The fate of singularities in quantum cosmology and the application of generalized effective equations to constrained quantum systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Barbara Sandhöfer

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The Fate of Singularities
in Quantum Cosmology
and
the Application of Generalized E ectiv e
Equations to Constrained Quantum
Systems
INAUGURAL-DISSERTATION
zur
Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Universit at zu K oln
vorgelegt von
Barbara Sandh ofer
aus Saarbruc ken
K oln 2009ii
Berichterstatter: Prof. Dr. Claus Kiefer
Prof. Dr. Frank Steiner
Tag der mundlic hen Prufung: 21. April 2009Zusammenfassung
Meine Dissertation besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil befasse ich mich
mit dem Schicksal klassischer, kosmologischer Singularit aten in der Quan-
tenkosmologie. Der zweite Teil widmet sich der Extraktion von Vorhersagen
aus der Quantenkosmologie.
Im ersten Teil habe ich zwei Klassen kosmologischer Modelle untersucht.
Universen aus der ersten Klasse von Modellen beginnen oder enden ihre
Entwicklung mit einer big-rip{Singularit at. Hier divergieren Energiedichte,
Druck und Skalenfaktor in endlicher Zeit. Diese Art von Singularit at ist
ein generischer Bestandteil von kosmologischen Modellen mit dunkler Ener-
gie, die durch ein Phantomfeld generiert wird. Fur jedes dieser Modelle
wurde auch das entsprechende Gegenstuc k mit normalem Skalarfeld betrach-
tet. Durch das gew ohnliche Skalarfeld wird eine big-bang{Singularit at her-
vorgerufen. Die zweite Modellklasse, die ich untersucht habe, weist eine
big-brake{Singularit at auf. Am big brake wird die Ausdehnung des Univer-
sums durch eine unendlich gro e, negative Beschleunigung zum Stillstand
gebracht.
Die Wahl all dieser Modelle ist motiviert duch das Auftreten einer Singu-
larit at bei gro em Skalenfaktor. Die grunds atzliche Frage, die es zu beant-
worten galt, war, ob diese Singularit aten auf Quantenebene vermieden wer-
den. Wenn eine solche Vermeidung tats achlich statt ndet, so ist dies ein
Beleg und Beispiel fur das Auftreten von Quantengravitationse ekten im
makroskopischen Universum.
Nach der Entwicklung von Modellen, die die gewunsc hten Singularit aten
aufweisen, habe ich n amliche quantisiert. Quantisierung erfolgte im geo-
metrodynamischen Zugang. Die zentrale Gleichung ist hier die Wheeler{
DeWitt{Gleichung. Ich habe L osungen zu dieser Gleichungen gefunden,
in einem Fall konnte ich sogar eine exakte L osung angeben. Aus diesen
L osungen habe ich Wellenpakete entlang Bahnen konstruiert, die auf klassi-
scher Ebene in die Singularit at fuhren wurden. Die klassichen Bahnen konn-
ten mit Hilfe des Prinzips der konstruktiven Interferenz aus den Paketen
abgeleitet werden.
Als Kriterien fur eine tats achliche Vermeidung der Singularit at auf dem
Quantenlevel wurde das Verschwinden der Wellenfunktion am Ort der klas-
sischen Singularit at, sowie das Verschmieren von Wellenpaketen bei Ann ahe-
iiiiv ZUSAMMENFASSUNG
rung an die klassische Singularit at benutzt. Dies entspricht einem Zusam-
menbruch der semi-klassischen N aherung und einer Au osung der Raumzeit.
In allen F allen konnte ich Singularit atsvermeidung nachweisen. Im Falle
der big-bang und der big-brakeat, die beide bei endlichen Werten
der Kon gurationsraum variablen auftreten, verschwindet die Wellenfunk-
tion. Fur die big-brake Singularit at zer ie t zus atzlich das Wellenpaket.
Die ist nicht der Fall fur die big-bang Singularit at. Die big-rip Singularit at
liegt im Unendlichen. Das Wellenpaket zerl auft bei Ann aherung an diese
Singularit at, verschwindet aber nicht.
Im zweiten Teil meiner Arbeit habe ich mich mit der Anwendung von ge-
neralisierten, e ektiv en Gleichungen auf Systeme mit Zwangsbedingungen
besch aftigt. Generalisierte, e ektiv e Gleichungen benutzen zur Beschrei-
bung von Quantensystemen die Erwartungswerte fundamentaler Operatoren
und die h oheren Momente der Wellenfunktion anstelle der Wellenfunktion
selbst. Dieser Formalismus ist damit wie gescha en fur die Extraktion von
Vorhersagen aus der Quantenkosmologie, zum Beispiel in der Form von Kor-
rekturen zu klassischen Bewegungsgleichungen. Der Formalismus ist auf
einem, im allgemeinen Fall, unendlich-dimensionalen Quantenphasenraum
aufgebaut.
Die erste Aufgabe bei der Anwendung auf Systeme mit Zwangsbedingun-
gen war die Ubertragung der Dirac’schen Quantisierungsregel fur Zwangs-
bedingungen auf diesen Quantenphasenraum. Die resultierenden Zwangsbe-
dingungen | es entstehen tats achlich unendlich viele Zwangsbedingungen
auf dem Quantenphasenraum | eliminieren die unphysikalischen Freiheits-
grade in der zu erwartenden Art und Weise. Dies wurde fur den Fall einer
einzelnen, linearen Zwangsbedingung gezeigt. Daraus folgt, da auch fur
eine beliebige Zwangsbedingung die Freiheitsgrade, zumindest lokal, korrekt
eliminiert werden.
In einem zweiten Schritt mu te die neugefundene Menge an Zwangsbe-
dingungen konsistent gen ahert werden, so da eine endliche Zahl an Bedin-
gungen verbleibt. Nur dann kann man dem System ub erhaupt Informatio-
nen entziehen.
Ein solches N aherungsverfahren wurde fur nicht-relativistische Systeme
entwickelt und am Beispiel des parametrisierten, freien, nicht-relativistischen
Teilchens demonstriert.Abstract
This thesis consists of two parts. The rst part is concerned with the fate of
singularities in quantum cosmology. The second part addresses the deriva-
tion of predictions from quantum cosmology.
In the rst part, I studied two classes of cosmological models. In the rst
class of models, the universe evolves to or emerges from a big-rip singularity.
Here, energy density, pressure and scale factor diverge after a nite amount
of time. This type of singularity arises rather generically in cosmological
models with phantom dark energy. For each of these phantom- eld models,
the corresponding scenario with ordinary scalar eld was studied. The scalar
eld induced a big-bang singularity. The second class of models studied
was dominated by a big-brake singularity. At the big brake, the universe
evolution comes to a halt due to an in nite deceleration.
The motivation behind this choice of models was the occurrence of a
singularity at large scale factor. The major question pursued was whether
these types of singularity were resolved on the quantum level. If such singu-
larities were resolved in quantum cosmology, this would imply that quantum
gravitational e ects can occur in the macroscopic universe.
After devising classical models that contain the respective singularity,
I subjected these models to quantization which was carried out in the ge-
ometrodynamical approach. The governing equation is then the Wheeler{
DeWitt equation. I found solutions to the Wheeler{DeWitt equation, in one
case even an exact solution. Wave packets were constructed around trajec-
tories which, on the classical level, would lead into the singularity. I have
then shown that the trajectory can indeed be recovered from these
packets through the principle of constructive interference.
As criteria for singularity avoidance, the vanishing of the wave function
at the location of the classical singularity, as well as the spreading of wave
packets upon approach of this region, was used. Whereas the former ensures
that the classical singularity does not contribute to the quantum theory, the
latter signals a dissolution of the semi-classical approximation and thus of
spacetime.
In all cases, I found singularity resolution. In the case of the big-bang
and big-brake singularities, the wave function vanishes at the classical sin-
gularity. These two have in common that they occur at nite value of the
vvi ABSTRACT
con guration space variables. A spreading of the wave packet is however
only observed upon approach of the big-brake singularity. A strict vanish-
ing cannot be found at the location of the classical big-rip singularity. This
singularity is located at the in nite boundary of con guration space. The
wave packet spreads upon approach of this singularity.
The second part of my thesis deals with the application of the general-
ized e ectiv e-equation scheme to constrained systems. Generalized e ectiv e
equations describe a quantum system via expectation values of fundamen-
tal operators and higher moments of the wave function | instead of using
the wave function itself. It is thus a very useful scheme for the derivation
of predictions from quantum cosmology, e.g. in the form of corrections to
classical equations of motion. The theory is formulated on a, generally,
in nite-dimensional quantum phase space. The rst task was to nd a for-
mulation of Dirac’s constraint-quantization condition on this phase space.
Such a formulation was found and proven to remove degrees of freedom ap-
propriately in the case of a single linear constraint. This result ensures the
correct removal of degrees of freedom for any singly constrained system at
least locally. In a second step, the newly formulated constraints | there are
actually in nitely many of them | had to be consistently approximated.
Such an approximation is necessary to reduce the in nite number of con-
straints to a nite one. Only then can information be extracted from the
system.
Such an approximation scheme for non-relativistic systems was devel-
oped. Its consistency was explicitly checked using the parametrised, free
non-relativistic particle.Contents
Zusammenfassung iii
Abstract v
Notation and conventions xiii
1 Introduction 1
2 Hamiltonian formulation of GR 5
2.1 The Arnowitt{Deser{Misner action . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 The (3 + 1)-decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 The Arno action . . . . . . . . . . . 9
2.2 The Hamiltonian of GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Phase space variables of GR . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 The Hamiltonian of GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Constraints of GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 The set of constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Transformations generated by the constraints . . . . . 13
2.3.3 The partially reduced phase space . . . . . . . . . . . 15
2.4 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Hamiltonian equations of motion . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Relation to Einstein’s equations . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Dirac algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Reparametrization-invariant theories . . . . . . . . . . 17
2.5.2 The hypersurface-deformation algebra . . . . . . . . . 18
2.5.3 Relation to di eomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Gravity coupled to matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Dirac Constraint Quantization 21
3.1 Canonical Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Canonical Quantization of Classical Mechanics . . . . 21
3.1.2 Quan of Field Theories . . . . . . . 22
3.2 Constraint Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Dirac Constraint Quantization . . . . . . . . . . . . . 24
viiviii CONTENTS
3.2.2 Dirac’s constraint quantization condition: an example 26
3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Quantum General Relativity 31
4.1 The Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 The quantization map Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 The Dirac Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3 The solution spaceF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.2 Mathematical Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Positivity requirement for the three-metrich . . . . . 33
4.2.2 Factor ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.3 Consistent constraint operators . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Interpretational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 Identi cation of physical state space . . . . . . . . . . 36
4.3.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.3 The physical state spaceF . . . . . . . . . . . . . 37phys
4.4 Successes of quantum GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.1 The semi-classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.2 Relation to path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Singularities in quantum GR 45
5.1 in classical GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 What do we expect from quantum GR? . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Resolution of classical singularities? . . . . . . . . . . 46
5.2.2 Singularity-free quantum GR? . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Singularities in quantum cosmology . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 The Wheeler{DeWitt equation with cosmological con-
stant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 The equation containing matter . . . 57
5.3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Singularities in full quantum GR . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4.1 Superspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.2 DeWitt’s boundary proposal . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.3 Regularizing the Wheeler{DeWitt equation . . . . . . 62
5.4.4 Coupling to matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Criteria for singularity resolution . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.1 Break-down of semi-classical approximation . . . . . . 64
5.5.2 Vanishing of the wave function . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.3 Other criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65CONTENTS ix
6 Quantum Cosmology 67
6.1 Hamiltonian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.2 Gravitational Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.1.3 Coupling to scalar- eld matter . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.4 Total Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.5 Hamiltonian equations of motion . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Wheeler{DeWitt equation for cosmology . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1 Regularization of the Wheeler{DeWitt equation . . . 73
7 Quantum phantom cosmology 75
7.1 Motivation and general properties . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Quantizing the big-rip singularity . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Classical Phantom Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3.1 Cosmological toy model with vanishing phantom po-
tential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3.2 model with phantom dark energy . . . . 80
7.3.3 Cosmological model evolving from big rip to big rip . 82
7.4 Quantum Phantom Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4.1 Quantum cosmological toy model with vanishing phan-
tom potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.4.2 Quantum model with phantom dark energy 87
7.4.3 Quantum cosmological model with phantom dark en-
ergy and constant . . . . . . . . . . . . . 92
7.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8 Quantum Cosmology of big-brake model 99
8.1 Classical big-brake model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 Quantum cosmology of the big-brake model . . . . . . . . . . 103
8.2.1 Born{Oppenheimer approximation to the Wheeler{
DeWitt equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.2.2 Derivation of classical equations of motion from the
principle of constructive interference . . . . . . . . . . 105
8.2.3 Singularity avoidance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.4 Behaviour at the classical singularity . . . . . . . . . . 107
8.3 Remarks on the big-bang singularity . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1 Solution to the Wheeler{DeWitt equation . . . . . . . 111
8.3.2 Recovery of classical trajectories . . . . . . . . . . . . 112
8.3.3 Construction of wave packets . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3.4 Singularity avoidance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Relation to Loop Quantum Cosmology . . . . . . . . . . . . . 113
8.4.1 Non-covariant factor ordering . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4.2 Covariant factor ordering . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116x CONTENTS
9 E ectiv e Equations 119
9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1.1 From the quantum GR side . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1.2 From the quantum theory side . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Geometrical formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.3 Generalized e ectiv e equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.4 E ectiv e constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4.1 Form of quantum constraints . . . . . . . . . . . . . . 128
9.4.2 Iteration procedure for quantum constraints . . . . . . 130
9.4.3 Reality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.4.4 Linear constraint operator: Number of e ectiv e con-
straints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.5 Approximation schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.5.1 Truncations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.5.2 Consistent approximations . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.5.3t approximations: an example . . . . . . . . 147
9.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10 Conclusions 155
A Generalized Hamiltonian dynamics 159
A.1 The Bergmann{Dirac algorithm I . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.1.1 Canonical momenta and primary constraints . . . . . 160
A.1.2 Hamiltonian and equations of motion . . . 160
A.1.3 Weak and strong equalities . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.1.4 Primary Hamiltonian and extended equations of motion162
A.1.5 Consistency and secondary constraints . . . . . . . . . 164
A.1.6 Determination of multiplier functions . . . . . . . . 166
A.1.7 First-class constraints and gauge transformations . . . 167
A.1.8 The Dirac conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.2 The Bergmann{Dirac algorithm II . . . . . . . . . . . . . . . 171
B The canonical quantization scheme 173
B.1 Canonical Quan in Classical Mechanics . . . . . . . . 173
B.2 Quantization of Field Theories . . . . . . . . . . . 176
C ‘Singularity resolution’ 179
C.1 Singular potentials in quantum and classical mechanics . . . . 179
C.2 The classical motion of a particle in the attractive Coulomb
potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.3 The quantized Coulomb problem . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

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