UlmvonSilke Furstb¨ ergeraus Munc¨ henUlm 2003ISREVINU· ODNARUC · ODNAmtierender Dekan: Prof. Dr. R. BehmErstgutachter: Prof. Dr. F. SteinerZweitgutachter: HD Dr. Jens BolteTag der Promotion: 17.07.2003DanksagungAn dieser Stelle m¨ ochte ich mich ganz herzlich bei all jenen bedanken, die mir ub¨ erdie vergangenen Jahre stets mit Rat und Tat zur Seite standen, und somit zumGelingen dieser Arbeit beigetragen haben. An erster Stelle ist hier Prof. FrankSteiner zu nennen, der mir diese Arbeit in seiner Abteilung erm¨ oglicht hat und beiFragen immer ein offenes Ohr und interessante Anregungen hatte. Des weiterengilt mein Dank Dr. Roman Schubert fur¨ zahlreiche Diskussionen und wertvolleHinweise sowie fur¨ seine Einfuhrung¨ in das Gebiet der mikrolokalen Analysis. BeiDr. Arnd B¨acker mo¨chte ich mich nicht nur fur¨ die fachlichen Diskussionen be-danken, sondern auch dafur,¨ dass er mir einige Bilder zur Verfugung¨ gestellt hat,die diese Arbeit illustrieren. Zuletzt m¨ ochte ich noch Dr.
Publié le : jeudi 1 janvier 2004
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Abteilung Theoretische Physik, Universit¨ at Ulm
Leiter: Prof. Dr. F. Steiner
Quantum Billiards
in
Reduced Phase Space
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.
der Fakult¨ at fur¨ Naturwissenschaften
an der Universit¨ at Ulm
von
Silke Furstb¨ erger
aus Munc¨ hen
Ulm 2003
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NAmtierender Dekan: Prof. Dr. R. Behm
Erstgutachter: Prof. Dr. F. Steiner
Zweitgutachter: HD Dr. Jens Bolte
Tag der Promotion: 17.07.2003Danksagung
An dieser Stelle m¨ ochte ich mich ganz herzlich bei all jenen bedanken, die mir ub¨ er
die vergangenen Jahre stets mit Rat und Tat zur Seite standen, und somit zum
Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. An erster Stelle ist hier Prof. Frank
Steiner zu nennen, der mir diese Arbeit in seiner Abteilung erm¨ oglicht hat und bei
Fragen immer ein offenes Ohr und interessante Anregungen hatte. Des weiteren
gilt mein Dank Dr. Roman Schubert fur¨ zahlreiche Diskussionen und wertvolle
Hinweise sowie fur¨ seine Einfuhrung¨ in das Gebiet der mikrolokalen Analysis. Bei
Dr. Arnd B¨acker mo¨chte ich mich nicht nur fur¨ die fachlichen Diskussionen be-
danken, sondern auch dafur,¨ dass er mir einige Bilder zur Verfugung¨ gestellt hat,
die diese Arbeit illustrieren. Zuletzt m¨ ochte ich noch Dr. Jens Bolte fur¨ seine
hilfreichen Anregungen und seine kritische Durchsicht des Manuskripts zu dieser
Arbeit, sowie der ganzen Arbeitsgruppe Quantenchaos und Kosmologie fur¨ die
freundschaftliche Atmosph¨ are innerhalb der Abteilung danken.
Darub¨ erhinaus m¨ ochte ich mich noch besonders bei meinen Eltern bedanken,
die mich stets auf meinem Weg unterstutzt¨ haben, ebenso wie meinem Lebens-
gef¨ahrten Wolfgang Gehring, der mir nicht nur durch H¨ ohen und Tiefen zur Seite
stand, sondern auch mit viel Geduld einige sprachliche Schnitzer in dieser Arbeit
korrigiert hat. Zuletzt m¨ ochte ich auch noch meinem Bruder Axel danken, der mir
in der letzten Phase des Ausdruckens und Bindens dieser Arbeit sehr geholfen hat.
Ulm, im Juni 2003 Silke Furstb¨ erger
iiiZusammenfassung
Den ub¨ ergeordneten Rahmen der vorliegenden Arbeit bildet das Gebiet des Quan-
tenchaos. Die zentrale Fragestellung dieses Gebietes ist es, in wieweit sich die
klassische Dynamik eines mechanischen Systems im zugeh¨ origen quantenmecha-
nischen System widerspiegelt.
In dieser Arbeit werden zweidimensionale Billardsysteme als Modellsysteme ver-
wendet, um verschiedene Aspekte des Quantenchaos zu untersuchen. Bei diesen
Systemen handelt es sich um die Bewegung eines freien Punktteilchens in einem
kompakten zweidimensionalen Gebiet ,Ω das am Rand ∂ nach den Gesetzen der
geometrischen Optik reflektiert wird, d.h. es gilt Einfallswinkel= Ausfallswinkel.
Das quantenmechanische Problem wird durch die Helmholtz–Gleichung
(∆ + E)ψ(x)=0
mit Dirichlet–Randbedingungen beschrieben. (Hierbei wurden die Einheiten so
gewahlt,¨ dass=1=2m gilt.)
Das Ziel dieser Arbeit ist es nun zu zeigen, dass bereits bekannte Ergebnisse fur¨ das
zweidimensionale Billardsystem auch fur¨ ein um eine Dimension reduzierte System
bewiesen werden k¨ onnen. Die Reduktion sowohl des klassischen, als auch des quan-
tenmechnischen Systems werden in Kapitel 2 ausfuhrlic¨ h behandelt. Grundlage
ist dabei in beiden F¨ allen die Billardberandung, die als globaler Poincar´eschnitt
dient. Damit l¨asst sich die Dynamik des klassischen Systems anstatt durch den
Hamiltonschen Fluss im Inneren des Billards durch die Billardabbildung auf dem
Rand beschreiben. Bei der Reduktion des quantenmechanischen Systems erh¨ alt
man anstelle der Helmholtz–Gleichung eine Integralgleichung auf dem Billardrand.
Dem daraus resultierenden Integralkern lasst¨ sich dann ein Operator auf dem
Rand, der sogenannte Randintegral–Operator Q , zuordnen. In diesem Zusam-k
menhang spielt die Normalenableitung der Losungen¨ ψ(x) der Helmholtz–Glei-
chung
u(s):=nˆ(s)∇ψ(x(s))
eine zentrale Rolle. Diese Funktionen werden auch als Randfunktionen bezeichnet.
Sie sind die Eigenfunktionen des Randintegral–Operators zum Eigenwert eins.
F¨ ur die nachfolgenden Rechnungen wird in Kapitel 3 der Formalismus der koh¨ arenten
Zust¨ande und die anti–Wick Quantisierung so modifiziert, dass beides auf dem Bil-
lardrand verwendet werden kann.
Mit Hilfe dieser Methoden l¨asst sich der unit¨are Anteil des Randintegral–Operators
berechnen. Es stellt sich heraus, dass der semiklassisch fuhrende¨ Term dieses
iii
Ωunit¨ aren Operators mit dem Bogomolny TransferoperatorU ub¨ ereinstimmt. Zu-k
dem l¨asst sich noch eine weitere Zerlegung des Randintegral–Operators finden,
die wiederum den Bogomolnyschen Operator enth¨ alt und es zudem erm¨ oglicht,
einen semiklassischen Zusammenhang zwischen den Eigenfunktionen des Bogo-
molny Transferoperators und den Randfunktionen herzustellen.
Kapitel 5 widmet sich der Frage, inwieweit sich das fur¨ das zweidimensionale
Billardsystem bewiesene Quantenergodizit¨ atstheorem auf das reduzierte System
ub¨ ertragen l¨asst, ohne dabei explizit das Ergebnis fur¨ das zweidimensionale Sys-
tem zu verwenden. Anschaulich bedeutet dieses Theorem, dass im semiklassischen
Limes fast alle Eigenfunktionen des Systems im schwachen Sinne gleichverteilt
sind. Um nun dieses Resultat auch fur¨ das reduzierte System beweisen zu k¨ onnen,
muss man zun¨ achst eine geeignete Quantisierung der Billardabbildung finden. Es
zeigt sich, dass hierfur¨ der Bogomolnysche Operator eine geeignete Wahl ist, da
er zum einen semiklassisch unit¨ar ist, und zum anderen ein Egorov–Theorem
auf dem Rand erfullt.¨ Außerdem kann man fur¨ die zugeh¨ origen Eigenfunktio-
nen des Bogomonly Transferoperators eine Szego–G¨ renzwertformel herleiten, die
einen Zusammenhang zwischen den quantenmechanischen Erwartungswerten eines
Operators und dem klassischen Erwartungswert herstellt. Diese beiden Theoreme
erm¨ oglichen es dann, Quantenergodizit¨ at auf dem Billardrand zu beweisen.
Im letzten Teil der Arbeit wird das mittlere Verhalten der Randfunktionen im
semiklassischen Limes untersucht. Dieses Verhalten ist unabh¨ angig von der zu-
grundeliegenden klassischen Dynamik. Auch hier kann man wieder feststellen, dass
sich das reduzierte System sehr ahnlic¨ h verh¨ alt wie das zweidimensionale System.
Der fuhrende¨ Term in der Asymptotik des mittleren Verhaltens ist unabh¨ angig
von der konkreten Form des Systems, d.h. fur¨ jedes Billard gleich, w¨ahrend der
n¨ achste Term proportional zur Krumm¨ ung des Randes ist und somit von der Geo-
metrie des betrachteten Systems abh¨ angt. Dieses analytische Resultat deckt sich
hervoragend mit numerischen Ergebnissen fur¨ unterschiedliche Billardsysteme.
ivSummary
This work is embedded in the context of quantum chaos. The central question in
this field is in which way the classical dynamics of a mechanical system is reflected
in the corresponding quantum mechanical system.
In this work we use two–dimensional billiard systems as model systems to deal
with different aspects of quantum chaos. A billiard system consists of a free point
particle inside a compact two–dimensional domain Ω, which is reflected at the
billiard boundary due to the laws of geometrical optics, i.e. we have that the angle
of incidence equals the angle of reflection. The corresponding quantum mechanical
system is described by the Helmholtz equation
(∆ + E)ψ(x)=0
together with Dirichlet boundary conditions. (Here we have chosen units in which
=1=2m.)
The goal of this work is to show that the results known for the two–dimensional
billiard system can also be proven for a system that is reduced by one dimension.
The reduction of the classical as well as the quantum mechanical system will
be discussed in detail in chapter 2. In both cases the basis of this reduction
is the billiard boundary which acts as a global Poincar´e section. Therefore, the
classical dynamics can be described by the billiard map instead of the Hamiltonian
flow inside the billiard. In the quantum mechanical reduction, the Helmholtz
equation is replaced by an integral equation on the billiard boundary. We can
then associate with the resulting integral kernel an operator on the boundary, the
so–called boundary integral operatorQ . In this context, the normal derivativesk
of the solutions ψ(x) of the Helmholtz equation
u(s):=nˆ(s)∇ψ(x(s))
play a central role. These functions are also called boundary functions. They are
the eigenfunctions of the boundary integral operator to eigenvalue one.
For the following derivations we will modify the formalism of coherent states and
the anti–Wick quantisation chapter 3 such that both can be used on the billiard
boundary.
With the help of these methods we can calculate the unitary part of the boundary
integral operator. We find that the semiclassically leading part of this unitary
operator coincides with the Bogomolny transfer operator U . Furthermore, wek
will prove an additional decomposition of the boundary integral operator that also
vincludes the Bogomolny operator and allows for a semiclassical relation between
the eigenfunctions of the Bogomolny transfer operator and the boundary functions.
Chapter 5 deals with the question in which way the quantum ergodicity theorem,
which is proven for two–dimensional billiards, can be carried over to the reduced
system without explicitly using the result for the interior. Roughly speaking, this
theorem states that in the semiclassical limit almost all eigenfunctions become
equidistributed in the weak sense. To prove such a result for the reduced system
we first have to find a suitable quantisation for the billiard map. We will see
that the Bogomolny operator is a good choice because it is semiclassically unitary,
and furthermore fulfils an Egorov theorem on the boundary. Additionally, we
can derive a Szego¨ limit formula for the eigenfunctions of the Bogomolny transfer
operator. This formula connects the quantum mechanical expectation values of an
operator with the classical expectation value. Having these two theorems, we are
able to prove a quantum ergodicity theorem on the billiard boundary.
In the last part of this thesis we will examine the mean behaviour of the boundary
functions in the semiclassical limit. This behaviour is independent of the underly-
ing classical dynamics. We will again see that the behaviour of the reduced system
is very similar to the one of the two–dimensional system. The leading term in the
asymptotics of the mean behaviour is independent of the shape of the billiard,
i.e. it is the same for each billiard, whereas the second term is proportional to
the curvature of the boundary and thus depends on the geometry of the consid-
ered system. This analytical result coincides very well with the numerical data for
different billiard systems.
viContents
Danksagung.................................. i
Zusammenfasung......... ii
Summary.. v
1. Introduction 1
1.1.Chaosinquantummechanics ..................... 1
1.2. Billiards as model systems ............ 3
2. Classical and quantum billiards 7
2.1. Classical billiards ................. 7
2.1.1. Definition of billiard systems....... 7
2.1.2. Dynamical properties of billiards . . .. 10
2.2. Quantum billiards................. 13
2.2.1. Definition of quantum billiards ................ 14
2.2.2. Reduction to the boundary........ 15
2.2.3. Properties of the b integral operator ......... 21
3. Coherent states and anti–Wick quantisation on the boundary 25
3.1.Symplecticgeometry.......................... 25
3.2. Coherent states on the billiard boundary . . .. 28
3.3. Anti–Wick quantisation on the bo . . .. 35
4. A new eigenvalue equation on the boundary 45
4.1. Connection between the boundary integral operator and the Bogo-
molnytransferoperator ........................ 46
4.2. Another decomposition of the boundary integral operator...... 56
5. Quantum ergodicity in reduced phase space 63
5.1. An Egorov theorem on the boundary ................. 64
5.1.1. Linearisation of the billiard map..... 64
5.1.2. Propagation of coherent states...... 69
5.1.3. Pr of anti–Wick operators . .. 78
viiContents
5.2. A Szego¨ limit formula on the boundary ................ 79
5.2.1. Mean behaviour of Husimi functions on the boundary . . . . 79
5.2.2. The Szego¨ limit formula on the boundary........... 8
5.3. Quantum ergodicity on the boundary ...... 90
5.3.1. Boundedness of the eigenfunctions w ............. 90n
5.3.2.Thequantumergodicitytheorem.... 93
6. Mean behaviour of boundary functions 101
6.1. An integral equation on the boundary.................103
6.2. Integral representations on the boundary . . ..109
ρ ρ
6.3. The computation of g (k,s,s)andg (k,s,s).140 1
ρ 6.4. Estimating g (k,s,s)...............12n
6.5. Mean behaviour of boundary functions ................123
6.6.Comparisonwithnumericalresults.......125
6.7.Completenesrelation ...130
A. Definition of the angles corresponding to the billiard map and the
boundary integral method 135
B. The method of stationary phase 137
C. Two integral identities 143
D. Pseudodifferential and Fourier integral operators 147
D.1.Pseudodifferentialoperators......................147
D.1.1. k–pseudodifferentialoperators......147
D.1.2. k–pseudodifferentialoperatorsonmanifolds .........149
D.2.Fourierintegraloperators ............150
D.2.1.Lagrangiandistributions....................150
D.2.2. k–Fourierintegraloperators.......154
E. Weyl quantisation 157
viii

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