Tomographic reconstruction of 2-D atmospheric trace gas distributions from active DOAS measurements [Elektronische Ressource] / presented by Andreas Hartl

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematicsof the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDiplom-Physiker Andreas Hartlborn in MendenOral examination: 5 February 2007Tomographic Reconstruction of 2-DAtmospheric Trace Gas Distributions fromActive DOAS MeasurementsReferees: Prof. Dr. Ulrich PlattProf. Dr. Bernd J¨ahneZusammenfassungDie Anwendung des tomographischen Prinzips auf die aktive DOAS Fernerkundung stellt eine neueMeßtechnik von atmosph¨arischen Spurengasverteilungen dar, fur¨ die analytische Standardmethodenzur Rekonstruktion von skalaren Feldern aus ihren Wegintegralen wegen der wenigen (10-50), un-regelm¨aßig angeordneten Strahlen nicht anwendbar sind. Stattdessen wird die Verteilung durch einebegrenzte Zahl von lokalen, hier stuc¨ kweise konstanten oder linearen, Basisfunktionen parametrisiertund das diskrete lineare inverse Problem durch einen Least Squares - Minimum Norm Ansatz gelo¨st.Fur¨ ra¨umlich stark begrenzte 2-D Konzentrationsspitzen wird in Abh¨angigkeit ihrer Ausdehnunggezeigt, wie die Rekonstruktion durch optimierte Wahl der Parametrisierung, d.h. Zahl und Art derBasisfunktionen,sowiedesAPrioriserheblichverbessertwerdenkann. DieRegularisierungderL¨osungspielt eine untergeordnete Rolle.
Publié le : lundi 1 janvier 2007
Lecture(s) : 22
Source : ARCHIV.UB.UNI-HEIDELBERG.DE/VOLLTEXTSERVER/VOLLTEXTE/2007/7173/PDF/HARTL_07.PDF
Nombre de pages : 205
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom-Physiker Andreas Hartl
born in Menden
Oral examination: 5 February 2007Tomographic Reconstruction of 2-D
Atmospheric Trace Gas Distributions from
Active DOAS Measurements
Referees: Prof. Dr. Ulrich Platt
Prof. Dr. Bernd J¨ahneZusammenfassung
Die Anwendung des tomographischen Prinzips auf die aktive DOAS Fernerkundung stellt eine neue
Meßtechnik von atmosph¨arischen Spurengasverteilungen dar, fur¨ die analytische Standardmethoden
zur Rekonstruktion von skalaren Feldern aus ihren Wegintegralen wegen der wenigen (10-50), un-
regelma¨ßig angeordneten Strahlen nicht anwendbar sind. Stattdessen wird die Verteilung durch eine
begrenzte Zahl von lokalen, hier stuc¨ kweise konstanten oder linearen, Basisfunktionen parametrisiert
und das diskrete lineare inverse Problem durch einen Least Squares - Minimum Norm Ansatz gelo¨st.
Fur¨ ra¨umlich stark begrenzte 2-D Konzentrationsspitzen wird in Abh¨angigkeit ihrer Ausdehnung
gezeigt, wie die Rekonstruktion durch optimierte Wahl der Parametrisierung, d.h. Zahl und Art der
Basisfunktionen,sowiedesAPrioriserheblichverbessertwerdenkann. DieRegularisierungderL¨osung
spielt eine untergeordnete Rolle. Vorschl¨age zur Rekonstruktion von Konzentrationsspitzen durch
Kombination verschiedener Parametrisierungen werden systematisch untersucht, wobei deren Erfolg
starkvonderammeisteninteressierendenEigenschaftderVerteilungabh¨angt. Vergleichverschiedener
2-D Strahlgeometrien ergibt, daß lineare Unabh¨angigkeit des resultierenden Systems entscheidend ist.
Eine detaillierte Analyse des Rekonstruktionsfehlers stellt Besonderheiten der Tomographie mit weni-
gen Strahlen heraus und argumentiert, daß dessen Absch¨atzung ohne A Priori nicht m¨oglich ist.
Unter dieser Voraussetzung wird ein numerisches Schema zur Berechnung des Rekonstruktionsfehlers
vorgestellt.
Die Methoden werden auf ein Innenraumexperiment zur Simulation von Emissionsfahnen, sowie auf
2-D Modellverteilungen ub¨ er einer Straßenschlucht angewendet, wobei fur¨ letztere gezeigt wird, wie
Modellevaluation trotz weniger Lichtstrahlen m¨oglich sein kann. Anders als fur¨ ra¨umlich begrenzte
Maxima besteht hier starke Abh¨angigkeit vom Grad der Regularisierung.
Abstract
Applying the tomographic principle to active DOAS remote sensing leads to a novel technique for the
measurement of atmospheric trace gas distributions. Standard analytical methods for the reconstruc-
tion of a scalar field from its line integrals cannot be used due to low numbers of light paths (10-50)
and their irregular arrangement, so that the concentration field is expanded into a limited number
of local (piecewise constant or linear) basis functions instead. The resulting discrete linear inverse
problem is solved by a least squares-minimum norm principle.
For sharp 2-D concentration peaks it is shown systematically with respect to their extension how the
optimal choice of parametrisation (in terms of number and kind of basis functions) and a priori can
tremendously improve the reconstruction. Regularisation plays a minor role. Proposals for retrieving
peakdistributionsbycombiningdifferentparametrisationsareagainexaminedsystematicallyshowing
thattheirusefulnessheavilydependsonthefeaturesoneismostinterestedin. Comparisonofdifferent
2-D light path geometries reveals that linear independency within the associated systems is pivotal.
A detailed analysis of the reconstruction error points out special issues of tomography with only few
integration paths and argues that a complete error estimation is not possible without a priori as-
sumptions. Based on this discussion a numerical scheme for calculating the reconstruction error is
suggested.
The findings are applied to an indoor experiment simulating narrow emission puffs and 2-D model
distributions above a street canyon, respectively. For the latter case it is demonstrated how model
evaluation can be possible even with a relatively small number of light paths. Contrary to the recon-
struction of peak distributions regularisation becomes crucial.Contents
Symbols, Acronyms and Notation 12
1. Introduction 14
I. Basics 18
2. Trace Gas Distributions in the Atmosphere 19
2.1. The need for measured trace gas distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Selected trace gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Dispersion by turbulent diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4. The Gaussian plume model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Urban trace gas distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Tomography and Remote Sensing of Atmospheric Trace Gases 35
3.1. The principle of tomographic measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Atmospheric remote sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1. IR spectroscopy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2. LIDAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3. DOAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Tomographic applications in the atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4. First tomographic DOAS measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Tomography and Discrete, Linear Inverse Problems 49
4.1. Forward model and inverse problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Continuous inversion methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1. Transform methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2. Remark on existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. The discrete, linear inverse problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1. Discretisation by quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2. Finite element discretisation - local basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4. The question of ill-posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5. The singular value decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6. The least squares problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.1. Least squares and least norm solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.2. Weighted least squares and weighted least norm with a priori . . . . . . . . . . 65
4.6.3. Regularisation and constrained least squares problems . . . . . . . . . . . . . . 66
78 Contents
4.6.4. Resolution matrix and averaging kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.5. Remark on the norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7. Statistical approach to the least squares problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7.1. The optimal estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.2. Degrees of freedom and information content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.8. Iterative solution of the least squares problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8.1. Iterative versus direct methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8.2. Typical convergence behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8.3. Brief comparison of some iteration methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.8.4. ART, SART and SIRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.9. Other reconstruction methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9.1. Maximum entropy and maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9.2. Backus-Gilbert method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9.3. Example of global optimisation – fitting Gaussian exponentials . . . . . . . . . 82
II. Methodology 84
5. The Error of the Reconstructed Distribution 85
5.1. The problem in defining the reconstruction error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Composition of the total error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.1. The ideal discretisation and the discretisation error . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2. The inversion error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.3. The measurement error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3. Numerical estimation of the reconstruction error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4. Overall reconstruction errors and quality criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6. Reconstruction Procedure 99
6.1. Reconstruction principle and inversion algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2. Reconstruction grid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.1. The ideal reconstruction grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.2. Combining grids for the reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3. A priori and constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.1. Choice of the a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.2. Background concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.3. Additional constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3.4. Fitting peak maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4. Finding optimal settings from simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7. Designing a Tomographic Experiment 109
7.1. Requirements for the setup – number of light paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2. Light path geometry – degrees of freedom and influence of the a priori . . . . . . . . . 110
7.3. Including point measurements and profile information . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.4. Aspects of model evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Contents 9
III.Numerical Results 117
8. 2-D Simulation Results for Gaussian Peaks 118
8.1. Test distributions and light path geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2. Parametrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2.1. Grid dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2.2. Basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2.3. Grid translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3. Algorithms: ART versus SIRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.1. Optimal iteration number and reconstruction quality . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.3.2. Sensitivity to noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.4. Light path geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4.1. Singular value decomposition of the geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4.2. Comparison of different geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4.3. Point measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.4.4. Scaling with light path number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.5. Background concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.6. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9. 2-D Reconstruction of NO Peaks from an Indoor Test Experiment 1512
9.1. The experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2. Sample reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3. Discussion of the reconstruction error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4. Some aspects of atmospheric measurements of emission plumes . . . . . . . . . . . . . 159
10.2-D Reconstruction of Model Trace Gas Distributions above a Street Canyon 165
10.1.Model system, set-up and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2.Sample reconstruction for NO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692
10.3.Discussion of model evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.3.1. Estimation of the reconstruction error using the optimal estimate . . . . . . . . 171
10.3.2. Estimation of the reconstruction error using a random ensemble . . . . . . . . 172
10.3.3. Case studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.Conclusion and Outlook 179
11.1.Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2.Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
IV.Appendices 184
A.Atmospheric Stability Classes and Dispersion Coefficients 185
B. Generation of Random Test Distributions 187
C. Auxiliary Calculations 18910 Contents
D.Software & Numerics 194
References 195

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