Universal properties of self-organized localized structures [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Hendrik Ulrich Bödeker

Universal propertiesof Self-OrganizedLocalized StructuresHendrik Ulrich B¨odeker2007Experimentelle PhysikUniversal propertiesof Self-OrganizedLocalized StructuresInaugural-Disserationzur Erlangung des Doktorgradesder Naturwissenschaften im Fachbereich Physikder mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakult¨atder westf¨alischen Wilhelms-Universit¨at Munster¨vorgelegt vonHendrik Ulrich B¨odekeraus Bielefeld-2007-Dekan: Prof. Dr. J. P. WesselsErster Gutachter: Prof. Dr. H.-G. PurwinsZweiter Gutachter: Prof. Dr. R. FriedrichTag der mundl¨ ichen Pru¨fung: 14.05.2007Tag der Promotion: 13.07.2007ZusammenfassungIn der Geschichte der Physik hat das Teilchenkonzept bei der Beschreibung vonProzessen auf zahlreichen rau¨ mlichen und zeitlichen Skalen eine zentrale Rolle gespielt,angefangen bei der Beschreibung subatomarer Prozessen auf sehr kleinen Skalen biszu Prozessen wie der Dynamik von Sternen und Planeten auf extrem grossen Skalen.In den letzten Jahren galt ein besonderes wissenschaftliches Interesse selbstorganisiertenteilchenartigen Strukturen in selbstorganisierenden Systemen. Solche Strukturen ko¨nnenin einer Vielzahl ra¨umlich ausgedehnter physikalischer Systeme beobachtet werden, soz.B. in nichtlinearen optischen Systemen, Gasentladungen, Halbleitern, granularen Me-dien und hydrodynamischen Systemen.
Publié le : lundi 1 janvier 2007
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Universal properties
of Self-Organized
Localized Structures
Hendrik Ulrich B¨odeker
2007Experimentelle Physik
Universal properties
of Self-Organized
Localized Structures
Inaugural-Disseration
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften im Fachbereich Physik
der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der westf¨alischen Wilhelms-Universit¨at Munster¨
vorgelegt von
Hendrik Ulrich B¨odeker
aus Bielefeld
-2007-Dekan: Prof. Dr. J. P. Wessels
Erster Gutachter: Prof. Dr. H.-G. Purwins
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. R. Friedrich
Tag der mundl¨ ichen Pru¨fung: 14.05.2007
Tag der Promotion: 13.07.2007Zusammenfassung
In der Geschichte der Physik hat das Teilchenkonzept bei der Beschreibung von
Prozessen auf zahlreichen rau¨ mlichen und zeitlichen Skalen eine zentrale Rolle gespielt,
angefangen bei der Beschreibung subatomarer Prozessen auf sehr kleinen Skalen bis
zu Prozessen wie der Dynamik von Sternen und Planeten auf extrem grossen Skalen.
In den letzten Jahren galt ein besonderes wissenschaftliches Interesse selbstorganisierten
teilchenartigen Strukturen in selbstorganisierenden Systemen. Solche Strukturen ko¨nnen
in einer Vielzahl ra¨umlich ausgedehnter physikalischer Systeme beobachtet werden, so
z.B. in nichtlinearen optischen Systemen, Gasentladungen, Halbleitern, granularen Me-
dien und hydrodynamischen Systemen. Trotz großer Unterschiede in den mikroskopi-
schen Eigenschaften der genannten Systeme zeigen die lokalisierten Strukturen eine
Vielzahl a¨hnlicher, scheinbar universeller Eigenschaften auf vergrob¨ erten ra¨umlichen und
zeitlichen Skalen. Sie kon¨ nen als Ganzes generiert und vernichtet werden, propagieren, in
charakteristischer Weise wechselwirken (Beispiele sind Streuung und die Bildung gebun-
dener Zusta¨nde) und dynamisch ihre Form vera¨ndern.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Beitrag zur Aufkl¨ arung der a¨hnlichen Eigenschaften
von selbstorganisierten teilchenartigen lokalisierten Strukturen in den unterschiedlichen
Systemen zu leisten. Dissipative Systeme sind dabei von zentralem Interesse. Die
Arbeit beginnt mit der theoretischen Betrachtung einiger Prototyp-Modellsysteme
wie Reaktions-Diffusions-, Ginzburg-Landau und Swift-Hohenberg-Gleichungen, die je-
weils eine gr¨oßere Klasse verschiedener experimenteller Systeme repras¨ entieren, in de-
nen lokalisierte Strukturen beobachtet werden ko¨nnen. Da sich die Gleichungen in
ihrer Natur stark unterscheiden und alle lokalisierten Strukturen in subkritischen Bi-
furkationen generiert werden, ist das bisherige Versta¨ndnis der qualitativen a¨hnlichen
Ph¨ anomene in Bezug auf lokaliserte Strukturen noch sehr beschr¨ ankt. Besonderes Inter-
esse gilt daher dem Auffinden von Mechanismen, die das Zusammenwirken verschiedener
Komponenten der jeweiligen Gleichungen bei Bildung, Dynamik und Wechselwirkung
lokalisierter Strukturen anschaulich machen. Auf diese Art und Weise ergeben sich einige
allgemeine Konzepte, die den grunds¨ atzlich verschiedenen Gleichungstypen gemein sind.
Um eine einheitliche Basis fur¨ den Vergleich der Dynamik und Wechselwirkung
lokalisierter Strukturen in den Feldgleichungen zu schaffen, kon¨ nen letztere mit
adiabatischen Eliminationsmethoden auf gewoh¨ nliche Differentialgleichungen reduziert
werden. Diese Gleichungen beschreiben die dynamische Entwicklung von langsam
vera¨nderlichen Gr¨oßen der einzelnen lokalisierten Strukturen, typische Beispiele sind
Position, Geschwindigkeit und langsame innere Freiheitsgrade. Die reduzierte Beschrei-
bung ist trotz der unterschiedlichen Feldgleichungen von a¨hnlicher Struktur, die oft
maßgeblich von den kontinuierlichen Symmetrien in den Feldgleichungen beeinflußt
¨wird. Unter gewissen Umst¨anden ergeben sich sogar starke formale Ahnlichkeiten zu den
Newton-Gleichungen der klassischen Mechanik. Im Detail werden eine Zahl konkreter
iProbleme behandelt, darunter Drift von lokalisierten Strukturen in Gradienten, intrin-
sische Propagation, periodische Forma¨nderungen und verschiedene Arten der Wechsel-
wirkung. Auch der Einfluß von Rauschen in den Feld- und Teilchengleichungen wird
diskutiert.
Nach dem gegenw¨artigen Stand der Technik sind die Moglic¨ hkeiten der numerischen
Untersuchung einer gr¨oßeren Anzahl wechselwirkender lokalisierter Strukturen und ihrer
Langzeitdynamik auf der Basis von Feldgleichungen starken Beschra¨nkungen unterwor-
fen. Daher bieten die reduzierten Gleichungen erstmals die Moglic¨ hkeit, statistische
Eigenschaften großer Teilchenensembles zu untersuchen. Von besonderem Interesse ist
dabei ein Vergleich lokalisierter Strukturen und klassischer Newtonscher Masseteilchen.
Hierbei stellt sich heraus, daß die Fah¨ igkeit lokalisierter Strukturen, intrinsisch zu
propagieren, fu¨r eine ganze Reihe neuartiger dynamischer Phan¨ omene verantwortlich
ist, die kein klassisches Analogon aufweisen. In diesem Kontext wird zuna¨chst ana-
lytisch die Dynamik von zwei lokalisierten Strukturen untersucht, bevor auch gr¨oßere
Ensembles mit Hilfe numerischer Methoden betrachtet werden. Auch Ensembles in-
trinsisch propagierender Teilchen unter dem Einfluß von Rauschen (aktive Brownsche
Teilchen) sind von Interesse.
Strukturen mit teilchenartigen Eigenschaften treten nicht ausschließlich in physikali-
schen Systemen auf, sondern existieren auch in biologischen Systemen, z.B. in Form
von Zellen. In diesem Fall existiert generell keine Feldbeschreibung und es ist da-
her kaum mo¨glich, eine selbstkonsistente Beschreibung des dynamischen Verhaltens zu
finden. Wir betrachten dieses Problem fur¨ die eukaryotische Zelle Dictyostelium dis-
coideum, die vielen Biologen als Prototyp-System dient. Eine zentrale Grundlage fur¨ die
Untersuchung der Dynamik einzelner Zellen bilden mikrofluidische Anordnungen. Mit
Methoden der stochstischen Datenanalyse gelingt es, aus experimentell gewonnenen Zell-
trajektorien Langevin-Gleichungen fur¨ die Dynamik isolierter Zellen abzuleiten, die eine
¨Teilchenbeschreibung darstellen und starke Ahnlichkeiten zu den reduzieren Gleichun-
gen fur¨ selbstorganisierte Strukturen in physikalischen Systemen aufweisen. Desweiteren
kann der Einfluß verschiedener chemischer Stimuli auf deterministische und stochastis-
che Anteile der Dynamik bestimmt werden, was Ruc¨ kschlusse¨ auf die zugrunde liegenden
Prozesse innerhalb der Zellen ermoglic¨ ht.
iiAbstract
Throughout the history of physics, the concept of particles has always played a central
role, going from very small scales as involved in the description of sub-atomic structures
up to very large scales as relevant e.g. for the dynamics of stars and planets. In recent
times, much scientific interest has been dedicated to localized, particle-like structures
in systems capable of showing self-organization. The latter can be observed in various
physical spatially extended systems like nonlinear optical systems, gas-discharges, semi-
conductors, granular media and hydrodynamic systems. Looking at the properties of
the localized structures in these systems, it turns out that in spite of strong differences in
the underlying physical microscopic processes, many structures have similar, apparently
universal characteristics on coarser spatial and temporal scales. They can be generated
and annihilated, propagate, interact, show scattering processes as well as the formation
of bound states and may perform dynamic deformations of their shape.
This work tries to contribute to explaining the similar behavior of the self-organized
particle-like localized structures (LSs) in different systems. The focus of interest lies on
systems in which dissipative processes play an essential role. In detail, we first consider
several prototype systems like reaction-diffusion, Ginzburg-Landau or Swift-Hohenberg
equations which each represent a number of different experimental systems capable of
exhibiting LSs. As the equations are structurally rather diverse in nature and all LS
are generated in subcritical bifurcations, there is currently a rather limited understand-
ing of the qualitative similarities in the dynamics of the LSs. Consequently, particular
emphasis is put on finding illustrative mechanisms which help to understand how the
individual constituents of each equation interact in order to allow for the formation, dy-
namics and interaction of LSs. In this way, a number of basic concepts can be identified
that are common in systems of very different nature.
A common basis for comparing the dynamics of single and several weakly interacting
LSs in different types of systems can be created reducing the field equations to ordi-
nary differential equations by methods of adiabatic elimination. The reduced equations
describe the evolution of quantities like positions, velocities and slowly varying inter-
nal degrees of freedom of the LSs. Even for rather different types of field equations
the reduced equations are of similar structure, often being essentially influenced by the
continuous symmetries present in the field equations. In particular, in some situations
there are strong formal similarities to those equations describing the dynamics of classi-
cal Newtonian mass particles. Several concrete problems are addressed, including drift
of LSs in spatial inhomogeneities, intrinsic propagation, periodic oscillations in shape
and different types of interaction behavior. Also, the effect of noise in the field equations
and its consequences for the reduced equations are discussed.
As due to current limitations of computational methods the interaction of only small
iiinumbers of LSs can be simulated numerically on the basis of field equations when sta-
tistical properties or long-time dynamics are of interest, the derivations of the reduced
equations essentially enables the investigation of statistical large particle ensembles. A
particularly interesting point is the comparison of LSs to classical Newton particles. It
is found that the property of many LSs to propagate intrinsically is responsible for a
number of dynamic processes that are very different from their classical counterpart.
We first carry out analytic considerations for the dynamics of two localized structures
before larger ensembles consisting of many LSs are investigated with the help of numer-
ical simulations. Also, ensembles of actively propagating particles propagating under
the influence of noise (active Brownian particles) are analyzed.
Objects with particle-like properties are not found exclusively in the field of physics,
but exist also in biological systems, for example in the form of cells. For these structures,
there generally exists no description on the level of field equations and consequently is
is hardly possible to find a self-consistent description of the dynamical behavior. We
address this problem for the eukaryotic cell Dictyostelium discoideum which serves as a
prototype system for many biologists. A basis for the experimental observation of the
dynamics of isolated cells is provided by the use of microfluidic devices. Using methods
of stochastic data analysis, Langevin equations for the motion of isolated cells can be
extracted from experimentally recorded cell trajectories, representing a description of
the cell dynamics on a particle level and showing strong formal similarities to the reduced
equations for LSs in physical systems. Furthermore, the dependence of deterministic and
stochastic parts of the dynamics on different chemical stimuli can be estimated, giving
important implications for the underlying processes inside the cells.
ivContents
1 Introduction 1
1.1 Self-organized localized structures and the particle concept . . . . . . . 1
1.2 Ahistoricalsurvey.............................. 3
1.3 LSs,disipationandatractors ............... 6
1.4 Particlephenomenologyandtheroleofdisipation............ 10
2 Models and mechanisms 13
2.1 Reaction-diffusionsystems.......................... 14
2.1.1 One-componentsystems............... 15
2.1.2 Two-componentsystems....................... 23
2.1.2.1 Theexcitablecase............. 26
2.1.2.2 Thebistablecase ..................... 40
2.1.3 Three-componentsystems.............. 44
2.2 Ginzburg-Landauequations......................... 49
2.2.1 TheformationofLSs ................ 51
2.2.2 DynamicsofLSs........................... 60
2.2.3 VariationsoftheGLequation............ 6
2.3 Swift-Hohenbergequations ......................... 69
2.3.1 Generalproperties.................. 69
2.3.2 LSsintherealSHequation..................... 71
2.3.3 LSsinthecomplexSHequation .............. 75
2.4 Summaryonmechanisms.......................... 78
3 Particle description of LSs 83
3.1 Theconceptoforderparameters...................... 83
3.2 Dynamicsofsinglestructures........................ 84
3.2.1 Trialfunctionmethods................ 84
3.2.2 Projectionbasedmethods...................... 87
3.2.2.1 Formalderivation............. 8
3.2.2.2 Perturbative techniques and normal forms . . . . . . . 94
3.2.2.3 Perturbative approach on the level of the field equations 95
3.2.3 Normal forms for the dynamics of single LSs . . . . . . . . . . . 106
3.3 Interactionofstructures........................... 107
3.3.1 Weak interaction and trial-function methods . . . . . . . . . . . 108
3.3.2 Weakinteractionandprojectionmethods............. 108
3.3.3 ExamplesforinteractingLSs................ 12
v3.3.4 Symmetries,dynamicsandinteractionproceses ......... 18
3.4 Stochasticandfluctuatingsystems................. 121
3.4.1 Generaltheory........................ 121
3.4.2 Noisecorelationsintheorderparameterequations.... 124
4 Many-body Systems 131
4.1 Non-fluctuatingsystems........................... 132
4.1.1 Analyticconsiderationsinone-dimensionalsystems.... 13
4.1.2 Analyticconsiderationsintwo-dimensionalsystems........ 137
4.1.3 Numericalcalculationsintwo-dimensionalsystems.... 141
4.1.3.1 Free propagation ...................... 141
4.1.3.2 Confined motion ...................... 146
4.1.3.3 Excitationandswitchingfronts...... 150
4.2 Fluctuatingsystems............................. 156
4.2.1 Numericalconsiderationsintwo-dimensionalsystems... 156
4.2.1.1 BoundstateoftwoactiveBrownianparticles...... 157
4.2.1.2 BoundstateofmanyactiveBrownianparticles. 162
4.2.1.3 “Phasetransitions”.................... 165
5 Excursion to biology: the dynamics of cells 175
5.1 Celsasparticle-likestructures....................... 176
5.2 Experimentaltechniques............... 176
5.3 Directed and undirected motion . ...................... 181
5.3.1 Experimentalresults............. 181
5.3.2 Conclusionsfordirectedmotion................... 184
5.4 Stochasticmotionofcels.................. 187
5.4.1 Stochasticanalysis...................... 18
5.4.2 Discusionoftheresults............... 197
6 Conclusions and outlook 199
6.1 Summaryofthework ............................ 199
6.2 Openquestionsandfurtherprogres............ 201
Bibliography 203
vi

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