Regularity results for functionals and Calderón-Zygmund estimates for systems of higher order with p(x)-growth [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jens Habermann

p(x)urnberesultsUnivforgelegtfunctionalsAleandatCaldergrHabermannon{ZyFriedrichgmundanderestimatsites{forgsvystonemsNofderhigher{orxder{witherryErlangenegularitNRurnberErlangungzurDoktdes{orgradesowthorDenvJensFakultausatgenstAlsHDissertG.ationer:genehmigtDrittberichtvof.ondenF.of.Fakulter:ItatD.-PenaderderstUnivof.erZweitberichtsiter:H.atstErlangenof.{(PNPrDr.urnber.gTEragerderattmPrDr.undlichenDuzaarPrerattufung:Pr02.Dr.JuniLeutwiler2006erVattorPrsitzenderDr.derMingionePrarma,omotionskalien)omission:n Nn∈N ,N ∈N,m∈N Ω⊂R w : Ω→R≥2Zm nF[w]≡ f(x,δw(x),D w(x))dL (x),Ω 2 m−1δw(x) = w(x),Dw(x),D w(x),...,D w(x)i=1,...,Nk αD w≡{D w} k wi |α|=kf−1 p(x) p(x)L (1+|z| )≤f(x,ξ,z)≤L(1+|z| ),x,ξ,z L≥ 1 pp : Ω→ (1,∞).m,p() NW (Ω,R ) RN (k) (k) p(x) n:f Ω → R f |f (x)| dL (x) < ∞Ωk = 0,...,mFm,p() Nu ∈ W Ω;R F[]loc2f Cx ξ fpn mΩ ⊂ Ω L (Ω\Ω ) = 0 D u0 0Ω 0m = 1m∈NquasikFormderder(d.h.imandarsei.imsog.ureinelokulleenenfunktionerfhund2001ableerisierungari-derV-endenKlasseenthaltetigAbleitungeMengeochstegularitist.fdnungMingioneur[14allevh(die1.
Publié le : dimanche 1 janvier 2006
Lecture(s) : 14
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p(x)
urnber
esult

s
Univ
for
gelegt
functionals
Ale
and
at
Calder
gr

Habermann
on{Zy
Friedrich
gmund
ander
estimat
sit
es
{
for
g
s
v
yst
on
ems
N
of
der
higher
{
or
x
der
{
with
er
r

y
Erlangen
egularit
N
R
urnber
Erlangung
zur
Dokt
des
{
or
gr
ades
owth
or
Den
v

Jens
Fakult
aus


at
g
enst
Als
H
Dissert
G.
ation
er:
genehmigt
Drittbericht
v
of.
on

den
F.

of.
Fakult
er:

It
at
D.-P
en
ader
der
st
Univ
of.
er
Zweitbericht
sit
er:

H.
at
st
Erlangen
of.
{
(P
N
Pr

Dr.
urnber
.
g

T
Er
ag
er
der
att
m
Pr

Dr.
undlichen
Duzaar
Pr
er

att
ufung:
Pr
02.
Dr.
Juni
Leutwiler
2006
er
V
att
or
Pr
sitzender
Dr.
der
Mingione
Pr
arma,
omotionsk
alien)
omission:n Nn∈N ,N ∈N,m∈N Ω⊂R w : Ω→R≥2
Z
m nF[w]≡ f(x,δw(x),D w(x))dL (x),
Ω
2 m−1δw(x) = w(x),Dw(x),D w(x),...,D w(x)
i=1,...,Nk αD w≡{D w} k wi |α|=k
f
−1 p(x) p(x)
L (1+|z| )≤f(x,ξ,z)≤L(1+|z| ),
x,ξ,z L≥ 1 p
p : Ω→ (1,∞).
m,p() NW (Ω,R ) R
N (k) (k) p(x) n:f Ω → R f |f (x)| dL (x) < ∞Ω
k = 0,...,m
F
m,p() Nu ∈ W Ω;R F[]loc
2f C
x ξ f
p
n mΩ ⊂ Ω L (Ω\Ω ) = 0 D u0 0
Ω 0
m = 1
m∈N
quasik
Form
der
der
(d.h.

im
andar
sei.

im
sog.
ur
eine
lok
ulle
en

enfunktion
erf
h
und
2001
able
erisierung
ari-
der
V

-

enden
Klasse
enthalt
etig
Ableitung

e
Menge
ochst
egularit

ist.
f
dnung

Mingione
ur
[14
alle
v
h
(
die
1.
-

en
einer
dritt
Funktionals
,
t
mit
und
einer

K
h
onst
ariablen
ant

en
older
der
e
in
ariationsint
x
f
.
sodass
Der
etig
Exponent
dieser
e
Funktionalen
sei
Die
dabei
Ac
eine
uhrt
Funktion
Cam-
des
Int
Ort
st
es
den
onv
oher
quasik
T
sei
gezeigt:
Funktion
zwei
y-
Sie
eodor


nt
ath
dnung,
Car
Minimum
Die
er
Die
dessen
Exist
andenfunktion
enz
e
lok
on
aler
Dier
Minima
der
der
ariable
artiger
older
Funktionale
den
k
und
ann
dem
.
yst
(Z1)
(Z1)
h
Ziel
etiger
v
.
er
eine
allge-
ale,
meinert
ollen
en
ur
Sobole
at
vr
zur
aum

Funktion
older
der
et
Ableitung
Der
e
wur
-t
v
die
er
bezeichnet
orliegende
Dabei
im
et.
on
acht
und
betr
gef
,
beruht
urzung
on
gezeigt
o
wer
formuliert
den,

dem

linear
Funktionen.
en
Arbeit
R
f
aum
h
aller
Or
Funk-
en
tionen
eil

Arbeit
Abk
Satz
der
Sei
mit

Form
behandelt
der
ugen.
,
gen
der
andar
en
en
Ableitungen
sogenan-
Funktionale
die
den
ein
wer
ales
Zu
des
die
Or
Bedingung
oher
Gebiet.
,
es
In-
ankt
egr

h
beschr
onv
ein
x
und
v
Sei
der
obleme

ariationspr
bez
V

e
dritt
x
V
e
sowie
onv

Quasik
st
I:
in
eil
V
T
partieller
eilen:
eme
T
Auer
zwei
erf
aus
ulle
erf
die

bedingung
ullen
mit
(

daher
st
eht
Exponent
best
S
und
Dann
oblemen
xistiert
Pr
oene
on
sowie
v
egr
ypen
v
).
Lebesgue-Maes
Die
V
v

orliegende
stheorie
Arbeit

besch
R

),
aftigt
age

Beitr
im

er
st
st
auf
en
leist
T
Arbeit
eil
Beweis
mit
Aussage
der
de
Fr
Fall
age
on

zweit
einer
Or
st
(

v
ark
)
er
Jahr
en
v
R
E.
egularit
erbi

G.
at

saussage

f
und

auf
ur
v
Minima
S.
v
panat
on
(siehe
T

.
en
Das
egr
folgende
akt
par-
h
tielle
older
R
etiger
egularit
Die

orliegende
at
zeigt
sr
Beweis
esult

at
Funktionale
wir

d
er
im
dnung
er
Zusammenfassung:
st
t
).

iii
imE(x,r)
mD u B(x,r)
m,p() Nu ∈ W (Ω;R )
Z Z
m m p(x)−2 mhA(x,D u),D φi dx = |F(x)| hF(x),D φi dx,
Ω Ω
m,1 N m p() 1 m n N:φ∈W Ω;R |D φ| ∈L (Ω) A Ω×⊙ (R ,R )→0 loc
m n NHom ⊙ (R ,R ),R
p(x)−12
2|A(x,z)|≤L(1+|z| ) ,
p(x)
2 2ν(1+|z| ) −L≤hA(x,z),zi,
x,z ν∈ (0,1],L≥ 1
m,p() Nu∈W Ω;R
p
ω
1
limω(ρ)log = 0
ρ↓0 ρ
nqp()|F| ∈L (Ω) 1<q < .loc n−2
qm p() q|D u| ∈ L (Ω) Lloc
m p()|D u|
m p() p()Ω |D u| |F|
m = 1
Beweis

erf
und
v
Elliptizit
alle

er
at
wer
sbedingungen:
mit
auf
Absch
|

Ableitung
Absch
der
indir
zillation
Weit
Os-
Absch


quadr

e
v
mittler
es
die
saussage,
ur
erfasst

gmund
f
v
alma
gument.
egr
emen
Int
Die
ein
It
|
mit
ess'
or

akt
'Ex
Campanat
sog.
gilt
den
e
es,

ist

|
2

egr
er
Exponent
on-Zy

gmund-Absch
Beweis

om
atzung
auf
f
auf


ur

(Z2)
gewissem
dnung
v
Or
dnung
oherer
en


h
ullt.
ems
ation
yst
atzung
S
zusam-

der
des
Dann

en
S
v
yst

eme
die
h
und

geeignet
oher
atzung
er
{
(Z4)
egu-
f
saussage.

Ex
ur
Prinzip
alle
bei
Or
eine
dnung
e
mit

,
der
mit

K
egr
onst
quantit
ant
d.
en
auf

atzung
andar


yp,
Betr
T
osungen


die
L
ay
schwache
erfolgt
den
dur
wer
'Blow{up'
et
eil
.
gr
Es
Im
wir
S
d
er
die
II:
folgende
er
Aussage
sei
bewiesen:
.
Satz
atzung'
2.

Sei
Die
folgenden
er
die
dieser
ulle


liefert
erf
schlielich,
einer
men
geeignet
mit
en
zuv
Kugel
erw
zu
ist
unt
ahnt
er
Char

erisierung
acht
on
spr
ur
Aussage
f
L
o,

gew
osung
unscht
v
es
on
eine
S
e
yst

em
der
(Z2)
R
unt
Norm
er
on
den
larit

at
tums-
Der
und
der
Elliptizit
.
und
Im
)
handelt
de

ent
Satz
or
um
aussetzungen
h
(Z3)
oher
und
Int
(Z4)
abilit
,
at
wobei
bei
die
der
Exponent
h
enfunktion
oher
zu
Int
st
abilit
etig
at
sei
ativ
mit
wir
St
Der
etigk
beruht
eit
einer
smodul

zeigen,
v
,
Calder
f
on-Zy

T
ur
angewendet
den
die
die
eilmengen
Bedingung
on
dass
,
dieser
denen
unt
Maximalfunktionen
er
on
einer
Absch
anf
atzung

dabei
anglichen
ekt
Kleinheit
bzw.
sbedingung
ein
eine
Ar
sog.
T
'Ex
in

Sinne
ess{
o

den.
ay
Fall
Absch
on
Abbildung
yst
erf
zweit

Or
ullt
(
sei.
Cald
Das

wur
at
eine
s
v
echende
eine
schwache
iv
(Z3)q
m > 1
∞L
m+1,2W
q
oinc
Jahr

2004
an
in
eingefr
der

Arbeit
mitt

f
v
den,
on
Satz
E.
dnung
Ac
Aller
erbi
quotient
und
aller
G.
L
Mingione
yst
bewiesen.
Anwendung
Es
den
zeigt
er

Exponent

eine
dass
Funktion
im
k
Fall
Dier
v
eine
on
ohne
S

yst
ur
e-
osung
men
enen
h
gezeigt

schlielich
oher
Sobole
er

Or
v
dnung
|
(
obigen
im
an
|
Or
en
k
)
den
eine
{
der
ist.
artig
dings
allgemeine
ann
Aussage
els

enzen-
zu
en
erwart
ankung
en

ist.
dings
Dies
Absch
liegt
atzung
dar

an,
die
dass

die
des
L
or

S
osung
ems
eines
wer
geeignet
welche
en,

'eingefr
der
or
v{P
enen'
ar
V

er
Beweis

on
yst
2
Exponent
unt
|
der
v

h
ankung

den
oher
en
er
ems
erlaubt.
im
FallN n:w Ω→R Ω R n∈N ,N ∈N≥2
m∈N Z
m nF[w]≡ f(x,δw(x),D w(x))dL (x),
Ω
2 m−1δw(x) (w(x),Dw(x),D w(x),...,D w(x))
i=1,...,Nk αD w ≡{D w} k wi |α|=k
f
w
−1 p(x) p(x)L (1+|z| )≤f(x,ξ,z)≤L(1+|z| ),
x,ξ,z L ≥ 1
p : Ω→ (1,∞).
m,p() N n:W (Ω;R ) f Ω→RR
(k) (k) p(x) nf ,(k = 0,...,m) |f (x)| dL (x) < ∞Ω
F
m,p() Nu ∈ W (Ω;R ) F[]
2f C
x ξ f
p
n mΩ ⊂ Ω L (Ω\Ω ) = 0 D u0 0
Ω 0
m = 1
m> 1
o
owth
of

xponent
ondition'
divided
of
r
the
of
t
erization
ype
v
(A1)
r
with
y
antially
Car
subst
the
deals
erbi
it
This
e
ativ
Sinc
al
ondition'.
onv

ariable
owth
and
gr
with
d
xist
andar
.
st
H
'non
this
alled
work
so{c
based
s
formulat
satisfying

der,
1.
or
aining
higher
e
of
functional
equations
and
ential

dier
the
partial
older
of
the
ems
eo
yst
owth
s
older
and
Then
als
set
egr
measur
int
of
ariational
e
v
ontinuous
for
The
all
in
for
der
y
b
theor
in
y
egr
egularit
older
,
S.
with
pr
a
or

Theor
onst
of
ant
highest
r

o
in
t
a
.
of
The
quasic
e
int
xponent
is
is
x,
assumed
is
t
t
o
d
be
H
a
ontinuous
function
t
of
ariables
the
.
spac
er,
e
the
v
ondition
ariable
H
ontribution
ontinuous

eodor
a
e
es
an
mak
th
paper
full
following
(i.e.
The
function
act:
der
Abstr

o
deriv
x
older
the
the
alled
.
x
oof
ess'
at
an

egr
ond
measur
(
for
)
quadr
E.
mean
G.
of
It
this
the
t

ype
H

ontinuit
an
b
be
o
shown
shows
in
for
the
of
gen-
functionals
er
shown:.
alized
em
Sobole
Let
v
e
spac
deriv
e
the
bounded
ont
domain
ariable
in
the
,
x
(
be
),

and
minimizer
,
the
we
onv

be
onsider
whose
functionals
egr
of
t
,
quasic
the
e
spac
of
e
supposed

with
onsisting

of
o
all
thir
functions
v
the
and
t

ype

wher
with
e

is
o
whose
v
deriv
dier
ativ
function
es
Mor
int
v
an
let
abbr
satisfy
e
gr
o

two
(A1)
part
a
s:

P

art
e
I:
function
Quasic
.
onv
ther
e
e
x
s
v
open
satisfy

the
a-

of
ondition
Lebesgue
viation
e
d
The
ariational
ent
int
the
for
pr
egr
or
als
),
For
that
functions
ativ
with
is
and

,

,
on
wher
set
e
denoting
denot
oblems,
es
pr
a
of
andar
st
st
ement
'non
the
a
ase
satises

.
or
The
functionals
r
the
and
is
gr
was
done
The
y
en-
Ac
is
and
deals
Mingione
with
2001.
the
is
question
on
of
int
r
al
egularit
act
y
of
of

minimizer

s
y,
of
ed
the
y
functional
Campanat
two
[14].
.
work
The
the
following
oof
r
the
egularit
ase
y
higher
r
der
esult
(
will
be
st
).
part
int
of
tion
this
t
work
e
The
amine
e
so{c
xist
'e


e
|
of
int

al
al
e
minimizer
the
s
atic
of
vi
functionalsmD u B(x,r)
m,p() Nu ∈ W (Ω;R )
Z Z
m m p(x)−2 mhA(x,D u),D φi dx = |F(x)| hF(x),D φi dx,
Ω Ω
m,1 N m p() 1 m n Nφ ∈ W Ω;R |D φ| ∈ L (Ω) A : Ω×⊙ (R ,R ) →0 loc
m n NHom ⊙ (R ,R ),R
p(x)−1
2 2|A(x,z)|≤L(1+|z| ) ,
p(x)2
2ν(1+|z| ) −L≤hA(x,z),zi,
x,z ν∈ (0,1],L≥ 1
m,p() Nu ∈ W (Ω;R )
p
ω
1
limω(ρ)log = 0.
ρ↓0 ρ
np() q|F| ∈L (Ω), 1<q < .loc n−2
qm p() q|D u| ∈ L (Ω) Lloc
m p()|D u|
Ω
m p() p()|D u| |F|
m = 1
q
int
ating
der
er
satisfy
(A3)
y
It
this
small.
ay
initially
able
is
higher
ess
y

applied
x
e
e
erbi
the
abo
that
norm
vided

o
dier
pr
the
e',
quantit
estimat
e
ay
on

r
ess
ond

pr
x
Indeed
'e
r
an
t
es
the
satis-
r
it
owth
that
onsider
show
y
o

(A4)
r
for
higher
all
det
t
The
and
based
ball
on-Zy
,
s
with
functions

is
onst
x
ant
lar
s
yst
able
similar
suit
b
a
in
on
for
|
r
e
e
ativ
e,
deriv
a
the
e
of
the

desir
annot
ondi-
e
and
ed.
em
is
be
t
as
the
egr
that
esult
solution
fr
a
al
able
abilit
o
s
v
that
ed:.
egr
Theor
xponent
em
in
2.
e
Let
oof
e
esult
for
an
higher
Calder
or
t
der
the
elliptic
gr
s
the
yst
following
with
t
ems
y
with
The
nonst
ess
andar
some
d
For
gr
der
be
(
a
)
weak
esult
solution
v
of
E.
the
G.
s
(see
yst
r
em
ond
(A2)
yst
under
es
the
on
gr
mentioned
owth
v
and
leads
ellipticit
with
y
suit

estimat
onditions
for
(A3)
o
and
{
(A4)
of
,
ed
wher
tions:
e

the
ellipticit
e
.
xponent
Theor
function
2
owth
an
is

sup-
ed
posed
a
t
int
o
abilit
be
r

which
ontinuous
s
with
om
modulus

of
higher

egr
ontinuit
y
y
esult
Consider
in
,
sense
satisfying
the
weak
int
solutions
abilit
of
e
pr
is
o
ermined
v
a
the
ativ
all
way.
for
pr
following
of
higher
r
or
is
der
on
elliptic
estimat
s
of
ed

ys-
gmund
t
ype,
em:
on
(A2)
subset
Furthermor
of
e,
,
let
which
in
maximal
an
of
indir
the
ect
o
way
supposed
b
egularit
y
and
a
esult.
'blow
e
up'

map
ar
The
in
.
sense
ar
ge.
gument.

P
or
art
s
this
ems
.

turns
estimat
that
a
the
r
or
was

o

ed
gen-
y
al
Ac
esult
and
ther
Mingione
e
2004
holds

estimat
the
e,
esult
t

ogether
or
with
s
the
ems
st
equir
at
no
ement
estriction
of
the
Campanat
xponent
o,
with
It
II:
out
Calder
in

higher
on-Zy
der
gmund
ase
e
a
will
er
be
r

Then
estimat
be
.
xpect
Then
This
the
due
following
o
st

at
the
ement
of
will
suit
be
vii
pr

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