Scattering resonances of ultracold atoms in confined geometries [Elektronische Ressource] / by Shahpoor Saeidian

Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties of the Natural Sciences and Mathematics
of the Ruperto-Carola-University of Heidelberg,
Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
Put forward by
Shahpoor Saeidian
born in Bijar (Iran)
thOral examination: June 18 2008Scattering resonances of ultracold atoms in
conflned geometries
Referees: Prof. Dr. Peter Schmelcher
Prof. Dr. Jochen SchirmerZusammenfassung
Streuresonanzen ultrakalten Atomen in eingeschlossen Geometrien
Thema dieser Doktorarbeit ist sowohl die Untersuchung der Dynamik im quan-
tenmechanischem Regime von ultrakalten Atomen in eingeschlossen Geome-
trien. Wir diskutieren das Verhalten von Grundzustandsatomen in einem drei-
dimensionalenmagnetischenQuadrupolfeld. SolcheAtomek˜onnenfur˜ schwache
Feldern˜aherungsweisewieneutralePunktteilchenbetrachtetwerden. Erg˜anzend
zu den bekannten Resonanzen fur˜ positive Energien weisen wir die Existenz
kurzlebiger Resonanzen im negativen Energiebereich nach, wobei letztere ihren
Ursprung in einer fundamentalen Symmetrie des zugrundeliegenden Hamilton-
Operators haben. Desweiteren leiten wir eine Abbildung fur˜ die beiden Zweige
des Spektrums ab. Au…erdem analysieren wir die atomaren Hyperfeinreso-
nanzen in einem magnetischen Quadrupolfeld. Dies entspricht dem Fall, fur˜
welchen sowohl die Hyperfein- als auch Zeemanwechselwirkung von vergleich-
barer Gr˜o…enordnung sind und beide beruc˜ ksichtigt werden mussen.˜ Schlie…lich
entwickeln wir fur˜ die Mehrkanalstreuung von zwei Atomen in einem zweidi-
mensionalen harmonischen Einschluss eine allgemeine Gittermethode. Mit un-
serem Ansatz analysieren wir transversale An-/Abregungen im Zuge von Stre-
uprozessen (unterscheidbare oder identische Atome), wobei alle wichtigen Par-
tialwellen und deren Kopplung aufgrund von gebrochener Kugelsymmetrie in
Betracht gezogen werden. Besondere Aufmerksamkeit wird einer nicht-triviale
Erweiterung der CIR-Theorie gewidmet, welche ursprunglic˜ h nur fur˜ das Ein-
modenregime und den Grenzfall der Grundzustandsenergie entwickelt wurde.
Abstract
Scattering resonances of ultracold atoms in conflned geometries
Subject of this thesis is the investigation of the quantum dynamics of ultracold
atoms in conflned geometries. We discuss the behavior of ground state atoms
inside a 3D magnetic quadrupole fleld. Such atoms in enough weak magnetic
flelds can be approximately treated as neutral point-like particles. Complemen-
tary tothewell-knownpositiveenergyresonances, wepointouttheexistenceof
short-lived negative energy resonances. The latter originate from a fundamen-
tal symmetry of the underlying Hamiltonian. We drive a mapping of the two
branchesof the spectrum. Moreover, weanalyzeatomic hyperflneresonances in
a magnetic quadrupole fleld. This corresponds to the case for which both the
hyperflneandZeemaninteraction,arecomparable, andshouldbetakenintoac-
count. Finally, we develop a general grid method for multichannel scattering of
two atoms in a two-dimensional harmonic conflnement. With our approach we
analyze transverse excitations/deexcitations in the course of the collisional pro-
cess (distinguishable or identical atoms) including all important partial waves
and their couplings due to the broken spherical symmetry. Special attention is
paid to suggest a non-trivial extension of the CIRs theory developed so far only
for the single-mode regime and zero-energy limit.CONTENTS
1. Introduction and Outline of the Thesis : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Outline of the Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Part I Scattering Theory and Numerical Methods 9
2. Scattering Theory: A Brief Reminder : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
2.1 Scattering by a Spherical Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Low Energy Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Scattering Resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Shape (Breit-Wigner) resonances . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Feshbach-Fano resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Decay of a resonant state . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Virtual bound states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Numerical Methods: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31
3.1 The Complex Scaling Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 The c-product for time-independent Hamiltonian . . . . . 34
3.2 The Linear Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 The Hylleraas-Undheim theorem . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Solving the Algebraic Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 The Arnoldi method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 The Shift-Invert method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Convergence of the eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 The Discrete Variable Representation Method . . . . . . . . . . . 39
Part II Quantum Scattering Under 2D Conflning Potential 43
4. Analytical Description of Atomic Scattering and Conflnement-Induced
Resonances in Waveguides : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45
4.1 Hamiltonian and Two-body Scattering Problem in a Waveguide . 47
4.2 s-wave Scattering Regime: the Reference T-Matrix Approach . . 48
4.2.1 Eigenstates of the waveguide Hamiltonian . . . . . . . . . 504.2.2 The Green’s function for the relative motion of two par-
ticles in a harmonic waveguide . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3 Multichannel scattering amplitudes and transition rates . 54
4.2.4 Single-candefiectiveone-dimensionalin-
teraction potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Remarks on p-wave Scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Beyond the s-wave Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.1 Efiective quasi-1D scattering amplitudes . . . . . . . . . . 65
4.4.2 Comparison with the unconflned 3D case. The inclusion
of p-waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5. Numerical Description of Atomic Scattering and Conflnement-Induced
Resonances in Waveguides : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
5.1 Hamiltonian and Two-body Scattering Problem in a Waveguide . 69
5.2 Numerical approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Results and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Multichannel scattering of bosons. . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.2 of fermions . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.3 Multichannel scattering of distinguishable particles . . . . 87
5.4 Summary and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Part III Atomic Resonances in a Quadrupole Magnetic Trap 95
6. Atomic Resonances in Magnetic Quadrupole Fields: An Overview : : 97
6.1 The Magnetic Quadrupole Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1 Symmetry properties of the quadrupole magnetic fleld . . 101
7. Scattering Resonances of Spin-1 Particles in a Magnetic Quadrupole
Field : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103
7.1 The Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Symmetries and Degeneracies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.3 Numerical Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.4 Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.1 Positive-energy resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.4.2 Negativ . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4.3 Comparing the two classes of resonances . . . . . . . . . . 109
7.4.4 Mapping among the two classes of resonances . . . . . . . 109
7.5 Summary and Concludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8. Atomic Hyperflne Resonances in a Magnetic Quadrupole Field : : : : 113
8.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Symmetries and Degeneracies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 Numerical Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4 Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.1 Resonance positions in the Zeeman regime . . . . . . . . . 119
28.4.2 Resonance positions in the intermediate regime . . . . . . 120
8.4.3 p in the hyperflne Paschen-Back regime 123
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Appendix 127
A. SCATTERINGTHEORYINFREESPACE:SINGLE-MODEREGIME129
A.1 The Asymptotic Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.2 Orthogonality and Asymptotic Completeness . . . . . . . . . . . 131
A.3 The Scattering Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.4 Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.5 Scattering of two spinless particles . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5.1 Conservationofenergy-momentumandthescatteringam-
plitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.6 Invariance Principles and Conservation Laws . . . . . . . . . . . 138
A.6.1 Translational invariance and conservation of momentum . 138
A.6.2 Rotational invariance and theation of the angular
momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.6.3 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.6.4 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.7 Scattering of the Two Particles With Spin . . . . . . . . . . . . . 144
A.7.1 The S operator for particles with spin . . . . . . . . . . . 145
A.7.2 The amplitudes and amplitude matrix . . . . . . . . . . . 146
A.7.3 The In and Out spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.8 Time-Independent Formulation of Quantum Scattering . . . . . . 149
A.8.1 Lippmann-Schwinger equation for G(z) . . . . . . . . . . 150
A.8.2 The T operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.8.3 Relation to the M¿ller operators . . . . . . . . . . . . . . 152
A.8.4 to the scattering operator . . . . . . . . . . . . . 153
A.8.5 The stationary states . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.9 Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B. SCATTERING THEORY IN FREE SPACE: MULTIMODE REGIME 161
B.1 Channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
B.2 Channel Hamiltonian and Asymptotic States . . . . . . . . . . . 165
B.2.1 Asymptotic condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.2.2 Orthogonality and asymptotic completeness . . . . . . . . 168
B.3 The Momentum-Space Basis Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.4 Conservation of Energy and the On-Shell T Matrix . . . . . . . . 175
B.5 Cross Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.6 Rotational Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.7 Time-Reversal Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.8 Fundamentals of Time-Independent Multichannel Scattering . . . 182
B.8.1 The stationary scattering states . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.8.2 The Lippmann-Schwinger equations . . . . . . . . . . . . 184
3B.8.3 The T operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.8.4 Asymptotic form of the wave function; Collision without
rearrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B.8.5 form of the wave function; Rearrangement
collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B.9 Multichannel Scattering with Identical Particles . . . . . . . . . . 191
B.9.1 Transition probabilities and cross section . . . . . . . . . 193
C. ALKALI ATOMS IN A MAGNETIC GUIDE:MATRIX ELEMENTS 196
C.1 Radial Matrix Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
C.2 Angularts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
C.3 Spin Matrix Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
D. BOSE-FERMI MAPPING THEOREM : : : : : : : : : : : : : : : : : 200
E. BOUNDARY CONDITIONS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 202
F. FAST IMPLICIT MATRIX ALGORITHM : : : : : : : : : : : : : : : 204
G. ACKNOWLEDGMENTS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 206
4

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