2ème épreuve de mathématiques Option A 2000 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2000. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

2000-2001 _________

Concours d'Entrée _______________

OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2  Onconsidère dans IR les deux domaines suivants :  2   2  2 u D=(u,v)∈IR2<u<4et1<v< Δ =(x,y)∈IR2<x+y<4etxy>1etx<y  ;.    4    2 2  1°)Montrer que D et Δ sont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationde Δ dansIR:  u=x+y ∞ (x,y)→(u,v)=(x,y) avec estune bijection C deΔsurD.  v=xy   Calculerson jacobien.  2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I = (x − y) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ  3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1 n I. On considère une applicationW declasseCdeIR dans IR convexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y) deIRet tout λ ∈ [ 0,1 ] W((1− λ)x+ λy)≤(1− λ)W(x)+ λW(y) . n Pourhetxfixés dansIR,h ≠ 0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe de IR dans IR , en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . ′ (h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple (x,y) deIR, on a l’inégalité : gradW(x),y−x≤W(y)−W(x) . 1 n n On rappelle que pourW application CdeIR dans IR , gradW(x) est le vecteur deIR decomposantes  ∂W∂W∂W  (x), (x),, (x) .   ∂x∂x∂x  1 2n  n II. On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est (x,y)  deIR, x≠y , et tout λ ∈ ] 0,1 [ 2000

 2 W ( (1 − λ ) x+ λy ) < (1 − λ ) W ( x ) + λW ( y ) 1 n et enfin que W est toujoursCsur IR et vérifie W(0)=0 et gradW(0)=0 . n 1°) Montrerque ∀x∈IR on a 0=W(0)≤W(x) . n 2°) Montrerque ∀x∈IR  , x≠ 0 , on a 0<W(x) . 3°) Justifierl’existence de, valeur minimale de W(x) pour x= 1 .Montrer que >0 et que pour x≥ 1 x≤W ( x lim) . En déduire W ( x ) = +∞ . x→ +∞ n nn III. On note (q,p) l’élément générique de IR×IR , I la matrice identité de IR , J la matrice 2n×2n définie par n la décomposition en blocs  0 I  n J =   −I 0  n  et on considère le système différentiel, dit système hamiltonien : ′  q(t)  ( H ) =Jgrad H(q(t),p(t))   p ′ (t)   n n où l’on suppose que H est une application de IR×IR dans IR de la forme 2 1 H(q,p)=p+W(q) . 2m  mest une constante strictement positive. n  la norme⋅est la norme euclidienne deIR. 2 n  West une application de classeCdeIRdans IR . 1°) Montrerque si t→(q(t),p(t)) est une quelconque solution de ( H ) définie surIintervalle réel, on a un pour touttdeI H(q(t),p(t))=K (oùKest une constante).  Ondit queHest une intégrale première de ( H ) . n On suppose de plus queWest strictement convexe deIRdans IR et satisfait W(0)=gradW(0)=0 . 2°) Montrerque (0,0) est un point d’équilibre de ( H ), c’est-à-dire que la solution de ( H ) à la condition initiale n n (q(0),p(0))=(0,0) est la fonction définie sur IR à valeur dansIR×IR, identiquement nulle. + + 3°) Ondéfinit la fonctiondeIRdansIRpar 2 2 2 (0)=0 et pours≠0ψ( )=Inf H(q,p)s≤(q,p) où (q,p)=q+p. 2 2  Montrerque estcontinue en 0. 4°) Onse donneε >0 ,justifier l’existence de, 0< <ε telque (q,p)< δimplique 2 0≤H(q,p)<(ε) . On noteϕ(t,q,pvaleur en) latla solution de ( de H ) qui ent=0 satisfait 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 n n Montrer que si(q,p)< δet si la solutiont→ ϕ(t,q,p) sort de la boule deIR×IRde centre 0 et 0 0 2 telle quet,q,p) . de rayonεil existet>0 ( 1 00 = ε 1 2 2000

 3  Montrerqu’on aboutit à une contradiction.  Onen déduit que pour touttdu domaine de définition de la solutiont→ ϕ(t,q,p) 0 0 (q,p)< δimpliqueϕ(t,q,p)< ε. 0 00 0 2 2  Ondit que (0,0) est un équilibre stable de ( H ). 2 1 IV. Dans cette partie on considère encore le système hamiltonien ( H ) oùH(q,p)=p+W(q) maiscette fois 2m W(q)=T(q,q,q) n n n où T(q,r,s) est une forme trilinéaire non identiquement nulle surIR×IR×IR. 1°) Montrerque l’on a encore W(0)=gradW(0)=0 .  Hprésente-t-elle encore un minimum en (0,0) ? n n 2 ∂H 1 ∂H 2°) Etablirles relations :(q,p)p=pet (q,p)q=3W(q) . ∑ i ∑ i ∂p m∂q i i i=1i=1  Onpose f(q,p)=JgradH(q,p)  etv(q,p)=H(q,p)q,p 1 n  oùq,pest le produit scalaire standard deIRentreqetp. 1  Onnote n n U=(q,p)∈I R×HI R(q,p)<0et q,p>0 . 1 n n  MontrerqueUest un ouvert deIR×IRdont (0,0) est un point adhérent. Montrer que pour toutq,pdeU:gradv(q,p),f(q,p)<0 oùX,Yest le produit scalaire standard 2 2 n n deIR×IRentreXetY. 3°) Ondésigne encore parϕ(t,q,pvaleur en) lat dela solution de ( H ) qui ent=0 vaut 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 On prend(q,p)∈Uet on suppose que cette solution est définie sur [ 0,+∞ [  (*)et qu’elle reste dans 0 0 B=(q,p)∈U(q,p)< ε oùεest un nombre réel strictement positif quelconque. 2 ε 2  Montrerque si l’on notev(t)=v(ϕ(t,q,p)) on a pour toutt≥0v(t)≤ −3CoùC=H(q,p) . 0 0 ′ 0 00 0  Endéduire quelimv(t)= −∞ce qui est une contradiction. Pourquoi ? t→+∞ En déduire que pour toutε >0 toute solution de ( H ) partant d’un point deU, finit par sortir de la boule de n n IR×IRde centre 0 et de rayonε.  Expliquerpourquoi ceci montre que (0,0) est un équilibre instable de ( H ). ---

(*) Ce que l’on peut démontrer rigoureusement si la solution reste bornée.

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