1ère épreuve de mathématiques 2002 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. E XERCICE ∞ 1 1°- Montrer que l’intégrale ln (1+ 2 )dxest convergente. ∫ 0 x 2°- Montrer que cette intégrale est égale à π.

2002-2003 _________

Concours d'Entrée _______________

P ROBLÈME A Soit P un polynôme non constant , à coefficients réels positifs dont la somme est égale à 1. Pour P de degré k on notera le polynôme P par : k k i P(x)=p xavec pour toutivariant de 0 à k :p≥0 etp=1 . ∑∑ i ii i=0i=0 1°- Montrer que la fonction polynômePréalise une bijection du segment [0,1] sur le segment [p 0 ,1] . 2°- On noteEl’ensemble des solutions de l’équationP(x)=xappartenant au segment [0,1] . (i) Montrerque le réel 1 appartient àE. (ii) Montrerque, siP’(1) est strictement supérieur à 1,Eest égal à deux réels distincts λ et 1. Montrer que dans le cas contraireEest soit réduit au singleton {1}, soit égal au segment [0,1]. Donner le (ou les) polynômes pour lequel (lesquels)Eest égal au segment [0,1]. ième 3°- Pournentier supérieur ou égal à 1 on noteP n le polynômenitéré du polynômeP:  (P 1 (x)=P(x);P 2 (x)=P(P 1 (x) ; P 3 (x)=P(P 2 (x) ; etc) (i) PourPpolynômespolynôme du premier degré, déterminer la suite desn→P . Pourxréel de [0,1] n donner alors la limite de la suiten→P(x) n (ii)Pest ici de degrékstrictement supérieur à 1. On noteula suite définie parn→u=P(0) . n n Montrer que la suiteuest croissante et majorée. En déduire sa convergence. Donner suivant le signe deP’(1)-1 la limite de la suiteu. (iii) Etudier,pourxfixé de ]0,1], la limite de la suiten→P(x) . (On discutera en fonction de la valeur de n P’(1) et, pourP’(1) strictement supérieur à 1, de la position dexpar rapport à λ .)

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P ROBLÈME B I Pourffonction réelle de variable réelle on noteD(f) la fonctionx→f(x+1)-f(x).

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n On note égalementD²(f) la fonctionD(D(f)) et plus généralement pournentier naturelD(f) la fonction définie n n-1 0 par la récurrence :D(f) =D(D(f)). L’application identique sera notéeD(f) . 1°- Dans cette question la fonctionfest un polynôme notéP. (i) MontrerqueD(P) est un polynôme. Donner son degré en fonction du degré deP. n (ii) Onnote(Xvectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à) l’espacen. Montrer que n nn−1 l’applicationDrestreinte à(X) est une application linéaire de(X) dans(XDonner la) . n n−1 matrice de cette application linéaire sur les bases canoniques de(X) et(X) .Donner le noyau et l’image deD. (iii) SoitQun polynôme. Montrer qu’il existe un polynôme uniquePtel que :

 P(0)=0  (P)=Q   Onnote pour la suiteΔ(Q) le polynômeP. 2°- On définit la suite de polynômesn→Ppar la récurrence: n

 P≡1 0  P≡ Δ(P)  n n−1 (i) Calculerles polynômesP 1 etP 2 . (ii) Montrerque le polynômeP n est de degrén, que ses racines sont les entiers 0,1,..,n-1 et queP(n)=1 . n X(X−1)....(X−n+1)  Endéduire que le polynômeP n est égal à :P=. n n!

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n (iii) Montrerque la famille {P 0 ,P 1 ,…,P n } est une base de(X) etque tout polynômeQ de n ( X ) s’écrit dans cette base sous la forme :

n k Q=D(Q)(0)×P. ∑ k k =0 (iv) Etablirla relation (utile pour la partie II ): n PourxetyréelsP(x+y)=P(x)×P(y) . ∑ − n kn k k =0

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II Dans cette partie la fonctionfn’est plus nécessairement un polynôme. On s’intéresse à la convergence et à la somme (en cas de convergence) de la série de terme général : k u(x)=D(f)(0)×P(x)k≥0 . k k

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1°- Déduire deIque sifest un polynôme la série ne comporte qu’un nombre fini de termes non nuls et que sa somme est égale àf. x Dans la suitef est de la formex→f a (x)=aoùaest un réel strictement positif.

2°- Etude de la convergence : k (i) CalculerD(f)(0) et en déduire l’expression du terme général de la série. u(x) k+1 (ii) Montrer,par l’étude du quotient, que pour|a−1 |<série est, pour tout1 lax, absolument u(x) k convergente. (iii) Montrerque pour|a−1 |>1 le terme général de la série ne tend pas vers 0. Conclure.

3°- Calcul de la somme en cas de convergence . (On suppose queaest strictement inférieur à 2et on noteS(x) la somme de la série). (i) CalculerS(0). Montrer que, pournentier,S(n+1)-S(n)=(a-1)S(n). En déduire l’expression deS(n). h (ii) OnnoteS h la somme partielle d’ordrehde la série : (S(x)=u(x) ). ∑ h k k =0 Soit (x,y) un couple de réels : En utilisant [ I -2°-(iv)] montrer queS 2n (x+y) peut s’écrire : S(x+y)=S(x)×S(y)+A(x,y)+B(x,y) 2n nn nn où les termesA n etB n peuvent être majorés en valeur absolue par :

2n∞    | (x,y) ||u(x) ||u(y) | n ≤  k  ×  k  ∑ ∑  k=n+1   k=0     . 2n∞    | (x,y|) |u(y) ||u(x) | n ≤  k  ×  k  ∑ ∑       =  k=n+1k0  En déduire la relationS(x+y)=S(x)S(y) . (iii) Déduirealors la valeur deS(1/2) et plus généralement la valeur deS(1/q) pourq entiernaturel non nul , puis celle deS(p/q) pourpetqentiers naturels (q ≠ 0). (iv) Déduireaussi que, pourxpositifS(−x)=1S(x) . (v) Montrerque, pour |h||<1, on peut majorerS(h)-1| par l’expression : ∞ k |S(h)−1 |≤|h| |a−.1 | ∑ k=1 En déduire queSest continue en 0 et plus généralement queSest continue en tout pointx. x (vi) Conclurefinalement queS(x)=a .

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