1ère épreuve de mathématiques 1998 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 1998. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 1998 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1998
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 72
• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________



PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants

I

On noteΓ ( t ) ,ψ ( t ) etϕ ( t ) les intégrales : = dx Γ ( t ) ∞ ∫ x t−1  ;ψ ( t ) = ∞ ∫  x t x − + 1 dx ;ϕ ( t ) = ∫ ∞ o x e  t x − − 1 dx 1 . x o e o e 1 1°- Justifier pourt>0 lexistence deΓ ( t ) etψ ( t )  et, pourt>1, l'existence deϕ ( t ) . 2°- Montrer que, pourt>1,Γ( t )=( t−1 )Γ( t−1 ). CalculerΓ ( n ) pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 3°- On noteϕ n ( t ) etψ n ( t ) les suites définies surN * par : ∞ n→ ϕ n ( t ) = ∫ e −x ( 1+e −x ++e −nx ) x t−1 dx o

∞ n→ψ n ( t ) = ∫ e −x ( 1−e −x ++(−1 ) n e −nx ) x t−1 dx o (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégralesϕ n ( t )etψ n ( t ) ( voir 1°-))

Justifier les inégalités : ϕ n ( t )−ϕ( t )≤ ∞ ∫ e −( n+1 )x x t−2 dx = Γ( t− t 1 − ) 1  o ( n+1 ) Γ ψ n ( t )−ψ( t )≤ ∞ ∫ e −( n+2 )x x t−1 dx + = ( t ) t  o  2 )( n 4°- On pose, pournentier strictement positif : U n ( t )=1+ 2 1 t +..+ 1 t S n ( )= − 1 t +.+ (−1 ) n+1  n ; .  n t 1  2 t

Montrer que :

ϕ n ( t )= Γ( t )×U n+1 ( t );ψ n ( t )= Γ( t )×S n+1 ( t ) Déduire la convergence des séries ∑ 1  et − n+1 n≥1 n t  n ∑ ≥1 1( n ) t .

En notantU(t)etS(t)de ces deux séries montrer que :les sommes  U ( t )− t )U (≤ 1 ;S( t )−S ( t )≤ 1 . n  1( t )n t−1  n ( n+1 ) t −

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1998-1999 _________

Concours d'Entrée _______________



5°- En étudiant la différenceϕ ( t ) −ψ ( t ) , établir la relationψ ( t ) = ϕ ( t ) ×( 1− 2 t 1 −1 ). . En déduire l'égalitéS( t )=U ( t )×( 1− 2 t 1 −1 ) 6°- Pour calculer une valeur approchée deU(t)on peut :  soit (méthode a) calculerU n ( t ) ; soit (méthode b) calculerS n ( t )et utiliser la relation obtenue au 5°. On noteα n ( t )etβ n ( t )les majorations des erreurs obtenues en utilisant respectivement: U ( t )−U n ( t )≤ 1 t 1  ;( méthode a)S( t )−S n ( t )≤ ( n+ 1 1) t (méthode b) − ( t−1 )n

Montrer que : β  n ( t − − n ) = t 1 × t 1  α n  ( n ( t ) +1 ) t 1 1 − 2 t−1 En déduire que , pour tout entier strictement positif, on a :  β n t( ( ) )t ≤ t t − 1 1 ≤ 1  pour1<t<2 α n 2×( 2 − −1 )  2×ln( 2 ) β n ( t ) ≤ ( t−1 ) t × 1  pourt≥2 α n ( t )  t t 1− 1 2 t−1 ( t−1 ) t Montrer que la fonctiont→est croissante sur[2,∞). Donner sa limite quandttend vers∞ t t Montrer que la fonctiont→1− t 1 −1 est croissante sur[2 ,∞) 2 Quels commentaires pouvez-vous faire relativement au choix entre les deux méthodes?

  

II- A  On notefetgles fonctions de 3 dansRdéfinies par : ∞ − f ( x, y, z )= ∫ ( x+yt+zt 2 ) 2 e t dt ;g( x, y, z )= 2 f ( x, 2 y, z ) 2  pour(x,y,z)≠(0,0,0)  o x+y+z 1°- Justifier l'existence de l'intégralef(x,y,z). Montrer que la fonctiongest invariante par homothétie.  3 2 2 2°- Soit x, y, z )S= (∈R / x+y+z 2 =1   (i) Montrer queSest une partie bornée et fermée de 3 . En déduire lexistence dun point( x 0 , y 0 , z 0 )deS tel que pour tout(x,y,z)deS on aitf ( x o , y o , z o )≤f ( x, y, z ).   (ii) Montrer que la différentielle de la fonctiongest nulle en( x 0 , y 0 , z 0 ) .

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 3°- On note t Vla matrice ligne [ x, y, z ]  et t V 0 la matrice ligne [ x 0 , y 0 , z 0 ]  .V etV 0  désignent les matrices colonnes transposées correspondantes.  (i) Montrer quef ( x, y, z )peut s'écrire t V×M×V oùM est une matrice carrée d'ordre 3, symétrique définie positive dont on donnera l'expression. °  (ii) Montrer queM×V 0 =f ( x 0 , y 0 , z 0 )×V 0  ( On pourra utiliser 1 -(ii)) En déduire quef ( x 0 , y 0 , z 0 )la plus petite valeur propre deest égal à M.  4°-On note le produit scalaire défini sur 3 parφ( a ,b )= t A×M×B. (AerpsmevetiecntB- désigne la matrice  colonne associée au vecteuratnevemce-iterpsb-). On notea M 2 = φ( a , a )le carré de la norme associée. On note encore { e  0 ,e  1 ,e  2  } la base canonique de 3 .  (i) Montrer quef ( 1, y, z )=e  0 +y e  1 +z e 2 M 2 . En déduire l'existence d'un unique couple de réels( y 1 , z 1 ) tel que pour tout couple(y,z)de 2 on aitf ( 1, y 1 , z 1 )≤f ( 1, y, z )   (ii) Déterminer le couple( y 1 , z 1 )et calculerf ( 1, y 1 , z 1 ) .Montrer alors que la plus petite valeur propre de la matriceMest majorée par1/3.   II B - Dans cette partie on généralise à n certains des résultats obtenus dans la partie A. ∞ On rappelle que ∫ t k e −t dt= kk! (∈N ) 0 ∞ On notef ( a 0 , a 1 ,.., a n−1 ) l'intégrale ∫ ( a 0 +a 1 t+..+a n−1 t n−1 ) 2 e -t dt 0 t 1°- Expliciter la matriceM n telle quef ( a 0 ,a 1 ,..,a n−1 )=V×M n ×V où t V désigne la matrice ligne [ a 0 , a 1 ,.., a n−1 ] etVla matrice colonne transposée de t V.  2°-(i) Montrer qu'il existe un unique point( b 1 ,b 2 ,..,b n−1 )de n−1 tel que pour tout point( a 1 , a 2 ,.., a n−1 )de n−1 on ait :f ( 1,b 1 ,..,b n−1 )≤f ( 1,a 1 ,..,a n−1 )  (ii) Montrer que les réels( b 1 ,b 2 ,..,b n−1 )sont solutions du système :  n−1  ∑ b× +)= −k!   j=1 j  ! j( k    k=1,2,..,n−1 On admettra que ce système admet pour solution :    b= (− + 1 ) j × j − j C n ( 1 j )! 1    j=1,2,.., n−1  (iii) Montrer que :  1 f ( 1,b 1 ,..,b n−1 )= [ 1,b 1 ,..,b n−1 ] ×M n ×     0        .  0 En déduire quef(1,b 1 ,..,b n-1 )=1/n  3°- Conclure de 1° et 2° que la plus petite valeur propre de la matriceM n tend vers0quandntend vers+∞.

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