Regularity results for weak and very weak solutions of higher order parabolic systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Verena Bögelein

Regularity results for weak and veryweak solutions of higher orderparabolic systemsDen Naturwissenschaftlichen Fakultaten¨der Friedrich Alexander Universit at¨ Erlangen Nurnber¨ gzurErlangung des Doktorgradesvorgelegt vonVerena Bogelein¨aus Nurnber¨ gAls Dissertation genehmigt¨von den Naturwissenschaftlichen Fakultatender Universitat¨ Erlangen Nurnber¨ gTag der mundlichen¨ Prufung:¨ 09.02.2007Vorsitzender derPromotionskommission: Prof. Dr. E. Bansch¨Erstberichterstatter: Prof. Dr. F. DuzaarZweitberichterstatter: Prof. Dr. W. BorchersDrittberichterstatter: Prof. Dr. J. Manfredi (Pittsburgh, PA)iZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit Fragestellungen der Regularitats ¨theorie fur¨ Systeme parabolischer partieller Differentialgleichungen hoherer¨ Ordnung.n+1Seien n,N,m ∈ N und Ω ≡ Ω×(−T,0) ⊂ R ein beschranktes¨ Gebiet. WirTp m,p Nbetrachten schwache Losungen¨ u∈L (−T,0;W (Ω;R )),p≥1 des parabolischenSystems der Ordnung2mZ Zm−1X¡ ¢m m k m ku·∂ ϕ−A(z,δu,D u)·D ϕ dz = B (z,δu,D u)·D ϕdz, (0.1)tΩ ΩT Tk=0∞ N n+1fur¨ alleϕ∈C (Ω ;R ). Dabei benutzen wir die Abkurzungen¨ z =(x,t)∈R undT0m−1δu=(u,Du,...,D u) fur¨ die Ableitungen niederer Ordnung vonu. Die naturliche¨Metrik in diesem Kontext ist die parabolische Metrikp¡ ¢2m n2mdist (x,t),(y,s) ≡ |x−y| +|t−s| x,y∈R ; t,s∈R.pkZiel ist es, unter bestimmten Voraussetzungen an A und B bessere Differenzierbar keits bzw.
Publié le : lundi 1 janvier 2007
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Regularity results for weak and very
weak solutions of higher order
parabolic systems
Den Naturwissenschaftlichen Fakultaten¨
der Friedrich Alexander Universit at¨ Erlangen Nurnber¨ g
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Verena Bogelein¨
aus Nurnber¨ gAls Dissertation genehmigt
¨von den Naturwissenschaftlichen Fakultaten
der Universitat¨ Erlangen Nurnber¨ g
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 09.02.2007
Vorsitzender der
Promotionskommission: Prof. Dr. E. Bansch¨
Erstberichterstatter: Prof. Dr. F. Duzaar
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. W. Borchers
Drittberichterstatter: Prof. Dr. J. Manfredi (Pittsburgh, PA)i
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit Fragestellungen der Regularitats ¨
theorie fur¨ Systeme parabolischer partieller Differentialgleichungen hoherer¨ Ordnung.
n+1Seien n,N,m ∈ N und Ω ≡ Ω×(−T,0) ⊂ R ein beschranktes¨ Gebiet. WirT
p m,p Nbetrachten schwache Losungen¨ u∈L (−T,0;W (Ω;R )),p≥1 des parabolischen
Systems der Ordnung2m
Z Zm−1X¡ ¢
m m k m ku·∂ ϕ−A(z,δu,D u)·D ϕ dz = B (z,δu,D u)·D ϕdz, (0.1)t
Ω ΩT Tk=0
∞ N n+1fur¨ alleϕ∈C (Ω ;R ). Dabei benutzen wir die Abkurzungen¨ z =(x,t)∈R undT0
m−1δu=(u,Du,...,D u) fur¨ die Ableitungen niederer Ordnung vonu. Die naturliche¨
Metrik in diesem Kontext ist die parabolische Metrik
p¡ ¢
2m n2mdist (x,t),(y,s) ≡ |x−y| +|t−s| x,y∈R ; t,s∈R.p
kZiel ist es, unter bestimmten Voraussetzungen an A und B bessere Differenzierbar
keits bzw. Integrierbarkeitseigenschaften schwacher Losungen¨ u zu zeigen.
Teil I: Partielle Regularitat¨
Wir betrachten parabolische Systeme hoherer¨ Ordnung des Typs (0.1), wobei die Koef
fizientenA den folgenden Bedingungen genugen:¨
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |qe| ,q 0
(0.2)
|A(z,ξ,q)|≤L (1+|q|),1
fur¨ allez,ξ,q,q˜, wobei0<L ≤1 undL ≥1. Zudem wird∂ A als - nicht notwendi 0 1 q
¨ ¨gerweise gleichmaßig - beschrankt vorausgesetzt: ZuM >0 gibt esκ , so dassM
|∂ A(z,ξ,q)|≤L κ , (0.3)q 1 M
fur¨ allez,ξ,q mit|ξ|+|q|≤M. Wir zeigen das folgende partielle Regularitatsresultat:¨
2 m,2 NSatz 0.1. Sei u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) eine schwache Losung von System (0.1)¨
kmit B ≡ 0 unter den Bedingungen (0.2) und (0.3) und sei zusatzlic¨ h die Abbildung
A(z,ξ,q)(z,ξ) 7→ (nicht notwendigerweise gleichmaßig)¨ Holder¨ stetig mit Holder¨ expo 1+|q|
n+1nent β ∈ (0,1). Dann gibt es eine abgeschlossene Menge Σ ⊂ Ω mitL (Σ) = 0,T
mso dass D u auf Ω \ Σ lokal Holder¨ stetig ist bzgl. der parabolischen Metrik mitT
Holder¨ exponentβ.
2 m,2 NDie selbe Aussage gilt fur¨ schwache Losung¨ en u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) ∩
∞ 2 N kL (−T,0;L (Ω;R )) des inhomogenen Systems, wenn die Inhomogenitat¨ B einer
kontrollierten Wachstumsbedingung“ genugt.¨
”ii
Im Falle homogener Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurde diese Aussage
von F. Duzaar und G. Mingione in [29] mit der Methode der A calorischen approx
imation bewiesen. In der folgenden Arbeit zeigen wir dieses Regularitatsresultat¨ fur¨
inhomogene Systeme hoherer¨ Ordnung.
¨Die Grundidee des Beweises besteht darin, das sogenannte Lemma uber A-
polycalorische Approximation auszunutzen, um gute Abschatzungen¨ fur¨ Losungen¨
linearer Systeme in einem gewissen Sinne auf Losungen¨ des betrachteten nichtlin
earen Systems zu ubertragen.¨ Diese Technik liefert eine sogenannte excess decay Ab
mschatzung,¨ d.h. eine Abschatzung¨ fur¨ die mittlere Oszillation von D u, unter einer
mgewissen Kleinheitsbedingung an u und D u. Daraus folgern wir mit Hilfe der
Integralcharakterisierung Holderstetiger¨ Funktionen von Campanato die gewunschte¨
m n+1Holderstetigk¨ eit vonD u auf einer Menge von vollemL - Maß.
Teil II: Hoher¨ e Integrierbarkeit sehr schwacher Losungen¨
Wir betrachten degenerierte (p ≥ 2), bzw. singulare¨ (p < 2) parabolische Systeme
hoherer¨ Ordnung der Form (0.1) vom Typ des parabolischen p Laplace, d.h. mit den
folgenden Elliptizitats ¨ und Wachstumsbedingungen:
pA(z,q)·q≥L |q| −b ,0 0
p−1|A(z,q)|≤L |q| +b , (0.4)1 1
k p−1|B (z,q)|≤L |q| +b ,2 2
¡12n pfur¨ alle z,q, wobei p > max{1, }, 0 < L ≤ 1, L ,L ≥ 1 und|b | + |b |+0 1 2 0 1n+2m¢ 1
p−1 qˆ|b | ∈ L fur¨ einqˆ> p. Der naturliche¨ “ Funktionenraum fur¨ schwache Losungen¨2 ”p m,p N 2 Nist L (−T,0;W (Ω;R ))∩L (Ω ;R ). Es stellt sich die Frage, ob diese Bedin T
gung abgeschwacht¨ werden kann: Sind sogenannte sehr schwache Losungen¨ bereits
schwache Losungen?¨
In der folgenden Arbeit zeigen wir, dass diese Frage bejaht werden kann, wenn die
sehr schwache Losung¨ nicht zu schlecht“ ist, d.h. wir zeigen:

2nSatz 0.2. Sei p > . Dann gibt es β > 0 so dass jede sehr schwache Losung¨n+2
p−β m,p−β N 2 m−1,2 Nu ∈ L (−T,0;W (Ω;R ))∩L (−T,0;W (Ω;R )) von (0.1) unter den
Voraussetzungen (0.4) bereits eine schwache Losung¨ ist, die sogar zum Exponenp+β
p+β m,p+β Nintegrierbar ist, d.h. es giltu∈L (−T,0;W (Ω;R )).
Genau genommen beinhaltet obiger Satz zwei Aussagen. Zum einen stellt er sicher,
m p−βdass sehr schwache Losungen¨ bereits schwache Losungen¨ sind, d.h. D u ∈ L ⇒
m pD u ∈ L und außerdem zeigt er, dass schwache Losungen¨ hoher¨ integrierbar sind,iii
m p m p+βd.h. D u∈ L ⇒ D u∈ L . Fur¨ Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurden
diese Aussagen von J. Kinnunen und J. L. Lewis in [48] und [49] bewiesen.
Die Schwierigkeiten beim Beweis eines derartigen Satzes liegen einerseits in der
¨ ¨schlechten Regularitat (sehr) schwacher Losungen bzgl. der Zeitvariable t. Zudem
verhalt¨ sich das System im Fall p = 2 anisotrop, d.h. es skaliert unterschiedlich
bzgl. der Ortsrichtung x und Zeitrichtung t. Deshalb beweisen wir die benotigten¨
Abschatzungen¨ auf einem System parabolischer Zylinder, deren Seitenlangen¨ und
Skalierung von der Losung¨ selbst abhangt.¨ Da im Falle sehr schwacher Losungen¨ u
selbst keine zulassige¨ Testfuntkion ist, konstruieren wir eine Art gemittelte Whitney

Fortsetzung“: Wir konstruieren eine Testfunktionw, die aus den Mittelwertspolynomen
auf Whitney Zylindern, multipliziert mit einer Zerlegung der Eins, besteht.
Teil III: Verbesserte Abschatzungen¨ fur¨ die Hausdorff Dimension
der singular¨ en Menge
Ziel dieses Teils der Arbeit ist es, unter etwas stark¨ eren Voraussetzungen an die Koef
fizienten A und B, das in Teil I erzielte Resultat, zu verbessern. Im Allgemeinen ist
¨Regularitat auf der vollen Menge Ω zwar nicht zu erwarten. Es kann jedoch geziegtT
werden, dass die singulare¨ in einem gewissen Sinne klein ist, d.h. eine kleine
Hausdorff Dimension besitzt.
Wir betrachten Systeme des Typs (0.1) unter den folgenden Bedingungen:
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |pe| ,q 0
|∂ A(z,ξ,q)|≤L , (0.5)q 1
k|B (z,ξ,q)|≤L (1+|q|),2
¨fur alle z,ξ,q,qe, wobei 0 < L ≤ 1 and L ,L ≥ 1 und zeigen folgende verbesserte0 1 2
Abschatzungen¨ fur¨ die Hausdorff Dimension der singularen¨ Menge:
2 m,2 NSatz 0.3. Seiu∈ L (−T,0;W (Ω;R )) eine schwache Losung¨ von (0.1) unter den
Voraussetzzungen (0.5) und sei Σ die singular¨ e Menge von u. Dann gibt es δ > 0,
so dass die Hausdorff Dimension bzgl. der parabolischen Metrik vonΣ abgeschatzt¨
werden kann durch: dim (Σ)≤n+2m−δ.P
Im Falle homogener Systeme, bei denen A nicht von ξ abhangt,¨ gilt die bessere Ab
schatzung:¨ dim (Σ)≤n+2m−2β−δ.P
Fur¨ homogene Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurde das entsprechende Re
m−1sultat von F. Duzaar and G. Mingione in [29] gezeigt. FallsD u bereits Holderstetig¨
ist, gilt folgender
6iv
2 m,2 NSatz 0.4. Sei u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) schwache Losung¨ von (0.1) unter den Vo
m−1raussetzzungen (0.5) und seiD u Holder¨ stetig zu einem beliebigen Holder¨ exponen
ten λ > 0. Weiter bezeichne Σ die singular¨ e Menge von u. Dann gilt: dim (Σ) ≤P
n+2m−2β.
m−1Die Zusatzannahme bzgl. der Holderstetigk¨ eit von D u ist z.B. im Fall n = 2,
m = 1 erfullt¨ (siehe [12]). Im elliptischen Kontext wurde das analoge Resultat fur¨
Systeme zweiter Ordnung von G. Mingione in [65] und [64] gezeigt.
mIm Grunde beruht der Beweis von Satz 0.3 und 0.4 darauf, zu zeigen dass D u in
einem gewissen Sinne nichtganzzahlig differenzierbar ist. Dafur¨ benotigen¨ wir zunachst¨
kgeeignete Abschatzungen¨ fur¨ endliche Differenzen von D u, 0 ≤ k ≤ m− 1, d.h.
k kfur¨ D u(x,t+h)−D u(x,t). Um auch inhomogene Systeme behandeln zu konnen,¨
kzeigen wir verbesserte Abschatzungen¨ fur¨ die zweiten Differenzen von D u, d.h. fur¨
k k kD u(x,t+h)−2D u(x,t)+D u(x,t−h). Dies nutzen wir anschließend, um geeignete
mAbschatzungen¨ fur¨ endliche Differenzen vonD u zu erhalten. Unter der Zusatzvoraus
m−1setzung von Satz 0.4, dass D u Holderstetig¨ ist, kann diese Abschatzung¨ mit Hilfe
einer endlichen Iteration und einer parabolischen Version eines Interpolationssatzes von
Campanato noch verbesert werden. In beiden Fallen¨ folgt die gewunschte¨ nichtganz
mzahlige Differenzierbarkeit von D u. Schließlich liefert das Lemma von Giusti die
behaupteten Abschatzungen¨ fur¨ die Hausdorff Dimension der singularen¨ Menge.v
Abstract
In the following paper we are concerned with questions from regularity theory for higher
order systems of partial differential equations.
n+1Letn,N,m∈N andΩ ≡Ω×(−T,0)⊂R be a bounded domain. We considerT
p m,p Nweak solutions u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )), p ≥ 1 of the 2m th order parabolic
system
Z Zm−1X¡ ¢m m k m ku·∂ ϕ−A(z,δu,D u)·D ϕ dz = B (z,δu,D u)·D ϕdz, (0.6)t
Ω ΩT Tk=0
∞ N n+1for all ϕ ∈ C (Ω ;R ), with the abbreviations z = (x,t) ∈ R and δu =T0
m−1(u,Du,...,D u) are the derivatives of lower order of u. The natural metric in this
context is the parabolic metric
p¡ ¢
2m n2mdist (x,t),(y,s) ≡ |x−y| +|t−s| x,y∈R ; t,s∈R.p
Our aim is to show better differentiability and integrability properties ofu under certain
kconditions on the coefficientsA andB .
Part I: Partial regularity
We consider higher order parabolic systems of the type (0.6) under the following con
ditions on the coefficientsA:
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |qe| ,q 0
(0.7)
|A(z,ξ,q)|≤L (1+|q|),1
for allz,ξ,q,q˜, where0 < L ≤ 1 andL ≥ 1. Moreover,∂ A is assumed to be - not0 1 q
necessarily uniformly - bounded, i.e. givenM >0 there existsκ , such thatM
|∂ A(z,ξ,q)|≤L κ , (0.8)q 1 M
for allz,ξ,q with|ξ|+|q|≤M. We show the following partial regularity result:
2 m,2 NTheorem 0.5. Let u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) be a weak solution of (0.6) with
A(z,ξ,q)kB ≡ 0 under the conditions (0.7) and (0.8). Moreover, let (z,ξ) 7→ be -1+|q|
not necessarily uniformly - Holder¨ continuous with Holder¨ exponent β ∈ (0,1). Then
n+1 mthere exists a closed set Σ ⊂ Ω withL (Σ) = 0, such that D u is locally Holder¨T
continuous onΩ \Σ with respect to the parabolic metric with Holder¨ exponentβ.T
2 m,2 NThe same statement holds for weak solutions u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) ∩
∞ 2 N kL (−T,0;L (Ω;R )) of the inhomogeneous system with inhomogeneous partB ful
filling a so called controlled growth condition.vi
In the case of homogeneous second order systems (i.e. m=1) this result was shown
in [29] by F. Duzaar and G. Mingione with the method of A caloric approximation.
In the following paper we show this regularity result for higher order inhomogeneous
systems.
The basic idea of the proof is to use the so called Lemma about A polycaloric ap
proximation in order to carry over good estimates for solutions of linear systems to
solutions of the considered nonlinear system. With this technique we obtain a so called
mexcess decay estimate, i.e. an estimate for the mean oscillation ofD u, under a certain
msmallness condition onu andD u. From this we conclude with the help of the integral
characterization of Holder¨ continuous functions due to Campanato the desired Holder¨
m n+1continuity ofD u on a set with fullL - measure.
Part II: Higher integrability of very weak solutions
We consider degenerate (p ≥ 2), respectively singular (p < 2) higher order parabolic
systems of the form (0.6) whose model example is the parabolic p Laplace, i.e. under
the following ellipticity and growth conditions:
pA(z,q)·q≥L |q| −b ,0 0
p−1|A(z,q)|≤L |q| +b , (0.9)1 1
k p−1|B (z,q)|≤L |q| +b ,2 2
¡12n pfor all z,q, where p > max{1, }, 0 < L ≤ 1, L ,L ≥ 1 and|b | + |b |+0 1 2 0 1n+2m

qˆp−1|b | ∈ L for some qˆ > p. The “natural” function space for weak solutions is2
p m,p N 2 NL (−T,0;W (Ω;R ))∩L (Ω ;R ). Now the question comes up if this conditionT
can be weakened, i.e. Are so called very weak solutions already weak solutions?
In the following paper we show that this question can be positively answered, if the
very weak solution is not “too bad”, i.e. we show:
2nTheorem 0.6. Let p > . Then there exists β > 0 such that any very weak solu n+2
p−β m,p−β N 2 m−1,2 Ntion u ∈ L (−T,0;W (Ω;R ))∩ L (−T,0;W (Ω;R )) of (0.6) under
the conditions (0.9) already is a weak solution, which is integrable to the powerp+β,
p+β m,p+β Ni.e. there holds: u∈L (−T,0;W (Ω;R )).
To be precise, the above theorem consists of two separated assertions. On the one
m p−β mhand it ensures that very weak solutions are weak solutions, i.e. D ∈L ⇒D u∈
p mL and on the other hand it shows that weak solutions are higher integrable, i.eD u∈
p m p+βL ⇒D u∈L . In the case of second order systems (i.e. m=1) this results is due
to J. Kinnunen and J. L. Lewis (see [48], [49]).vii
The main difficulty when proving such a result in the parabolic case is the lack of
regularity of (very) weak solutions with respect to the time variablet. Moreover, in the
casep=2 the system behaves anisotropic, i.e. its scaling is different in space direction
x and time directiont. Therefore, we show the needed estimates on parabolic cylinders
mwhose side length and scaling depends on the size of |D u|. Since, in the case of
very weak solutionsu isn’t an admissible test function, we construct a sort of “middled
Whitney extension”: We construct a test functionw which consists of the mean value
polynomials on Whitney type cylinders multiplied with a partition of unity.
Part III: Better estimates for the Hausdorff dimension of the singu
lar set
Our aim in this part of the work is it to improve the result from Part I, under slightly
stronger conditions on the coefficients A and B. In general it can not be hoped for
mregularity ofD u on the whole setΩ . But we can show that the singular set is smallT
in a certain sense, i.e. its has small Hausdorff dimension is small.
We consider parabolic systems of the type (1.1) under the following conditions:
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |pe| ,q 0
|∂ A(z,ξ,q)|≤L , (0.10)q 1
k|B (z,ξ,q)|≤L (1+|q|),2
for all z,ξ,q,qe, where 0 < L ≤ 1 and L ,L ≥ 1. We show the following better0 1 2
estimate for the Hausdorff dimension of the singular set:
2 m,2 NTheorem 0.7. Letu∈ L (−T,0;W (Ω;R )) be a weak solution of (0.6) under the
conditions (0.10) and suppose that Σ is the singular set of u. Then there exists δ > 0,
such that the Hausdorff dimension ofΣ with respect to the parabolic metric can be
estimated bydim (Σ)≤n+2m−δ.P
In the case of homogeneous systems, whereA does not depend onξ, there holds the
better estimatedim (Σ)≤n+2m−2β−δ.P
In the case of homogeneous systems of second order (i.e. m = 1) this result was
m−1shown by F. Duzaar and G. Mingione in [29]. In the case thatD u is Holder¨ contin
uous we have the following
2 m,2 NTheorem 0.8. Let u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) be a weak solution of (0.6) under
m−1the conditions (0.10) and suppose thatD u is Holder¨ continuous with some Holder¨
exponentλ>0. Then for the singular setΣ ofu there holds: dim (Σ)≤n+2m−2β.P
6viii
m−1Let us note that the additional assumption concerning the Holder¨ continuity ofD u
is fulfilled in the case n = 2, m = 1 (see [12]). In the case of second order elliptic
systems the analogue result was shown by G. Mingione in [65] and [64].
mThe important step of the proof will be to show that D u is in a certain sense
kfractionally differentiable. For this we need estimates for finite differences of D u,
k k0 ≤ k ≤ m− 1, i.e. for D u(x,t + h)− D u(x,t). In order to treat the inhomo
kgeneous case we will show better estimates for second differences of D u, i.e. for
k k kD u(x,t+h)−2D u(x,t)+D u(x,t−h). These estimates are subsequently used to
mprove estimates for finite differences ofD u. Under the additional assumption of Theo
m−1rem 0.8, i.e. thatD u is Holder¨ continuous, this estimate can still be improved by an
iteration technique and an interpolation theorem due to Campanato. In both cases, i.e.
under the assumptions of Theorem 0.7 and 0.8, we can finally conclude the fractional
mdifferentiability of D u. Finally, we infer the desired estimates for the Hausdorff
dimension of the singular set by an application of Giusti’s Lemma.

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