The BCS-BEC crossover in ultracold fermion gases [Elektronische Ressource] / presented by Sebastian Diehl

Dissertationsubmitted to the Combined Faculties for the NaturalSciences and Mathematicsof the Ruperto { Carola University of Heidelbergfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDiplom-Physiker Sebastian Diehlborn in Ludwigshafen, GermanyOral Examination: 24. October 2006The BCS { BEC CrossoverinUltracold Fermion GasesReferees: Prof. Dr. Christof WetterichPD Dr. Jan M. PawlowskiivDer BCS { BEC Crossover in ultrakalten FermiongasenZusammenfassungDer kontinuierliche Crossover eines Bardeen-Cooper-Schriefier (BCS)-artigen Supra u-ids aus Fermionpaaren zu einem Bose-Einstein Kondensat (BEC) aus fest gebundenenbosonischen Molekulen˜ kann auf die spontane Brechung der globalen U(1)-Eichsymmetriezuruc˜ kgefuhrt˜ werden, die beiden Quanten-Kondensationsph˜anomenen zugrunde liegt.Dem Problem wurde in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit zuteil, da Feshbach-Resonanzen die experimentelle Realisierung der Crossover-Physik erm˜oglichen. Die starkeWechselwirkung nahe der Resonanz erfordert eine Analyse jenseits von Mean Field Theo-rie. Wir entwickeln einen systematischen Funktionalintegral-Zugang fur˜ die Beschreibungdieses Ph˜anomens. Ausgehend von einem yukawaartigen Atom-Molekul-Mo˜ dell erlaubt eseine Symmetriebetrachtung, sowohl die Zustandsgleichung zu konstruieren als auch die˜thermodynamischen Phasen einheitlich zu klassiflzieren.
Publié le : dimanche 1 janvier 2006
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Dissertation
submitted to the Combined Faculties for the Natural
Sciences and Mathematics
of the Ruperto { Carola University of Heidelberg
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom-Physiker Sebastian Diehl
born in Ludwigshafen, Germany
Oral Examination: 24. October 2006The BCS { BEC Crossover
in
Ultracold Fermion Gases
Referees: Prof. Dr. Christof Wetterich
PD Dr. Jan M. PawlowskiivDer BCS { BEC Crossover in ultrakalten Fermiongasen
Zusammenfassung
Der kontinuierliche Crossover eines Bardeen-Cooper-Schriefier (BCS)-artigen Supra u-
ids aus Fermionpaaren zu einem Bose-Einstein Kondensat (BEC) aus fest gebundenen
bosonischen Molekulen˜ kann auf die spontane Brechung der globalen U(1)-Eichsymmetrie
zuruc˜ kgefuhrt˜ werden, die beiden Quanten-Kondensationsph˜anomenen zugrunde liegt.
Dem Problem wurde in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit zuteil, da Feshbach-
Resonanzen die experimentelle Realisierung der Crossover-Physik erm˜oglichen. Die starke
Wechselwirkung nahe der Resonanz erfordert eine Analyse jenseits von Mean Field Theo-
rie. Wir entwickeln einen systematischen Funktionalintegral-Zugang fur˜ die Beschreibung
dieses Ph˜anomens. Ausgehend von einem yukawaartigen Atom-Molekul-Mo˜ dell erlaubt es
eine Symmetriebetrachtung, sowohl die Zustandsgleichung zu konstruieren als auch die
˜thermodynamischen Phasen einheitlich zu klassiflzieren. Der Ubergang in das supra uide
Regime wird durch die Entstehung einer masselosen Goldstonemode angezeigt, die mit
der gebrochenen kontinuierlichen U(1)-Symmetrie assoziiert ist. Jenseits von Mean Field
beruc˜ ksichtigen wir selbstkonsistent Molekul uktuationen˜ durch die L˜osung geeigneter
Schwinger-Dyson Gleichungen. Das Phasendiagramm wird berechnet, und eine Vielzahl
universeller Eigenschaften etabliert. Eine neue Form von Crossover { von einem exakt
l˜osbaren Schmalresonanz-Limes hin zu breiten Resonanzen oder punktf˜ormigen Wech-
selwirkungen { wird aufgezeigt. Unsere Resulate stimmen bei niedriger Temperatur gut
mit Quanten Monte Carlo Simulationen sowie einem kurzlic˜ h durchgefuhrten˜ Experi-
ment ub˜ erein. Unser Zugang wird im Rahmen von funktionalen Renormierungsgruppen-
Gleichungen weiterentwickelt. W˜ahrend die efiektive bosonische Theorie im BEC-Regime
die charakteristischen Eigenschaften einer Bogoliubov-Theorie bei tiefer Temperatur
aufweist, ist der Phasenub˜ ergang zweiter Ordnung.
The BCS { BEC Crossover in Ultracold Fermion Gases
Abstract
The continuous crossover between a Bardeen-Cooper-Schriefier (BCS)-type super uid of
fermion pairs and a Bose-Einstein condensate (BEC) of tightly bound bosonic molecules
can be attributed to the spontaneous breaking of global U(1) gauge symmetry which un-
derlies both quantum condensation phenomena. Recently much attention has been paid
to this problem, since Feshbach resonances allow for an experimental implementation of
crossover physics in cold fermion gases. The strong interactions close to resonance call for
an analysis beyond Mean Field Theory. We develop a systematic functional integral ap-
proachforthedescriptionofthisphenomenon.StartingfromaYukawa-typeatom-molecule
model, a symmetry analysis allows to both construct the equation of state and to classify
the thermodynamic phases in a unifled way. The onset of super uidity is signalled by the
emergenceofamasslessGoldstonemodeassociatedwiththebrokencontinuousU(1)sym-
metry. Beyond Mean Field, we include uctuations of the molecule fleld self-consistently
via the solution of suitable Schwinger-Dyson equations. The phase diagram is computed,
andavarietyofuniversalfeaturesareestablished.Anewformofcrossoverfromanexactly
solvable narrow resonance limit to broad resonances or pointlike interactions is found. At
low temperature our results agree well with quantum Monte Carlo simulations and recent
experiments.Ourapproachisfurtherdevelopedintheframeoffunctionalrenormalization
group equations. While the efiective bosonic theory in the BEC regime shows the charac-
teristics of a Bogoliubov theory for small temperatures, the phase transition is of second
order.viContents
1 Introduction 1
2 Interactions in Ultracold Gases 5
2.1 Scales and Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Feshbach Resonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Microscopic Model 12
3.1 Field Content and Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Parameter Content and Choice of Variables . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Scaling Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Functional Integral for the Crossover Problem 21
4.1 Functional Integral and the Efiective Action . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Efiective Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.2 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Unifled Description for the Crossover Problem . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1 Assembling the Functional Integral: Bogoliubov-type Theory . 27
4.2.2 Equation of State: Bare and Dressed Fields. . . . . . . . . . . 33
4.2.3 UV Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 Classiflcation of Thermodynamic Phases . . . . . . . . . . . . 44
viiviii CONTENTS
5 Schwinger-Dyson Analysis 47
5.1 Sch Equations: General Formulation . . . . . . . . . . . 48
5.2 Application to the Crossover Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 Truncation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 Schwinger-Dyson Equation for the Boson Propagator . . . . . 52
5.3 Exploring the Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Symmetric Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Super uid Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3.3 Phase Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Correlation Length and Scattering Length for Molecules . . . . . . . 62
5.5 Two-body Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5.1 Atom and Molecule Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5.2 Fermionic Scattering Length and Molecular Binding Energy . 68
5.5.3 Relation to Experimental Parameters . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6 Dressed and Bare Molecules: Comparison to Experiments . . . . . . . 79
5.6.1 Renormalization of Feshbach and Background Coupling . . . . 79
5.6.2 Bare Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6.3 Dressed Molecules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Universality 90
6.1 Universality and Enhanced Universality: Qualitative Discussion . . . 90
6.2 Exact Narrow Resonance Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Broad Resonance Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 BCS and BEC Regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.2 BEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Unitary Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106CONTENTS ix
7 Renormalization Group Analysis 108
7.1 Efiective Average Action and Flow Equation . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Flow Equations for the Crossover Problem . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1 Truncation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.2 Choice of the Cutofi Functions: Flowing with the Chemical
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.3 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3 Two-body Limit and the Choice of Initial Conditions . . . . . . . . . 120
7.3.1 Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2 Solution of the Core System and Initial Conditions . . . . . . 124
7.3.3 Bosonic Scattering Length on the BEC Side . . . . . . . . . . 126
7.4 Many-body System in the BEC Regime . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.4.1 Regimes in the Renormalization Group Flow . . . . . . . . . . 131
7.4.2 Reconstructing the Particle Density . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4.3 Thermodynamic Observables in the BEC Regime . . . . . . . 139
8 Conclusions and Outlook 144
A Basic Deflnitions for Scattering 149
B Dimensionful, Dimensionless and Renormalized Couplings 153
C Computation of the 1 PI Vertex Functions 155
D Explicit Loop Results 164
D.1 Wave Function Renormalization Factors . . . . . . . . . . . . . . . . 164
D.2 Gradient Coe–cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
D.3 Yukawa and Four-Fermion Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
D.4 Efiective Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
D.4.1 Fermionic Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
D.4.2 Bosonic Con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
D.4.3 The functions ? ;?;fl and fi ;fi;• . . . . . . . . . . . . . . . 172` `
Bibliography 180

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