Theory of optical and ultrafast quantum kinetic properties of carbon nanotubes [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Stefan Matthias Hirtschulz

Theory of Optical and Ultrafast Quantum KineticProperties of Carbon Nanotubesvorgelegt von Diplom PhysikerStefan Matthias Hirtschulzaus StuttgartFakult¨at II - Mathematik und Naturwissenschaftender Technischen Universit¨at Berlinzur Erlangung des akademischen GradesDoktor der NaturwissenschaftenDr.rer.nat.genehmigte DissertationPromotionsausschuss:Vorsitzender: Prof. Dr. M. D¨ahne1. Gutachter: Prof. Dr. A. Knorr2.hter: Prof. Dr. P. SaalfrankTag der wissenschaftlichen Aussprache 19.12.2008Berlin 2009D83iiiZusammenfassungDie vorliegende Doktorarbeit beschaftigt¨ sich mit der theoretischen Modellierung und Untersu-chung der linearen und nichtlinearen optischen Eigenschaften von Kohlenstoffnanor ¨ohren (carbonnanotubes, CNT). Wahrend die linearen optischen Eigenschaften dieser Systeme bereits eingehend¨untersucht wurden, sind die nichtlinearen und ultraschnellen Eigenschaften noch nicht ausreichendverstanden.HiersetztdieseArbeitan.Zielistes,insbesonderenichtlineareoptischePhanomeneund¨die ultraschnelle Ladungstragerdynamik beschreiben zu konnen. Der in dieser Arbeit verwendete¨ ¨fur CNT neuartige Ansatz kombiniert die Dichtematrix-Theorie mit der Tight-Binding-Methode.¨Vorteil dieses Ansatzes ist die Moglichkeit, sowohl das lineare als auch das nichtlineare Antwortver-¨halten unter Berucksichtigung von Vielteilcheneffekten f ur eine Vielzahl von Nanorohren berechnen¨ ¨ ¨zu konnen.
Publié le : mardi 1 janvier 2008
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Theory of Optical and Ultrafast Quantum Kinetic
Properties of Carbon Nanotubes
vorgelegt von Diplom Physiker
Stefan Matthias Hirtschulz
aus Stuttgart
Fakult¨at II - Mathematik und Naturwissenschaften
der Technischen Universit¨at Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr.rer.nat.
genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. M. D¨ahne
1. Gutachter: Prof. Dr. A. Knorr
2.hter: Prof. Dr. P. Saalfrank
Tag der wissenschaftlichen Aussprache 19.12.2008
Berlin 2009
D83iii
Zusammenfassung
Die vorliegende Doktorarbeit besch¨aftigt sich mit der theoretischen Modellierung und Untersu-
chung der linearen und nichtlinearen optischen Eigenschaften von Kohlenstoffnanor ohren¨ (carbon
nanotubes, CNT). Wahrend die linearen optischen Eigenschaften dieser Systeme bereits eingehend¨
untersucht wurden, sind die nichtlinearen und ultraschnellen Eigenschaften noch nicht ausreichend
verstanden.HiersetztdieseArbeitan.Zielistes,insbesonderenichtlineareoptischePhanomeneund¨
die ultraschnelle Ladungstragerdynamik beschreiben zu konnen. Der in dieser Arbeit verwendete¨ ¨
fur CNT neuartige Ansatz kombiniert die Dichtematrix-Theorie mit der Tight-Binding-Methode.¨
Vorteil dieses Ansatzes ist die Moglichkeit, sowohl das lineare als auch das nichtlineare Antwortver-¨
halten unter Berucksichtigung von Vielteilcheneffekten f ur eine Vielzahl von Nanorohren berechnen¨ ¨ ¨
zu konnen.¨
Im ersten Schritt wurden die Bloch-Gleichungen fur Kohlenstoffnanor ohren abgeleitet - zunachst¨ ¨ ¨
auf dem Niveau der abgeschirmten Hartree-Fock Naherung.¨ Bemerkenswerterweise sind sowohl die
Bandrenormalisierung als auch die Exziton-Bindungsenergie in der Gr¨oßenordnung der Bandl uc¨ ke.
Wahrend¨ die Bandrenormalisierung zu einer starken Blauverschiebung der Bandluc¨ ke fuhrt,¨ ver¨an-
dert der exzitonische Beitrag die Form der Resonanz (neue Quasi-Teilchen sind Exzitonen).
Im zweiten Schritt wurde die optische Antwort des Systems nach Anregung mit einem starken
Pump-Puls im Quasigleichgewicht beschrieben. Aufgrund der anregungsbedingten Veranderung¨ der
Hartree-Fock Beitrage¨ und der verst¨arkten Plasma-Abschirmung findet man eine Rotverschiebung
und S¨attigung der exzitonischen Resonanz. Die Rotverschiebung nimmt mit zunehmendem Durch-
messer der Nanorohren¨ ab. Bei ausreichender Ladungstragerdic¨ hte wurde optischer Gewinn (gain)
festgestellt. Solche Gewinn-Rechnungen sind die Voraussetzung fur¨ die moglic¨ he Realisierung von
CNT Lasern. Weiterhin wurde im Rahmen der Hartree-Fock Theorie auch die Ladungstragerdyna-¨
mikindieModellbeschreibungintegriert.Fur¨ nicht-resonanteAnregungunterhalbderexzitonischen
Resonanz folgt die Leitungsband-Ladungstr¨agerdichte dem Puls adiabatisch. Fur¨ diese Anregungs-
bedingungen wurden auch Pump-Probe Experimente berechnet. Das Zusammenspiel der einzelnen
Hartree-Fock Beitrage und der Plasma-Abschirmung fuhren hierbei zu einer mit der Starke des¨ ¨ ¨
Pump-Pulses zunehmenden Rotverschiebung und Sattigung der Exziton-Resonanz (optischer Stark¨
Effekt ).
Zur Beschreibung nichtlinearer, resonanter Anregungen muss die Intraband-Ladungstragerrelax-¨
ation in das Modell integriert werden. Daher wurde im dritten Schritt eine Korrelationsentwicklung
derCoulomb-Wechselwirkungdurchgefuhrt.DaimRahmendieserArbeitdieDynamikaufsehrkur-¨
zen Zeitskalen beschrieben werden soll, wurde keine Markov-Naherung durchgefuhrt. Dies erlaubt¨ ¨
die Analyse der Ladungstragerdynamik im Femtosekunden-Bereich auf nicht-markovschem Niveau,¨
d.h. Gedachtniseffekte sind voll ber ucksichtigt. Die Intrabandthermalisierung wurde sowohl in ei-¨ ¨
nem 1-Band- als auch in einem 2-Band-Modell beschrieben.
Man findet eine ultraschnelle Relaxation der Ladungstr¨ager im » 100fs Bereich. Die wesentlichen
Charakteristika der Relaxationsdynamik sind unabhangig¨ von der Chiralit¨at der CNTs und werden
vor allem vom Durchmesser bestimmt (langsamere Relaxation mit zunehmendem Durchmesser).
Weitere Einflussgr¨oßen der sind die externe Abschirmung und die Ladungstr a-¨
gerdichte. Ein Effekt der nicht-markovschen Dynamik sind die Oszillationen des Elektronenplasmas
auf der selben Zeitskala (Periode der Oszillationen nimmt mit dem Durchmesser zu).
Die Berechnungen des Zweiband-System bestatigen¨ die Intrabandthermalisierung auf einer»100fs
Zeitskala. Vorteil dieses Ansatzes ist die bessere Modellierung der Anregung von Ladungstragern.¨
Außerdem kann die anregungsbedingte Dephasierung der Polarisation beschrieben werden, die mit
der Stark¨ e der Anregung zunimmt. Bei resonanter Anregung an der exzitonischen Resonanz depha-
siert die Polarisation auf einer Pikosekunden Zeitskala.iv
Abstract
This work aims to theoretically model and examine the linear and nonlinear optical properties of
single-wall carbon nanotubes (SWCNT). Because of their extraordinary mechanical, optical and
electrical properties these systems have attracted a lot of scientific interest. In recent years several
time-domain spectroscopic studies have been carried out, but a complete (theoretical) understand-
ing is lacking and there are still several controversial results in ultrafast spectroscopy. To build
future (opto-)electronic devices, however, a sound and fundamental understanding of ultrafast and
non-linear properties of these nanoscale systems is necessary. This is the main focus of this work.
The for CNT novel approach combines density matrix theory with the tight-binding method. It
allowes to calculate the linear as well as the nonlinear response to optical pulses taking into account
many-particle interactions.
First of all, the Bloch equations for CNTs on a screened Hartree-Fock level have been derived. The
carbon nanotube Bloch equations (CNBEs) contain excitons as elementary optical excitations for
weak excitation and verify the importance of Coulomb effects in CNTs. The Hartree-Fock con-
tributions lead to strong band renormalizations and exciton binding energies both in the order of
magnitude of the band gap.
Second, the optical response of various CNTs of different diameter in the quasi-equilibrium regime
was calculated. As a result of the excitation-induced changes of the Hartree-Fock contributions and
the plasma screening, strong optical nonlinearities, including gain for high excitation were found.
The excitonic resonance experiences a bleaching and red shift. Both effects gradually increase with
the strength of the optical excitation. At sufficiently high carrier densities optical Gain is observed.
Such gain calculations are a prerequisite for future CNT lasers. The temporal response of CNTs to
ultrashort pulses was modeled taking into account the time dependence of the carrier occupations.
For non-resonantexcitationbelowtheexcitonicresonancethetotalconductionbandcarrierdensity
adiabatically follows the optical pulse. For these excitation conditions the pump-probe spectra for
severalCNTshavebeenobtained. Again,ableachingandastrongredshiftoftheresonance(optical
Stark effect ) is found.
To describe ultrafast carrier relaxation a mean-field theory is not sufficient. Hence the screened
Hartree-Fock theory was extended to include carrier-carrier scattering. This results in the ther-
malization of non-equilibrium carrier populations. To accurately describe carrier dynamics on very
short timescales below 100 fs a non-Markovian theory is necessary. Therefore, a correlation expan-
sion was performed to account for memory effects that act on short timescales in the femtosecond
regime. The intraband thermalization of carriers was described in a one-band and a two-band
model. The calculations in the one-band model predict an ultrafast thermalization of the charge
carriers on a » 100fs timescale. An effect of the non-Markovian dynamics are the oscillations of
the electron plasma on the same timescale. The main characteristics of the relaxation dynamics
are independent of chirality of the CNTs, but depend on their diameter (slower relaxation with
increasing diameter, as the Coulomb interaction is weaker in larger CNTs). Further influ-
encing factors are the external dielectric screening (slower relaxation with increased screening, as
scattering is less effective) and the total carrier density (faster with increasing excitation,
as more scattering partners are present).
The two-band calculations support the intraband carrier relaxation on a » 100fs timescale. The
advantage of the model is the improved description of the carrier excitation. Furthermore, the
excitation induced dephasing of the polarization can be described. On resonant excitation at the
exciton the polarization dephases on a picosecond timescale (dephasing is faster for higher carrier
densities).Publications
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, M. Richter, J. Maultzsch, S. Reich, and A. Knorr
”Coulomb effects in single-walled carbon nanotubes”
Physica Status Solidi (b) 245, 2155 (2008)
† M. Hirtschulz, F. Milde, E. Mali´c, C. Thomsen, S. Reich, and A. Knorr
”Theory of ultrafast intraband relaxation in carbon nanotubes”
Physica Status Solidi (b) 245, 2164 (2008)
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, Y. Wu, J. Maultzsch, T.Heinz, A. Knorr, and S. Reich
”Theory of Rayleigh scattering from metallic carbon nanotubes”
Physical Review B 77, 045432 (2008)
† M. Hirtschulz, F. Milde, E. Mali´c, S. Butscher, C. Thomsen, S. Reich, and A. Knorr
”Carbon nanotube Bloch equations: a many-body approach to nonlinear and ultrafast optical
properties”
Physical Review B 77, 035403 (2008)
† S. Butscher, F. Milde, M. Hirtschulz, E. Mali´c, and A. Knorr
”Hot Electron Relaxation and Phonon Dynamics in Graphene”
Applied Physics Letters 91, 203103 (2007)
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, Y. Wu, J. Maultzsch, T. Heinz, A. Knorr, and S. Reich
” Theoretical approach to Rayleigh and absorption spectra of semiconducting carbon nano-
tubes”
Physica Status Solidi (b) 244, 4236 (2007)
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, and S. Reich
”Analytical approach to optical absorption in carbon nanotubes”
Physical Review B 74, 195431 (2006)
Conference Contributions
† F. Milde, S. Butscher, M. Hirtschulz, E. Mali´c, and A. Knorr
”Theory of nonthermal phonon and electron relaxation dynamics in graphene”
NOEKS08, Klink/Muritz,¨ Germany, May 2008
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, M. Richter, Janina Maultzsch, S. Reich, and A. Knorr
”Coulomb effects in carbon nanotubes”
International Winterschool (IWEPNM08), Kirchberg, Austria, March 2008
† M. Hirtschulz, F. Milde, E. Mali´c, S. Butscher, C. Thomsen, S. Reich, and A. Knorr
”Carrier-carrier interaction in SWCNTs: Theory of non-equilibrium and ultrafast nonlinear
optical properties”
International Winterschool (IWEPNM08), Kirchberg, Austria, March 2008
† M. Hirtschulz, F. Milde, E. Mali´c, S. Butscher, C. Thomsen, S. Reich, and A. Knorr
”Influence of the Coulomb interaction on linear and nonlinear optical properties of SWCNTs”
DPG, Berlin, Germany, February 2008
† F. Milde, S. Butscher, M. Hirtschulz, E. Mali´c, and A. Knorr
”Phonon induced carrier relaxation and hot phonon dephasing dynamics in graphene”
DPG, Berlin, Germany, February 2008vi
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, J. Maultzsch, S. Reich, and A. Knorr
”Rayleigh scattering from single-walled carbon nanotubes”
International Conference on Carbon Nanotubes (NT07), Ouro Preto City, Brazil, June 2007
† M. Hirtschulz, F. Milde, E. Mali´c, S. Butscher, C. Thomsen, S. Reich, and A. Knorr
”Carbon nanotube Bloch equations: A many-body approach to excitonic spectra, optical gain
and the dynamical Stark effect”
International Conference on Carbon Nanotubes (NT07), Ouro Preto City, Brazil, June 2007
† F. Milde, S. Butscher, M. Hirtschulz, E. Mali´c, and A. Knorr
”Phonon induced electron relaxation and dephasing dynamics in graphene and single-walled
carbon nanotubes” ,
International Conference on Carbon Nanotubes (NT07), Ouro Preto City, Brazil, June 2007
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, and S. Reich
”Chirality dependence in the absorption and Rayleigh spectra of carbon nanotubes”
InternationalConferenceonLasersandElectro-Optics,(CLEO/QELS),Baltimore,USA,May
2007
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, and S. Reich
”Chirality dependence in the absorption spectra of carbon nanotubes”
International Winterschool (IWEPNM07), Kirchberg, Austria, March 2007
† E. Mali´c, M. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, and S. Reich
”Optical absorption in carbon nanotubes”
International Conference on Carbon Nanotubes (NT06), Nagano, Japan, June 2006Contents
I Introduction 1
1 Motivation 3
2 Structure of this Work 5
II Model Description of Single-Walled Carbon Nanotubes 7
3 Structure and Symmetry of CNT 9
4 System Hamiltonian, Band Structure, Tight-Binding Wavefunctions 13
4.1 Hamilton Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Tight-Binding Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Band Structure: From Graphene to Carbon Nanotubes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Electron-Light Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5 Coulomb Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Carbon Nanotube Bloch Equations 27
5.1 General Approach and the Heisenberg Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Introduction to Density Matrix Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Hierarchy Problem and Correlation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 General Symmetry Properties of the One- and Two-Particle Density Matrix . . . . . 32
5.5 Equations of Motion for the One- and Two-Py . . . . . 34
5.6 Rotating Wave Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III Linear Optical Properties of SWCNT 39
6 From Microscopic to Macroscopic Quantities 41
6.1 Maxwell’s Equations and Absorption Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Current density - microscopic description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 Linear Absorption 45
7.1 Free Particles and Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 Excitons in Semiconducting CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV Nonlinear and Ultrafast Optical Properties of SWCNT 53
8 Screening of the Coulomb Interaction (External and Internal) 55
8.1 Dielectric Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2 Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.1 Lindhard Screening - Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.2 Influence of the Plasma Screening on Optical Properties . . . . . . . . . . . . 60viii Contents
8.2.3 Charge screening from electron correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9 Nonlinear Optics - Hartree-Fock Level 63
9.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Quasi-Equilibrium Optical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 Adiabatic Following and Rabi Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.4 Dynamical Stark Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Coulomb Quantum Kinetics - Correlation Level 73
10.1 Ultrafast Carrier Dynamics - One Band Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.1.2 Ultrafast Intraband Electron Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.3 Energy of the Carrier System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2 Ultrafast Carrier Dynamics - Two-Band Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2.2 Charge Conservation - Analytical Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2.3 Results - Outlook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
V Conclusion and Outlook 91
A Equations of Motion 95
A.1 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2 Singlet Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.3 Doublet Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.4 Triplet Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.5 Rotating Wave Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B Optical Matrix Elements 105
C Coulomb Matrix Elements 107
D Numerical Issues 109
E Reference Table 111
F Notation and Conventions 115
F.1 Natural Constants and Material Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
F.2 Notation and Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
F.3 Fourier Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
F.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Bibliography 119
Index 122
Danksagung 125List of Figures
1.1 Nanotube transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1 Graphene Roll-Up and lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Unit cell and coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Graphene band structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Zone folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Linear subbands, reciprocal space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Optical matrix elements of (11,6) and (12,5) CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 α (k,q,k) as a function of k and q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24λ
4.6 Illustration of the Coulomb interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.7 Coulomb matrix elements (contour plot)(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.8bts (contour plot)(II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Optical interband excitation and band renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1 Bandstructure vs. Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Free Spectra: dispersionless subband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Free Spectra of 2n +n =29 branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 2
7.4 Band structure and renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5 Experimental Kataura plot of the E resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111
7.6 Linear absorbance of the 2n +n =29 branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 2
8.1 E of the 2n +n =29 branch for different ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611 1 2 r
8.2 Dependence of relaxation time τ on ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56ex r
8.3 Plasma screening/test charge model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4 ε(q ) (linear regime) and screened Coulomb interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
k
8.5 Coulomb potential/screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.6 Influence of internal screening on shifted bands and exciton binding energies . . . . . 62
9.1 Pump-probe setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Absorption spectra with T =77K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.3 Influence of plasma screening on bandstructure and Coulomb interaction . . . . . . . 66
9.4 of carrier occupation on polarization dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.5 Rabi oscillations in a (11,6) CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.6 Occupation dynamics of the (10,9) CNT (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.7 of the CNT (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.8 Optical stark effect and occupation density dynamics (14,1) CNT . . . . . . . . . . . 70
9.9 stark effect (11,7),(15,11),(17,13) and (20,18) CNT . . . . . . . . . . . . . . 72
10.1 Carrier dynamics of (11,6) CNT, σ =28 fs and σ =12 meV . . . . . . . . . . . . . 75t E
10.2 population of the (11,6) and (10,9) CNT at three different times . . . . . . . 76
10.3 Carrier dynamics of (11,6),(10,9),(11,7) and (14,1) CNT for fixed wavevectors . . . . 77
10.4 of (10,9) CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.5 Carrier dynamics of (44,24) CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.6 of (11,6) CNT for different generation rates . . . . . . . . . . . . . 79x List of Figures
10.7 Energy evolution of the carrier system in the (11,6) CNT g =0.7/ps . . . . . . . . 810
10.8 ev of the in the CNT g =1.5/ps . . . . . . . . 810
10.9 (11,6) CNT - carrier and polarization dynamics - two band model. . . . . . . . . . . 87
210.10jp (t)j for resonant and off-resonant excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88k
10.11Incoherent and coherent correlation dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.12Excitation induced dephasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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