Regularizing constraints for mesh and shape optimization problems [Elektronische Ressource] = Regularisierende Nebenbedingungen für Netz- und Formoptimierungsprobleme / vorgelegt von Michael Scherer

Regularizing Constraints forMesh and Shape Optimization ProblemsRegularisierende Nebenbedingungen fu¨rNetz- und FormoptimierungsproblemeDer Technischen Fakulta¨t derUniversit¨at Erlangen-Nu¨rnbergzur Erlangung des GradesDOKTOR-INGENIEURvorgelegt vonMichael SchererErlangen - 2011Als Dissertation genehmigt vonder Technischen Fakult¨at derUniversit¨at Erlangen-Nu¨rnbergTag der Einreichung: 15.10.2010Tag der Promotion: 24.02.2011Dekan: Prof. Dr.-Ing. habil. R. GermanBerichterstatter: Prof. Dr.-Ing. habil. P. SteinmannProf. Dr. M. StinglProf. O. SigmundSchriftenreihe Technische MechanikBand 5 2011Michael SchererRegularizing Constraints forMesh and Shape Optimization ProblemsHerausgeber: Prof. Dr.-Ing. habil. Paul SteinmannProf. Dr.-Ing. habil. Kai WillnerErlangen 2011ImpressumProf. Dr.-Ing. habil. Paul SteinmannProf. Dr.-Ing. habil. Kai WillnerLehrstuhl fu¨r Technische MechanikUniversit¨at Erlangen-Nu¨rnbergEgerlandstraße 591058 ErlangenTel: +49 (0)9131 85 28502Fax: +49 (0)9131 85 28503ISSN 2190-023Xc Michael SchererAlle Rechte, insbesondere das¨der Ubersetzung in fremdeSprachen, vorbehalten. OhneGenehmigung des Autors istes nicht gestattet, dieses Heftganz oder teilweise aufphotomechanischem,elektronischem oder sonstigemWege zu vervielf¨altigen.VorwortDie vorliegende Arbeit enstand wa¨hrend meiner Ta¨tigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiteram Lehrstuhl fu¨r Technische Mechanik (LTM) der Universit¨at Kaiserslautern (Jan.
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Regularizing Constraints for
Mesh and Shape Optimization Problems
Regularisierende Nebenbedingungen fu¨r
Netz- und Formoptimierungsprobleme
Der Technischen Fakulta¨t der
Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg
zur Erlangung des Grades
DOKTOR-INGENIEUR
vorgelegt von
Michael Scherer
Erlangen - 2011Als Dissertation genehmigt von
der Technischen Fakult¨at der
Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg
Tag der Einreichung: 15.10.2010
Tag der Promotion: 24.02.2011
Dekan: Prof. Dr.-Ing. habil. R. German
Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. habil. P. Steinmann
Prof. Dr. M. Stingl
Prof. O. SigmundSchriftenreihe Technische Mechanik
Band 5 2011
Michael Scherer
Regularizing Constraints for
Mesh and Shape Optimization Problems
Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. habil. Paul Steinmann
Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner
Erlangen 2011Impressum
Prof. Dr.-Ing. habil. Paul Steinmann
Prof. Dr.-Ing. habil. Kai Willner
Lehrstuhl fu¨r Technische Mechanik
Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg
Egerlandstraße 5
91058 Erlangen
Tel: +49 (0)9131 85 28502
Fax: +49 (0)9131 85 28503
ISSN 2190-023X
c Michael Scherer
Alle Rechte, insbesondere das
¨der Ubersetzung in fremde
Sprachen, vorbehalten. Ohne
Genehmigung des Autors ist
es nicht gestattet, dieses Heft
ganz oder teilweise auf
photomechanischem,
elektronischem oder sonstigem
Wege zu vervielf¨altigen.Vorwort
Die vorliegende Arbeit enstand wa¨hrend meiner Ta¨tigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter
am Lehrstuhl fu¨r Technische Mechanik (LTM) der Universit¨at Kaiserslautern (Jan. 2006
- Dez. 2007) und am LTM der Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg (Jan. 2008 - Okt. 2010).
Sie basiert auf Ergebnissen, die im Rahmen des DFG Forschungsprojekts STE 544/24, Eine
energiebasierte FE-Methode vom ALE-Typ erarbeitet wurden.
Besonders herzlich mo¨chte ich mich bei Herrn Prof.Paul Steinmann bedanken. Erhat diese
Arbeit angeregt, hat mich konsequent gefo¨rdert und hat mir viel Freiheit gegeben, eigene
Ideen umzusetzen. Weiterhin mo¨chte ich mich bei Herrn Dr. Ralf Denzer bedanken, der mich
wa¨hrendmeiner ZeitinKaiserslautern betreuthatunddurch zahlreiche Diskussionen undkri-
tisches Korrekturlesen mit zum Erfolg dieser Arbeit beigetragen hat. Bei Herrn Prof. Michael
Stingl und Herrn Prof. Ole Sigmund bedanke ich mich fu¨r das Interesse an meiner Arbeit und
¨die Ubernahme der Zweitgutachten.
Allen Mitarbeitern des LTM in Kaiserslautern und Erlangen danke ich fu¨r die angenehme
Arbeitsatmosph¨are und und die gute Zusammenarbeit, insbesondere meinen Freunden und
Zimmerkollegen Johannes Utzinger, Rouven Mohr, Gunnar Possart und Patrick Schmitt.
MeinenElterndankeichfu¨rihreUnterstu¨tzungunddassdiesiemirmeinStudiumermo¨glicht
haben. Meiner Freundin Herdis danke ich fu¨r ihre Geduld und Hilfe.
Erlangen, Mai 2011 Michael Scherer
iZusammenfassung
Diese Arbeit befasst sich mit zwei Arten von Optimierungsproblemen, die im Zusammenhang
mit Finite-Elemente-Simulationen auftreten:
(a) Einer r-adaptiven Netzoptimierung, die die Genauigkeit der approximierten Lo¨sung von
elastostatischen Randwertproblemen verbessert.
(b) Der knotenbasierten Formoptimierung elastostatischer Strukturen.
Ohne eine geeignete Regularisierung ist es oft nicht mo¨glich diese Optimierungsprobleme nu-
merisch zu l¨osen. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung von Regulari-
sierungsstrategien, die beide Probleme l¨osbar machen.
r-Adaptive Netzoptimierung Der erste Teil dieser Arbeit befasst sich mit einer r-adaptiven
Netzoptimierung, die auf der Minimierung der (diskretisierten) potentiellen Energie bzgl. der
Positionen der Elementknoten basiert. Die Praxis zeigt, dass es h¨aufig nicht mo¨glich ist, die
betrachteten Netzoptimierungsprobleme mit einem Optimierungsverfahren fu¨rProbleme ohne
Nebenbedingungen, z.B. einem BFGS-Verfahren, numerisch zu l¨osen. Der Grund ist, dass die
numerischeOptimierungdegeneriertefiniteElementeerzeugt,waszueinemAbbruchderOpti-
mierungfu¨hrt. UmdieDegenierungderElemente zuverhindern, wurdeeineRegularisierungs-
technik basierend auf Verzerrungsnebenbedingungen entwickelt. Die Verzerrungsnebenbedin-
gungen sind Ungleichungsnebenbedingungen, die die Deformation der Elemente, die aus der
Netzoptimierung resultiert, beschra¨nken und so die Lo¨sbarkeit der Netzoptimierungsprobleme
deutlich verbessern.
Formoptimierung Ein Grund fu¨r die Unl¨osbarkeit von knotenbasierten Formoptimierungs-
problemen ist, dass die Form¨anderungvon der Ausgangsform zur optimierten Formmit einem
gegebenenFinite-Elemente-Netz nichtrealisierbarist. DaherentstanddieIdee, dieForm¨ande-
rungzubeschra¨nken. Umdieszuerreichen,wurdeeinespezielleUngleichungsnebenbedingung,
eineEnergienebenbedingung,entwickelt. DieEnergienebenbedingung setzteinerfiktivenmech-
anischen Verzerrungsenergie, die als Maß fu¨r die Form¨anderung dient, eine obere Schranke.
Je gro¨ßer die Energieschranke gewa¨hlt wird, umso gro¨ßer ist die zul¨assige Form¨anderung.
Außerder Energienebenbedingung werden keine weiteren Regularisierungstechniken angewen-
det. Formoptimierungsprobleme, die der Energienebenbedingung unterworfen sind, ko¨nnen
mitgewo¨hnlichen gradientenbasierten Optimierungsverfahren fu¨rProbleme mitZwangsbedin-
gungen gel¨ost werden.
iiiAbstract
This work deals with two types of optimization problems in the context of finite element
simulations:
(a) an r-adaptive mesh optimization that improves the accuracy of finite element solutions
of elastostatic boundary value problems.
(b) the node-based shape optimization of elastostatic structures.
Withoutanadequateregularization,itisoftenimpossibletosolvetheseoptimizationproblems
numerically. The main goal of this work is the development of regularization strategies that
make both problems solvable.
r-Adaptive Mesh Optimization The first part of this work deals with an r-adaptive mesh
optimization that is based on the minimization of the (discretized) potential energy with
respecttothepositionsoftheelementnodes. Experienceshowsthatitisusuallynotpossibleto
solve the considered mesh optimization problems numerically with an optimization algorithm
for unconstrained problems, for example, a BFGS method. The reason is that the numerical
optimizationprocesscausesdegeneratefiniteelements, whichleadstoaprematuretermination
of the mesh optimization. To prevent element degeneration, a regularization technique based
ondistortion constraints was developed. The distortionconstraints restrict thedeformationof
the finite elements that results from the mesh optimization and, thus, improve the solvability
of the mesh optimization problems significantly.
Shape Optimization One reason for the unsolvability of node-based shape optimization
problems is that the shape change from the initial shape to the optimized shape is very large
andnotrealizablewiththegivenfiniteelementmesh. Thisledtotheideatorestricttheshape
change. To accomplish this task, a special inequality constraint, a so called energy constraint,
was developed. The energy constraint sets an upper limit to a fictitious mechanical strain
energy that serves as a measure for the shape change. The larger the energy limit is chosen
the larger is the admissible shape change. Apart from the energy constraint, no further
regularization techniques are applied. Node-based shape optimization problems subject to
the energy constraint can be solved with gradient-based optimization algorithms for problems
with inequality constraints.
ivContents
1. Introduction 1
1.1. r-Adaptive Mesh Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Node-Based Shape Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Elastostatics 8
2.1. Geometrically Nonlinear Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1. Mechanical Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2. Finite Element Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Geometrically Linear Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Mechanical Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2. Finite Element Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. r-Adaptive Mesh Optimization 20
3.1. Basic Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. (Mesh) Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4. Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Distortion Constraints 28
4.1. Basic Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. A Local Deformation Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.1. Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2. Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.3. Definition (and Proof of the Properties p1 and p3) . . . . . . . . . . . 34
4.3. Linear Triangular and Tetrahedral Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4. Bilinear Quadrilateral Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5. Shape Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.1. The Mean Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.2. A Shape Measure for Quadrilateral Elements . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6. Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. Numerical Examples 48
5.1. Plate with a Hole – 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.1. Regular Initial Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2. Irregular Initial Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.3. Computational Effort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Plate with a Crack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
vContents
5.3. Plate with a Hole – 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1. Geometrically Linear Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2. Geometrically Nonlinear Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Node-Based Shape Optimization 80
6.1. A Structural Shape Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.1. Continuous Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.2. Discretized Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. An Energy Constraint for Shape Optimization 87
7.1. Fictitious Energy Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2. Discretized Fictitious Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3. Mesh Motion Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4. The Energy Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4.1. Large Shape Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.5. Continuous Regularized Shape Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6. Sensitivity Analysis (of the Discretized Problem). . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.7. Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.7.1. An Energy Constraint Based on the Geometrically Linear Theory . . . 101
7.7.2. Fictitious Pressure Forces as Design Variables . . . . . . . . . . . . . . 104
7.7.3. Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8. Numerical Examples 110
8.1. Structure with Four Holes – Convergence Study . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2. Plate with a Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1. Biaxial Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2.2. Uniaxial Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3. Bar Under Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4. Hook – 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5. Hook – 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6. Sheet Metal Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.7. Dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.8. Head of a Pressure Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9. Summary and Conclusions 140
A. Notation 142
B. On Pressure Loads and Potentials 143
B.1. A Volume Potential for Pressure Loads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.2. Volume-Based Finite Element Discretization of Pressure Loads . . . . . . . . . 145
B.2.1. Discretization of the Volume Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.2.2. Extension to Arbitrary Pressure Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C. Explicit Sensitivities 150
vi

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