Studying the formation of protoplanets [Elektronische Ressource] : a new hybrid code for planetesimal dynamics / presented by Patrick Glaschke

Publié le : dimanche 1 janvier 2006
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Nombre de pages : 148
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom-Physiker Patrick Glaschke
Born in Erbach, Germany
Oral examination: 24. May 2006Studying the Formation of Protoplanets:
A new Hybrid Code
for
Planetesimal Dynamics
Referees: Prof.Dr. Rainer Spurzem
Prof.Dr. Werner M. TscharnuterZusammenfassung | Abstract
Diese Arbeit pr asentiert neuartige Simulationen zur Entstehung von Planeten, wobei der Schwer-
punkt auf der Entstehung von Protoplaneten aus Planetesimalen liegt. In diesem Stadium wird
die Entwicklung des System von Kollisionen und Zwei{K orper{Streuungen bestimmt, die eine
sorgf altige Modellierung der Entwicklung der Geschwindigkeitsdispersion und der Gr o en verteilung
ub er den ganzen Gr o en bereich erfordern.
Zu diesem Zweck wurde ein neues Hybridprogramm entwickelt, genannt Nbody6Disc, um
den vollen Gr o en bereich von kilometergro en Planetesimalen bis zu Protoplaneten abzudecken.
Es vereint die Vorteile eines N{K orper{Ansatzes zur Integration der gr o eren K orper mit einem
zus atzlichen statistischen Modell zur Beschreibung der kleineren Planetesimale.
Dieses Programm wird auf die Entstehung von Protoplaneten angewendet. Die Simulatio-
nen zeigen kein Beenden der protoplanetaren Akkretion durch die Entstehung von Luc ken in der
Planetesimalverteilung, sondern nur schwache Fluktuationen in der Ober achendichte. Darub er
hinaus sind diese Strukturen nur schwach mit den Positionen der Protoplaneten korreliert. Die
Untersuchung verschiedener Schlagfestigkeiten zeigt, da die Fragmentation von Planetesimalen
haupts achlich den gesamten Massenverlust kontrolliert, der aber w ahrend des fruhen Wachstums
der Protoplaneten relativ gering ist. Es zeigt sich, da Fragmentation in Verbindung mit dem
schnellen Verlust der Fragmente durch Gasreibung eine obere Grenze fur die Masse der Proto-
planeten in Abh angigkeit vom Abstand zum Zentralstern setzt.
This work presents novel simulations of the formation of planets, with a focus on the formation
of protoplanets out of planetesimals. The evolution of the system at this stage is driven by
encounters as well as direct collisions, and requires a careful modelling of the evolution of the
velocity dispersion and the size distribution over the whole size range.
To serve this purpose, a new hybrid code called Nbody6Disc has been developed to cover
the full size range from kilometre-sized planetesimals to protoplanets. It combines the advantages
of a pure N{body approach for the integration of the larger bodies with an additional statistical
model to cover the smaller planetesimals.
This new code is applied to the formation of protoplanets. The simulations show no termination
of the protoplanetary accretion due to gap formation, since the distribution of the planetesimals
is only subjected to small uctuation. Moreover, these features are weakly correlated with the
positions of the protoplanets. The exploration of di eren t impact strengths indicates that frag-
mentation mainly controls the overall mass loss, which is less pronounced during the early runaway
growth. It is shown that fragmentation in combination with the e ectiv e removal of collisional
fragments by gas drag sets an universal upper limit of the protoplanetary mass as a function of
the distance to the host star.
vLove is an act of endless forgiveness,
a tender look which becomes a habit.
Peter Ustinov (1921{2004)
viiContents
1 Introduction 1
2 Planet Formation 5
2.1 Early Stages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Formation of Planetesimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 F of Protoplanets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Oligarchic Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Theory 11
3.1 Solar Nebula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Kepler Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Hill’s Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Protoplanet Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Integrator 19
4.1 NBODY6++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Individual Time Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Ahmad{Cohen Neighbour Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Hermite Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Extended Hermite Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.7 KS{Regularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.8 Additional Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.8.1 Central Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8.2 Drag Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8.3 KS{Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Optimising the Code 27
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Disc Geometry and Neighbour Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Optimal Neighbour Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Neighbour Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5 Neighbour Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.6 Communication Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7 Block Size Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Optimal Neighbour Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ixCONTENTS CONTENTS
6 Collisional Model 37
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 Collisional Cascades 41
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Self{similar Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3 Size{dependent Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.4 Perturbation of Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.5 Migration and Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.6 Coagulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.7 Models for M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50red
8 Statistical Model 51
8.1 Fokker{Planck Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2 Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Dynamical Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4 High Speed Encounters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.5 Low Speedters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.6 Distant Encounters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.7 Gas Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.8 Uni ed Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.9 Inhomogeneous Disc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.10 Di usion Coe cien t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.11 Coagulation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.12 Collisional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.13 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.14 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.15 Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Hybrid Code 69
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Mass Transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3 Disc Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 Pseudo{Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.5 Spatial Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.6 Transition Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.7 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.8 Validating the Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.8.1 Energy Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.8.2 Coagulation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.8.3 Complete Code Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.8.4 Statistical Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10 Results 83
10.1 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2.1 Fragmentation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2.2 Spatial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.2.3 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.2.4 Surface Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11 Discussion 101
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