Worldline approach to Casimir effect and Gross-Neveu model [Elektronische Ressource] / presented by Klaus Klingmüller

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematicsof the Ruperto Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencespresented byDiplom Physiker Klaus Klingmüllerborn in BonnOral examination: 17. Oktober 2007WorldlineapproachtoCasimireffectandGross NeveumodelReferees:PD Dr. Holger GiesProf. Dr. Michael G. SchmidtiWeltlinienzugang zu Casimir Effekt und Gross Neveu ModellZusammenfassungWiruntersuchendenCasimir EffektunddasGross NeveuModellmitHilfederWeltlinien numerik.DabeiwerdendieQuantenfluktuationenaufquantenmechanischePfadintegralevon Punktteilchen abgebildet, welche wir mit Monte Carlo Methoden auswerten. BeimCasimir Effekt erlaubt uns das die präzise Berechnung der Wechselwirkungsenergienfür ein Dirichlet Skalar in für andere Methoden unzugänglichen Casimir Geometrien.Wir untersuchen Geometrien mit Krümmungen und scharfen Kanten, beide sind vongroßer Bedeutung für Experimente bzw. die Anwendung in der Nanomechanik. Bei derBerechnung nutzen wir die jeweiligen Symmetrien aus, um eine erhebliche Verringerungder nötigen Rechenzeit zu erzielen. Unsere Ergebnisse zeigen die engen Grenzen dergängigen “Proximity Force Approximation” (PFA) auf und liefern erste Erkenntisse überden Einfluss der Kanten endlicher Platten auf die Casimir Kraft. Im Gross Neveu Modellberechnen wir die Spur über die Fermionfluktuationen mit einem Weltlinienpfadintegral.
Publié le : lundi 1 janvier 2007
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties for the Natural Sciences and for Mathematics
of the Ruperto Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Diplom Physiker Klaus Klingmüller
born in Bonn
Oral examination: 17. Oktober 2007WorldlineapproachtoCasimireffect
andGross Neveumodel
Referees:
PD Dr. Holger Gies
Prof. Dr. Michael G. Schmidti
Weltlinienzugang zu Casimir Effekt und Gross Neveu Modell
Zusammenfassung
WiruntersuchendenCasimir EffektunddasGross NeveuModellmitHilfederWeltlinien
numerik.DabeiwerdendieQuantenfluktuationenaufquantenmechanischePfadintegrale
von Punktteilchen abgebildet, welche wir mit Monte Carlo Methoden auswerten. Beim
Casimir Effekt erlaubt uns das die präzise Berechnung der Wechselwirkungsenergien
für ein Dirichlet Skalar in für andere Methoden unzugänglichen Casimir Geometrien.
Wir untersuchen Geometrien mit Krümmungen und scharfen Kanten, beide sind von
großer Bedeutung für Experimente bzw. die Anwendung in der Nanomechanik. Bei der
Berechnung nutzen wir die jeweiligen Symmetrien aus, um eine erhebliche Verringerung
der nötigen Rechenzeit zu erzielen. Unsere Ergebnisse zeigen die engen Grenzen der
gängigen “Proximity Force Approximation” (PFA) auf und liefern erste Erkenntisse über
den Einfluss der Kanten endlicher Platten auf die Casimir Kraft. Im Gross Neveu Modell
berechnen wir die Spur über die Fermionfluktuationen mit einem Weltlinienpfadintegral.
Dessen numerische Berechnung demonstrieren wir an verschiedenen Konfigurationen
des zweidimensionalen Modells. Wir beziehen Temperatur und chemisches Potential in
unsere Beschreibung ein und stellen erstmalig weltliniennumerische Berechnungen bei
endlichenWertendieser Größenan. DabeientdeckenwirTeilaspektedesbekannten
Phasendiagrammswieder.DieverwendetenMethodensindgrundsätzlichaufhöhere
Dimensionen übertragbar und stellen für solche eine Aussage über die Existenz eines
räumlich inhomogenen Grundzustandes in Aussicht.
Worldline approach to Casimir effect and Gross Neveu model
Abstract
We employ worldline numerics to study Casimir effect and Gross Neveu model. In this
approach,thequantumfluctuationsaremappedontoquantummechanicalpathintegrals,
whichareevaluatedwithMonteCarlomethods. FortheCasimireffect,thisallowsthe
precisecomputationoftheinteractionenergyforaDirichletscalarinCasimirgeometries
inaccessible to other methods. We study geometries involving curvature and edges,
both are important for experiments and applications in nanotechnology, respectively.
Significant reduction of numerical cost is gained by exploiting the symmetries of the
worldline ensemble in combination with those of the configurations. Our results reveal
the tight validity bounds of the commonly used proximity force approximation (PFA) and
provide first insight into the effect of edges of finite plates on the Casimir force. In the
Gross Neveumodel,wecomputethetraceoverthefermionfluctuationsusingaworldline
path integral, whose numerical evaluation is demonstrated for various configurations
in the two dimensional model. We incorporate temperature and chemical potential
in our formalism and perform first worldline numeric computations at finite values of
these quantities. We thereby rediscover aspects of the established phase diagram. The
methods employed can be extended to higher dimensions, to study the existence of a
spatially inhomogeneous ground state beyond the two dimensional Gross Neveu model.iiContents
I Casimireffect 1
1 Introduction 3
2 Casimir’sparallelplates 7
3 Casimireffectontheworldline 13
3.1 Field theoretic framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Worldline formulation for a Dirichlet scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Worldline numerics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Casimircurvatureeffects 21
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Sphere above plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1 Inside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Outside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Cylinder above plate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Casimiredgeeffects 35
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Casimir edge configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.1 Parallel plates revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.2 Perpendicular Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.3 Semi infinite plate parallel to an infinite plate . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.4 Thick plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.5 Parallel semi infinite plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Edge configuration estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Casimir comb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Finite parallel plate configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Conclusions(PartI) 57
iiiiv Contents
A Theproximityforceapproximation(PFA) 59
A.1 Sphere above plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.2 Cylinder above plate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II Gross Neveumodel 63
7 Introduction 65
8 TheGross Neveumodelontheworldline 67
8.1 Euclidean action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Auxiliary field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Worldline formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9 Worldlinenumericsintwodimensions 73
9.1 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 Spatially varying potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Single kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Kink antikink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.5 Periodic array of kink antikink pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10 Temperature 89
10.1 Symmetry restoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11 Chemicalpotential 93
12 Towardsthephasediagram 97
12.1 Phase diagram of the constant potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 In search of crystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13 Conclusions(PartII) 101
Bibliography 103PartI
Casimireffect
1

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